●陳 霞 (橫河中學(xué) 浙江慈溪 315318) ●黃紅邊 (浦江縣第三中學(xué) 浙江浦江 322200)

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問題情景:學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的載體
——對(duì)一道課本例題探究引發(fā)的思考

●陳 霞 (橫河中學(xué) 浙江慈溪 315318) ●黃紅邊 (浦江縣第三中學(xué) 浙江浦江 322200)

美國當(dāng)代著名建構(gòu)主義學(xué)家格拉塞斯菲爾德認(rèn)為：知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的．隨著新課改的深入，這個(gè)觀點(diǎn)讓越來越多的教師深刻體會(huì)到：創(chuàng)設(shè)生動(dòng)具體的情景是“引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)思考、探究和互動(dòng)(包括教師和學(xué)習(xí)伙伴)，促使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)”的載體，更能使課堂教學(xué)效果水到渠成.本文從一道課本例題的教學(xué)實(shí)踐思考出發(fā)，借以拋磚引玉．

1 問題的產(chǎn)生

在人教A版必修2“圓的一般方程”這一節(jié)中有這樣一個(gè)例題：

例1 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓C：(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)，限于學(xué)生所學(xué)知識(shí)，還不能具體探究．但這是一個(gè)值得深入探究的問題，為此，在學(xué)生學(xué)完了圓錐曲線后，筆者把這個(gè)例題重新拋出來，讓學(xué)生回顧和思考．

探究1 改變端點(diǎn)B的位置，中點(diǎn)M的軌跡會(huì)變嗎？

讓學(xué)生自主解決，教師有針對(duì)性地選幾個(gè)學(xué)生(端點(diǎn)B在圓外、圓上、圓內(nèi))發(fā)表意見后得出結(jié)論．

探究2 過點(diǎn)M作AB的垂線，交直線CA于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程．

探究3 改變端點(diǎn)B的位置，點(diǎn)N的軌跡會(huì)變嗎？

此問作為課后學(xué)生自由發(fā)揮的作業(yè)．

學(xué)生上課都聽得很認(rèn)真，筆者講練結(jié)合，強(qiáng)調(diào)注意點(diǎn)、細(xì)節(jié)等學(xué)生易疏忽之處，以為經(jīng)過這樣的探究，應(yīng)該是點(diǎn)面俱到、滴水不漏了．事實(shí)上，從作業(yè)情況來看，這個(gè)問題解答的正確率并不高.學(xué)生對(duì)課后作業(yè)各抒己見，都認(rèn)為自己是正確的．有學(xué)生向教師請(qǐng)教:

生1：這個(gè)題目我們2個(gè)人得出的結(jié)論不同:一個(gè)是雙曲線，一個(gè)是橢圓，但我認(rèn)為自己做的沒問題.

師：你們的結(jié)果為什么不同呢？是什么原因產(chǎn)生的？

生2：我的點(diǎn)B選在了圓內(nèi),他的點(diǎn)B選在了圓外,還有同學(xué)的點(diǎn)B選在了點(diǎn)C處．

師：這就說明，端點(diǎn)B的位置變了，點(diǎn)N的軌跡要變．

生3：那還有沒有別的情況，怎樣才能不丟情況呢？

生4：若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),則怎么知道何時(shí)需要討論、何時(shí)不需要討論呢？

2 問題的思考

學(xué)生的探討讓問題進(jìn)一步深入了.筆者對(duì)課堂例題探究的教學(xué)進(jìn)行了反思,理清知識(shí)的本原，把握教材中最主要、最本質(zhì)的東西．

從本堂課作業(yè)題結(jié)論的不確定性可以看出，傳統(tǒng)的講練結(jié)合的教學(xué)方法，無法讓學(xué)生明確點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化情況，同時(shí)給理解結(jié)論產(chǎn)生的原因帶來困難.即使是在教師引導(dǎo)下的探究和思考，學(xué)生也只能記住教師所講的結(jié)論，知其然而不知其所以然．要突破這個(gè)難點(diǎn)，可以考慮使用計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件——幾何畫板，它能夠準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)地表達(dá)幾何現(xiàn)象，直觀地認(rèn)識(shí)動(dòng)點(diǎn)變化，并在問題解決過程中獲得真正的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論化為具體．通過好的情景設(shè)置，啟發(fā)學(xué)生觀察、概括并應(yīng)用，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的重新建構(gòu)，加深對(duì)“動(dòng)點(diǎn)”的深層理解，積累數(shù)學(xué)體驗(yàn)，拓寬數(shù)學(xué)能力．

