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        圓、橢圓、三角形的一個(gè)相關(guān)性質(zhì)的證明

        2015-06-12 12:47:01蔡玉書(shū)蘇州市第一中學(xué)江蘇蘇州215006
        關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓外接圓切線

        ●蔡玉書(shū) (蘇州市第一中學(xué) 江蘇蘇州 215006)

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        圓、橢圓、三角形的一個(gè)相關(guān)性質(zhì)的證明

        ●蔡玉書(shū) (蘇州市第一中學(xué) 江蘇蘇州 215006)

        2009年?yáng)|南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽有一道平面幾何試題如下:

        例1 如圖1,已知⊙O,⊙I分別是△ABC的外接圓和內(nèi)切圓,證明:過(guò)⊙O上任意一點(diǎn)D,都可以作一個(gè)△DEF,使得⊙O,⊙I分別是△DEF的外接圓和內(nèi)切圓.

        圖1

        《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第6期徐道老師利用解析法證明了命題1:

        《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第10期“對(duì)一道例題的探求與發(fā)現(xiàn)”中研究了這樣的試題:

        例2 已知P,Q,R為拋物線y=x2-2上3個(gè)不同的點(diǎn),求證:當(dāng)直線PQ與PR都和圓x2+y2=1相切時(shí),直線QR也和該圓相切.

        該文得到并證明了:

        命題2 過(guò)拋物線C1:x2=2py上的點(diǎn)A向⊙C2:x2+(y-b)2=r2(其中p>0,b>0,r>0)引2條切線AB,AC,分別交拋物線C1于點(diǎn)B,C,聯(lián)結(jié)BC,則直線BC是⊙C的切線的充要條件是2pb=r2+2pr.

        該文最后得到了一個(gè)猜想,筆者證明之:

        證明 設(shè)A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2),C(acosθ3,bsinθ3),則直線AB的方程為

        a(cosθ2-cosθ1)(y-bsinθ1)=b(sinθ2-sinθ1)(x-acosθ1),

        因?yàn)锳B與圓x2+y2=r2相切,所以

        從而

        [a2b2+(a2-b2)r2]cosθ1cosθ2+[a2b2-(a2-b2)r2]sinθ1sinθ2+[a2b2-(a2+b2)r2]=0,

        (1)同理,由直線AC與x2+y2=r2相切,得

        (2)

        b2[a2b2+(a2-b2)r2]x1x+a2[a2b2-(a2-b2)r2]y1y+a2b2[a2b2-(a2+b2)r2]=0,

        從而直線BC與圓x2+y2=r2相切的充要條件是

        (3)

        b[a2b2+(a2-b2)r2]=a[a2b2-(a2-b2)r2],

        圖2

        1)求圓G的半徑r;

        2)過(guò)點(diǎn)M(0,1)作⊙G的2條切線交橢圓于點(diǎn)E,F(xiàn),證明:直線EF與⊙G相切.

        (2009年江西省數(shù)學(xué)高考文科壓軸題)

        進(jìn)一步研究得到:

        a2r2(a+m+r)2=b2(a+m+r)2(a+m-r)(a-m-r),

        注意到(a+m+r)2>0,得a2r2=b2[(a-r)2-m2],整理得

        (a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0.

        (充分性)設(shè)A(acosθ1,bsinθ1),B(acosθ2,bsinθ2),C(acosθ3,bsinθ3),即A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則直線AB的方程為

        a(cosθ2-cosθ1)(y-bsinθ1)=b(sinθ2-sinθ1)(x-acosθ1),

        因?yàn)锳B與圓(x-m)2+y2=r2(其中m≥0,r>0)相切,所以

        亦即

        從而b2(m2-r2)[1+cos(θ1+θ2)]-a2r2[1-cos(θ1+θ2)]-2ab2m(cosθ1+cosθ2)+a2b2[1+cos(θ1-θ2)]=0,

        即 [b2(m2-r2)+a2(r2+b2)]cosθ1cosθ2+ [a2(-r2+b2)-b2(m2-r2)]sinθ1sinθ2-

        2ab2m(cosθ1+cosθ2)+b2(m2-r2)+a2(b2-r2)=0.

        因?yàn)?a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0,所以

        ab2(a-r)cosθ1cosθ2+ab2rsinθ1sinθ2-ab2m(cosθ1+cosθ2)+a2(b2-r2)-ab2r=0,

        b2(a-r)x2cosθ1+abry2sinθ1-b2m(acosθ1+x2)+a2(b2-r2)-ab2r=0.

        同理,直線AC與圓(x-m)2+y2=r2(其中m≥0,r>0)相切,得

        b2(a-r)x3cosθ1+abry3sinθ1-b2m(acosθ1+x3)+a2(b2-r2)-ab2r=0,

        從而點(diǎn)B,C在直線b2(a-r)xcosθ1+abrysinθ1-b2m(acosθ1+x)+a2(b2-r2)-ab2r=0上,此直線方程可以寫(xiě)成

        b2[(a-r)cosθ1-m]x+abrysinθ1+a2(b2-r2)-ab2r-ab2mcosθ1=0.

        注意到(a2-b2)r2+2ab2r+b2(m2-a2)=0,得

        a2r2+b2m2=[b(r-a)]2, [b(r-a)]2-a2r2=b2m2,

        從而圓心C2到直線BC的距離為

        圖3

        這說(shuō)明直線BC與⊙C2相切.

        有趣的是我們還可以繼續(xù)研究一個(gè)圓錐曲線的外接多邊形是另一個(gè)圓錐曲線內(nèi)切多邊形的問(wèn)題(如圖3).

        但是要獲得一般結(jié)論,初等數(shù)學(xué)可能無(wú)能為力,希望讀者進(jìn)一步研究.

        (本文得到胡曉昊老師的支持,在此一并感謝.)

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