●蔣孝國 (太湖高級中學 江蘇無錫 214125)

?

由一道競賽題想到的

●蔣孝國 (太湖高級中學 江蘇無錫 214125)

例1 將集合{1,2,3,…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的數(shù)之外，對于其余的每個數(shù)k，在數(shù)k的左邊某個位置上總有一個數(shù)與k之差的絕對值為1，那么滿足條件的排列個數(shù)為______.

本題是2013年江西省高中數(shù)學競賽題，有一定的難度.要想解決該問題，需找準一個角度，運用所具有的知識認真分析題目的內涵，再通過觀察、聯(lián)想、類比找到解題路徑.本題的關鍵是“從第2個數(shù)開始，數(shù)k的左邊某個位置上總有一個數(shù)與k之差的絕對值為1”，這一條件表述比較抽象，蘊含著豐富的內容.筆者一時沒有辦法“看透”此條件，無法知道該條件蘊含的數(shù)學含義，一個自然而然的想法就會涌上心頭：能不能從簡單的情況入手去找規(guī)律，若能找到規(guī)律并將其整理歸納，然后解決一般性的問題，即從特殊到一般.

1 嘗試——絕知此事要躬行

嘗試是行動的開始.面對未知的事物，要知其究竟，嘗試是行動的第一步，只有經(jīng)過實踐，才能知道事情的大概.該如何實踐呢？從認知規(guī)律上來說，先認識簡單的，再認識復雜的.數(shù)學家華羅庚也說過：“要善于退，退到不能退時，發(fā)現(xiàn)事物的本質.”下面筆者從特殊情況開始嘗試，去尋找其規(guī)律.

對集合{1,2,3,…,n}，記滿足條件的排列個數(shù)為An.

1)當n=1時，A1=1.

2)當n=2時，數(shù)列1,2；2,1都滿足題意，此時A2=2.

3)當n=3時，數(shù)列1,2,3；2,1,3；2,3,1；3,2,1都滿足題意，此時A3=4.

4)當n=4時，數(shù)列1,2,3,4；2,1,3,4；2,3,1,4；3,2,1,4；2,3,4,1；3,4,2,1；3,2,4,1；4,3,2,1都滿足題意，此時A4=8.

從n=1,2,3,4這4種簡單情況猜測：對于n=k，有Ak=2k-1.從具體的數(shù)列來看，發(fā)現(xiàn)這3個規(guī)律：①末項為該數(shù)列的最大數(shù)或最小數(shù)；②單調數(shù)列滿足要求；③數(shù)列是先增后減，或者是先減后增.于是，我們對滿足條件的數(shù)列，有了一定的認識，但這種認識不全面，需要繼續(xù)挖掘，從中找到問題的本質.

2 從末項考慮——小荷才露尖尖角

末項比較有規(guī)律，要么是最大項，要么是最小項.記對1,2,3,…，n，滿足條件的數(shù)列共An個，則對1,2,3,…,n,n+1，滿足題意的數(shù)列為An+1個，可從2個角度來分析：

1)將n+1置于1,2,3,…,n所滿足條件數(shù)列的末項，仍然滿足題意，共An種方式；

2)將1置于2,3,…,n,n+1所滿足條件數(shù)列的末項，仍滿足題意，共An種方式.

因此，An+1=2An，且A1=1，解得An=2n+1.問題雖然解決了，但筆者想進一步挖掘，現(xiàn)在是“從末項考慮”的，能否從其他角度考慮呢？

3 從最大項考慮——橫看成嶺

對1,2,3,…，n,n+1，單調數(shù)列是滿足題意的，n+1出現(xiàn)在首位或末尾.若出現(xiàn)在首位，其后面的數(shù)只能由其余的數(shù)從大到小排列，只有1種情況；若出現(xiàn)在末尾，滿足題意的數(shù)列個數(shù)與1,2,3,…,n滿足的個數(shù)相同，共An種情況.若出現(xiàn)在第2位呢？第3位呢？第i位呢？如果n+1排在第i位，則其后的(n+1)-i個位置，只能是n+1-i，(n+1)-(i+1)，…，2，1，而它之前的數(shù)只能是(n+1)-i+1，(n+1)-i+2，…，n，共有Ai-1種排法.令i=1,2,3,…,n+1，則

An+1=1+A1+A2+…+An=

(1+A1+A2+…+An-1)+An=2An，

同上可得An=2n-1.

得出結果后，筆者繼續(xù)換角度思考.

4 從首項考慮——側看成峰

滿足條件的數(shù)列，要么先增，要么先減.無論先增后減，還是先減后增，都是對首項來說的.對于1,2,3,…,n,n+1，滿足條件的某一排列，首項為k(其中1≤k≤n+1)，在其余的n個數(shù)中，大于k的n+1-k個數(shù)k+1,k+2,…,n+1按遞增的順序排列，而小于k的k-1個數(shù)1,2,3,…,k-1按遞減的順序排列.下面證明之.