從實(shí)際課堂效果看，筆者忽略了：教師創(chuàng)設(shè)“探究性情景”，更重要的是“從學(xué)生發(fā)展的內(nèi)在需要出發(fā)，從數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)生發(fā)展過程的角度出發(fā)”.因此，本節(jié)課的引入情景首先應(yīng)該有鮮明的目標(biāo)指向，即求軌跡一般性方法的導(dǎo)出；其次，能融數(shù)學(xué)教與學(xué)為一體，具有數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的內(nèi)驅(qū)力，即滲透“將未知轉(zhuǎn)化為已知”、“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂”.從這出發(fā)，設(shè)計(jì)探索性的情景，在教師引導(dǎo)下，分階段、有步驟地進(jìn)行滲透，最終促使學(xué)生“自主、內(nèi)化、發(fā)展”，將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)地結(jié)合，最終使數(shù)學(xué)課堂具有自我生長(zhǎng)性的立體環(huán)境.那么，情景創(chuàng)設(shè)就不僅僅起到“敲門磚”的作用，還會(huì)在進(jìn)一步學(xué)習(xí)中發(fā)揮一定的導(dǎo)向作用，成為一個(gè)完美的載體.

3 問題的解決

基于以上的思考以及學(xué)生的實(shí)際，筆者借助幾何畫板重新探究這個(gè)例題．

探究1 改變端點(diǎn)B的位置，端點(diǎn)B分別在圓外、圓上、圓內(nèi)，中點(diǎn)M的軌跡會(huì)變嗎？

用幾何畫板演示后，學(xué)生一目了然(論證的工作已在之前的課堂上解決了)．

探究2 過點(diǎn)M作AB的垂線，交直線CA于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程．

探究3 改變端點(diǎn)B的位置，點(diǎn)N的軌跡會(huì)變嗎？

筆者慢慢地用幾何畫板演示(學(xué)生目不轉(zhuǎn)睛地盯著屏幕)，點(diǎn)N的軌跡變化一一呈現(xiàn)，學(xué)生也極度興奮，脫口而出：雙曲線、點(diǎn)、橢圓、圓．

師：能總結(jié)出點(diǎn)N的軌跡嗎？

生5：當(dāng)點(diǎn)B在圓外時(shí)軌跡是雙曲線；當(dāng)點(diǎn)B在圓上時(shí)軌跡是點(diǎn)C；當(dāng)點(diǎn)B在圓內(nèi)不與點(diǎn)C重合時(shí)軌跡是橢圓；當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)C重合時(shí)軌跡是圓．

師：但必須證明！其實(shí)有些情況同學(xué)們?cè)谧鳂I(yè)中已經(jīng)證明了，只要把各種情況分類整理即可．

師：通過此次探究，我們學(xué)會(huì)了思考、學(xué)會(huì)了比較，也敢于提出問題了，這很值得肯定，但提出問題、解決問題的勇氣還有待加強(qiáng)．可不可以作進(jìn)一步地探究呢？

探究4 在直線MN上取一點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡．

探究5 在直線AB上取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作AB的垂線QR，與直線CA交于點(diǎn)R，求點(diǎn)R的軌跡．

學(xué)生們的反響也較強(qiáng)烈．

生6：借用幾何畫板的直觀演示，我們知道了討論的必要性，也懂得了如何討論．

生7：一個(gè)例題可以有這么多的探究，我感到書本中的例題很有用．我們要重視書本例題．

生8：這種自主探究、自己去尋找結(jié)論的上課方式，我很喜歡．

4 問題的深入

從學(xué)生的前后反響中，筆者也深深地體會(huì)到:教學(xué)必須分析教材、學(xué)生等教學(xué)要素，特別是學(xué)生課堂上的一知半解和課后所反映出的問題，要多方位尋找原因，并及時(shí)解決；要成功上好一節(jié)課，更要讓學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景中，學(xué)會(huì)觀察、探索、分析和概括，而不是教師向?qū)W生灌輸知識(shí)，將知識(shí)單向地傳授給學(xué)生，問題情景創(chuàng)設(shè)的最終目的是促使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)．本課的設(shè)計(jì)是穿線型問題，把一節(jié)課涉及到的知識(shí)點(diǎn)(不管是本節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，還是以前所學(xué)的知識(shí)點(diǎn))，以問題的形式串成一條問題鏈，然后把問題鏈構(gòu)建成符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和思維活動(dòng)規(guī)律的一組問題情景，用一個(gè)個(gè)問題幫助學(xué)生回顧舊知識(shí)的同時(shí)，逐步導(dǎo)出“新”的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

