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        論三角運(yùn)算中的無理數(shù)

        2015-06-12 12:47:01浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2012級(jí)教育碩士浙江金華321004
        關(guān)鍵詞:浙江師范大學(xué)反證法內(nèi)角

        ●沈 亞 (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2012級(jí)教育碩士 浙江金華 321004)

        ●呂孫忠 (北京師范大學(xué)研究生院 北京 100875)

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        論三角運(yùn)算中的無理數(shù)

        ●沈 亞 (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2012級(jí)教育碩士 浙江金華 321004)

        ●呂孫忠 (北京師范大學(xué)研究生院 北京 100875)

        文獻(xiàn)[1]中針對(duì)一道“北約”自主招生的試題,得出了2個(gè)關(guān)于三角函數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)命題如下:

        命題1和命題2分別討論了余弦和正切的情況,那么正弦角的情況又是怎么樣的呢?

        文獻(xiàn)[1]中用了反證法,根據(jù)tan15°為無理數(shù),證明了tan3°為無理數(shù),那么tanθ和tannθ之間有什么聯(lián)系呢?

        推論1 若tanθ為有理數(shù),則tannθ為有理數(shù),其中n∈Z.

        推論2 若tannθ為無理數(shù),則tanθ必為無理數(shù),其中n∈Z.

        分析 用反證法證明.若tanθ為有理數(shù),則根據(jù)推論1,可得tannθ為有理數(shù),矛盾,故tanθ必為無理數(shù).

        分析 類似于推論1的證明,可用數(shù)學(xué)歸納法得到該結(jié)論.

        推論4 若cosθ為有理數(shù),則cosnθ為有理數(shù),其中n∈Z.

        分析 根據(jù)切比雪夫多項(xiàng)式展開

        2cosnθ=(2cosθ)n+a1(2cosθ)n-1+…+

        an-1(2cosθ)+an,

        其中a1,…,an-1,an為正整數(shù),可知,若cosθ為有理數(shù),則cosnθ一定為有理數(shù).

        推論5 若cosnθ為無理數(shù),則cosθ為無理數(shù),其中n∈Z.

        分析 用反證法證明.若cosθ為有理數(shù),則根據(jù)推論3,可得cosnθ為有理數(shù),矛盾,故cosθ必為無理數(shù).

        眾所周知,kπ~k×360°,它在弧度制中是無理數(shù),而在度的單位中卻是一個(gè)整數(shù).如果將單位轉(zhuǎn)為度,那么在正弦、余弦和正切中,對(duì)任意θ∈(0°,90°)且θ∈Q,只有sin30°,cos60°和tan45°為有理數(shù),在以度為單位的三角形中可得:

        推論7 如果一個(gè)三角形的3條邊都是有理數(shù),且存在一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為有理數(shù),則該內(nèi)角的大小只能是60°,90°,120°.

        下面通過具體的例子來說明這些結(jié)論在解題中的應(yīng)用.

        例1 證明:tan3°是無理數(shù).

        (2014年“北約”自主招生試題)

        分析 對(duì)于問題1),文獻(xiàn)[3]中的證明技巧性非常強(qiáng),過程比較復(fù)雜,現(xiàn)給出比較簡(jiǎn)單的解法.

        例4 如果一個(gè)三角形的3條邊和3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為有理數(shù),則該三角形一定是等邊三角形.

        分析 根據(jù)推論7,可知該三角形3個(gè)內(nèi)角為60°,90°,120°之一,不妨設(shè)為A,B,C,則A+B+C≥60°+60°+60°,且A+B+C=180°,故A,B,C均為60°,即該三角形為等邊三角形.

        [1] 黃麗生.一道“北約”自主招生試題的探究與推廣[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014(6):28.

        [2] 閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].3版.北京:高等教育出版社,2005.

        [3] 劉培杰.有理數(shù)與無理數(shù)的判定[J].中等數(shù)學(xué),2015(3):8-12.

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