對于任一個大于k的數(shù)k+m，設k+m

從上面的3個角度，觀察出不同的規(guī)律，抽象出更一般的方法，得出不同的解決方案，真是“橫看成嶺側成峰，結果總相同”.到此，問題得到圓滿解決，筆者又想能不能更進一步挖掘該問題呢？

5 進一步思考——欲窮千里目，更上一層樓

例2 設a1，a2，…,an是整數(shù)1,2,3,…,n的一個排列，且滿足①a1=1；②|ai-ai-1|≤2，其中i=2,3,4,…,n.上述排列的個數(shù)記為f(n)，求f(n)滿足的關系式.

本題是2010年新疆維吾爾自治區(qū)高中數(shù)學競賽題，可看成是例1的延伸，也可用從特殊到一般來解決.筆者將特殊情況的討論隱去，直接給出解題過程如下.

解 容易求得f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2.當n≥4時，則一定有a1=1,a2=2或a2=3.

當a2=2時，從第2項起，每項都減去1，則a2，…,an滿足條件的排列與1,2,3,…,n-1相同，此時排列的個數(shù)為f(n-1).

當a2=3時，1)若a3=2，則a4=4，從第4項起，每項都減去3，也可和1,2,3,…,n-3滿足題意的數(shù)列建立一一對應，此時排列的個數(shù)為f(n-3)；2)若a3≠2，則滿足題意的數(shù)列為1,3,5,7,…,6,4,2,奇數(shù)組成數(shù)列遞增排列，后面接著是偶數(shù)組成的數(shù)列，按遞減排列.此時只有1種排法滿足題意.

通過上面的討論可得

本問題還能延伸，可以繼續(xù)研究.

6 待研究的問題——一山放過一山攔

思考1 將集合{1,2,3，…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的數(shù)之外，對于其余的每一個數(shù)k，在數(shù)k的左邊某個位置上總有一個數(shù)與k之差的絕對值為2，那么，滿足條件的排列個數(shù)為多少呢？能不能寫成關于n的表達式？

思考2 接上面的思考1，若與k的絕對值之差為m呢？m取何值時有解，該解能不能表示出來呢？

思考3 集合{1,2,3,…,n}中的元素作全排列，使得除最左端的數(shù)之外，對于其余的每個數(shù)k，在數(shù)k的左邊某個位置上總有一個數(shù)與k之差的絕對值不超過2，那么滿足條件的排列個數(shù)是多少呢？能不能寫成關于n的表達式？

思考4 接上面的思考3，若與k之差的絕對值不超過m，那么滿足條件的排列個數(shù)呢？

7 解題收獲——吹盡黃沙始到金

解題告一段落，但解題后的反思，讓筆者產生了不少的想法.下面從解題、思維方式以及提出問題這3個角度來闡釋筆者的感想和收獲.

從解題的角度來說，面對復雜題目，首先要調動知識儲備，問自己“該題是什么類型的問題，涉及哪些知識，我有沒有見過類似的問題，能否轉化為所熟知的問題”，不斷地進行自我拷問，能產生題感，給我們的解題帶來想法，指出方向.但空有想法是不行的，要去執(zhí)行，就是去嘗試、探索.你所想的“解題道路”能否走通只有你親自去走才知道，就像單墫所說：“要想學會游泳，你必須下水，要想學會解題，必須去解題.”“解題道路”上可能會遇到困難，一方面要時時監(jiān)控你的解題過程，修正你的想法；另一方面要去堅持，不斷思索，“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索”,解題中的情感因素也能決定解題成敗.

從思維方式的角度來說，本題采用的是從特殊到一般，特殊與一般的關系反映客觀世界普遍聯(lián)系的一般規(guī)律，是人類認識世界的重要思維方式，特殊中孕育一般，一般中發(fā)現(xiàn)特殊.在數(shù)學學習中，運用這一思維方式，對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題等能力有著重要的意義.

從提出問題角度來說，解決該競賽題時又產生了一些問題，這些問題使思考繼續(xù)下去.波利亞說過：“好的問題像蘑菇一樣，是成堆出現(xiàn)的.”因此面對問題時，要去考慮“相近的問題、相似的問題是什么？能解決嗎？”“問題是數(shù)學的心臟”，教師在教學時，要讓學生能提出自己的問題，提出有價值的問題.希爾伯特說“一門學科只有包含一定量的未解問題，它才具有生命力”、“問題是一只能下金蛋的鵝”.問題能促使我們思考，提高我們的數(shù)學學習能力和理解能力.