因此，可以通過對(duì)課例的分析來構(gòu)建問題情景設(shè)計(jì)的方法和策略，具體做法有：

4.1 認(rèn)知沖突型問題情景

創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型問題情景，利用知識(shí)的新舊之間、整體與局部之間、不同特點(diǎn)之間的差異打破學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài),促使學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立自主的探究，完成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建．而課堂將成為“讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維、學(xué)會(huì)探究、學(xué)會(huì)應(yīng)用、學(xué)會(huì)創(chuàng)新”的場(chǎng)所，學(xué)生才會(huì)在自我建構(gòu)中真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，并隨學(xué)生的探究意識(shí)不斷強(qiáng)化,思維不斷升華，真正達(dá)到學(xué)生自主學(xué)習(xí)的目的．

如復(fù)數(shù)概念的引入教學(xué)可以創(chuàng)設(shè)如下問題情景:

1)求一元二次方程x2-2x-4=0的實(shí)數(shù)根;

2)求一元二次方程x2-2x+1=0的實(shí)數(shù)根;

3)求一元二次方程x2-2x+4=0的實(shí)數(shù)根．

這3個(gè)問題都是求一元二次方程的根，學(xué)生自然會(huì)想到用求根公式求解,而且也會(huì)得出問題3)中的方程無實(shí)數(shù)根．此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生：能不能讓問題3)中的方程有根，而且有類似于問題1)的求根公式呢？于是讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突,探求新知識(shí)的欲望便油然而生．

4.2 數(shù)學(xué)史問題情景

就知識(shí)本身而言，它是思維的產(chǎn)物、智慧的結(jié)晶，知識(shí)在內(nèi)容上包含著深刻的思維和豐富的智慧，而在形式上卻是簡(jiǎn)單、呆板、現(xiàn)成的結(jié)論和論證.因此，在課堂教學(xué)中,教師可以為學(xué)生提供一些數(shù)學(xué)史上的人文故事或其他有趣的知識(shí),用這樣的方式創(chuàng)設(shè)有趣的問題情景,能使學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行積極地探索和深層次地思考,借以反映知識(shí)的形成過程以及知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，也給課堂注入更多的人文情懷．如在講授“等差數(shù)列求和公式”時(shí),可以先講一個(gè)數(shù)學(xué)小故事:德國的數(shù)學(xué)家高斯讀小學(xué)時(shí),教師出了一道算術(shù)題:1+2+3+…+100=？其他學(xué)生都在“小雞啄米”，而高斯思考了一會(huì)兒就寫出了答案:5 050．高斯是用什么方法做得這么快的呢?學(xué)生聽了一定感到驚奇,會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)烈的探究反應(yīng)．教師趁此點(diǎn)明本節(jié)課題:這是今天要學(xué)的等差數(shù)列的求和方法——倒序相加法．在輕松、愉快的氛圍中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣已被調(diào)動(dòng)起來,很自然就引起對(duì)該知識(shí)的重視,從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,也能使該節(jié)課達(dá)到較好的課堂教學(xué)效果．

4.3 現(xiàn)實(shí)生活型問題情景

4．4 多媒體展示型問題情景

多媒體集圖像、圖形、文字、動(dòng)畫等各種信息傳輸手段為一體，具有很強(qiáng)的真實(shí)感和表現(xiàn)力，為課堂激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情提供了有利的條件.具體表現(xiàn)在以下2個(gè)方面：

1)多媒體展示改變了師生間單調(diào)的語言交流、黑板交流，使教學(xué)互動(dòng)表現(xiàn)為文字、圖形和聲音的有機(jī)結(jié)合，促進(jìn)了師生間的感情交流，打破了傳統(tǒng)教學(xué)中以教師為中心的單向交流，對(duì)課堂教學(xué)的創(chuàng)新氛圍起著推動(dòng)作用．

2)多媒體展示能為理性知識(shí)注入感性元素，能把抽象思維具體化，能讓靜止變?yōu)檫\(yùn)動(dòng)，有利于課堂教學(xué)的重點(diǎn)突出、難點(diǎn)分解．

比如立體幾何、解析幾何的教學(xué)、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像教學(xué)等都可以用多媒體展示，這樣避免了教師“強(qiáng)塞硬灌”，使學(xué)生能在歡快的氛圍中學(xué)習(xí)，得到較好的課堂效果．