●沈 亞 (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2012級(jí)教育碩士 浙江金華 321004)

●呂孫忠 (北京師范大學(xué)研究生院 北京 100875)

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論三角運(yùn)算中的無理數(shù)

●沈 亞 (浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院2012級(jí)教育碩士 浙江金華 321004)

●呂孫忠 (北京師范大學(xué)研究生院 北京 100875)

文獻(xiàn)[1]中針對(duì)一道“北約”自主招生的試題，得出了2個(gè)關(guān)于三角函數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)命題如下：

命題1和命題2分別討論了余弦和正切的情況，那么正弦角的情況又是怎么樣的呢？

文獻(xiàn)[1]中用了反證法，根據(jù)tan15°為無理數(shù)，證明了tan3°為無理數(shù)，那么tanθ和tannθ之間有什么聯(lián)系呢？

推論1 若tanθ為有理數(shù)，則tannθ為有理數(shù)，其中n∈Z.

推論2 若tannθ為無理數(shù)，則tanθ必為無理數(shù)，其中n∈Z.

分析 用反證法證明.若tanθ為有理數(shù)，則根據(jù)推論1，可得tannθ為有理數(shù)，矛盾，故tanθ必為無理數(shù).

分析 類似于推論1的證明，可用數(shù)學(xué)歸納法得到該結(jié)論.

推論4 若cosθ為有理數(shù)，則cosnθ為有理數(shù)，其中n∈Z.

分析 根據(jù)切比雪夫多項(xiàng)式展開

2cosnθ=(2cosθ)n+a1(2cosθ)n-1+…+

an-1(2cosθ)+an，

其中a1,…,an-1,an為正整數(shù)，可知，若cosθ為有理數(shù)，則cosnθ一定為有理數(shù).

推論5 若cosnθ為無理數(shù)，則cosθ為無理數(shù)，其中n∈Z.

分析 用反證法證明.若cosθ為有理數(shù)，則根據(jù)推論3，可得cosnθ為有理數(shù)，矛盾，故cosθ必為無理數(shù).

眾所周知，kπ～k×360°，它在弧度制中是無理數(shù)，而在度的單位中卻是一個(gè)整數(shù).如果將單位轉(zhuǎn)為度，那么在正弦、余弦和正切中，對(duì)任意θ∈(0°,90°)且θ∈Q，只有sin30°，cos60°和tan45°為有理數(shù)，在以度為單位的三角形中可得:

推論7 如果一個(gè)三角形的3條邊都是有理數(shù)，且存在一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為有理數(shù)，則該內(nèi)角的大小只能是60°，90°，120°.

下面通過具體的例子來說明這些結(jié)論在解題中的應(yīng)用.

例1 證明：tan3°是無理數(shù)．

(2014年“北約”自主招生試題)

分析 對(duì)于問題1)，文獻(xiàn)[3]中的證明技巧性非常強(qiáng)，過程比較復(fù)雜，現(xiàn)給出比較簡(jiǎn)單的解法.

例4 如果一個(gè)三角形的3條邊和3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為有理數(shù)，則該三角形一定是等邊三角形.

分析 根據(jù)推論7，可知該三角形3個(gè)內(nèi)角為60°，90°，120°之一，不妨設(shè)為A，B，C，則A+B+C≥60°+60°+60°，且A+B+C=180°，故A，B，C均為60°，即該三角形為等邊三角形.

[1] 黃麗生.一道“北約”自主招生試題的探究與推廣[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014(6)：28.

[2] 閔嗣鶴，嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].3版.北京：高等教育出版社，2005.

[3] 劉培杰.有理數(shù)與無理數(shù)的判定[J].中等數(shù)學(xué),2015(3)：8-12.