俞正強(qiáng)

圓面積公式的推導(dǎo)不同于其他圖形面積公示的推導(dǎo)，關(guān)鍵之處在于把一個(gè)圓形變成了長(zhǎng)方形，這種變是學(xué)生很難接受的。

教師通常會(huì)通過(guò)上圖的比較告訴學(xué)生：分得更多就會(huì)更像長(zhǎng)方形，這就是無(wú)限接近的意思。但對(duì)學(xué)生而言，分得再細(xì)也還是曲線，只是由更短的曲線接起來(lái)而已。

數(shù)學(xué)專(zhuān)家會(huì)說(shuō)，因?yàn)榫€是由點(diǎn)組成的，當(dāng)分成點(diǎn)時(shí)，曲線就會(huì)變成直線。但問(wèn)題是：由圓分割而成的始終是如下的形狀。

當(dāng)變成點(diǎn)，這個(gè)形狀還有嗎？長(zhǎng)方形還在嗎？

當(dāng)然，對(duì)于這些想法，學(xué)生是不會(huì)講出來(lái)的。因?yàn)樗麄円呀?jīng)習(xí)慣了聽(tīng)教師所說(shuō)的。教師說(shuō)變成長(zhǎng)方形，就是長(zhǎng)方形吧，何苦自尋煩惱！而這種想法正是教學(xué)的可怕之處。我們?cè)诮探o學(xué)生知識(shí)的同時(shí)斷了他們思想的沖動(dòng)。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該想辦法紓解圓方（曲直）之間的糾結(jié)關(guān)系。

圓形變成長(zhǎng)方形的困難究其根源是線的曲直問(wèn)題。因此，在小學(xué)，有兩節(jié)課可以為這個(gè)問(wèn)題的紓解做比較好的鋪墊。

鋪墊一：線無(wú)曲直

小學(xué)四年級(jí)有一節(jié)課是“線的認(rèn)識(shí)”。在這一節(jié)課中，很重要的一個(gè)內(nèi)容是認(rèn)識(shí)“線的基本屬性為長(zhǎng)短”。但在生活中，線除了有長(zhǎng)短外，還有曲直、粗細(xì)之分。因此，要在這一課中讓學(xué)生體會(huì)線無(wú)曲直、無(wú)粗細(xì)，明確曲直、粗細(xì)并非線的基本屬性。

……

師：同學(xué)們，大家都說(shuō)線分曲線和直線。

生：是的。

師：請(qǐng)大家說(shuō)說(shuō)你是怎樣來(lái)區(qū)分曲線和直線的？

生：只要不直的就是曲線。

師：（兩只手拿起一條線且拉直）同學(xué)們，這條線是什么線？

生：直線。

師：（兩只手往中間靠攏）同學(xué)們，這條線是什么線？

生：曲線。

師：這條線一會(huì)兒是曲線，一會(huì)兒是直線，那這條線到底是什么線？

生：……（發(fā)呆了）

師：這條線變直、變曲的原因是什么？

生：是老師在拉，是老師的原因。

師：很好，那線自己是曲的，還是直的呢？

生：不知道，它自己只是線而已。

師：線自己有曲直嗎？

生：沒(méi)有。

整個(gè)過(guò)程顛覆了學(xué)生確定線有曲直的生活經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)樵谶@一過(guò)程中，教師把生活中的線通過(guò)一個(gè)活動(dòng)把它分為現(xiàn)象與本質(zhì)。從現(xiàn)象上看，是有曲直的;從本質(zhì)上看，卻是無(wú)曲直的。這種關(guān)于現(xiàn)象與本質(zhì)的討論，是無(wú)法用語(yǔ)言給學(xué)生講明白的。只有在活動(dòng)中有所感悟，有所體會(huì)，有所驚詫?zhuān)兴苫?，恰是在驚詫和疑惑中，才會(huì)更好地體會(huì)關(guān)于線的現(xiàn)象與

本質(zhì)。

原來(lái)的關(guān)于線有曲直的根深蒂固的觀念被動(dòng)搖，繼而慢慢地樹(shù)立起關(guān)于線無(wú)曲直的認(rèn)識(shí)。線的曲直由“二”的狀態(tài)變成“一”的狀態(tài)。

鋪墊二：圓是幾邊形

在小學(xué)五年級(jí)“圓的認(rèn)識(shí)”這一課中，圓的特征是曲線。這是與之前學(xué)過(guò)的圖形在外觀上的最大不同。因此，對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，有必要在直線與曲線上再一次聯(lián)結(jié)，使四年級(jí)“線的認(rèn)識(shí)”一課中埋下的“線無(wú)曲直”的種子得到伸展。

材料：將正三邊形每邊的中間折斷，會(huì)得到六邊形，然后將每邊的中間折斷，得到十二邊形，依次不斷進(jìn)行，得到下圖。

問(wèn)題討論

問(wèn)題1：以此不斷，一直到最后，最后會(huì)是個(gè)什么圖形？

結(jié)論：最后是一個(gè)圓。

問(wèn)題2：圓是幾邊形？

觀點(diǎn)1：圓是無(wú)數(shù)邊形。

觀點(diǎn)2：圓是一邊形。

討論1：為什么會(huì)認(rèn)為圓是無(wú)數(shù)邊形？

正三邊形 ?正六邊形 ?正十二邊形 ?正二十四邊形，

不斷分邊，越多越圓，因此，圓是無(wú)數(shù)邊形。

討論2：那圓是一邊形的理由呢？

沒(méi)有理由，一看就是一邊。

討論3：無(wú)數(shù)邊是由觀察推想出來(lái)的，是無(wú)數(shù)條直邊。

一邊形是觀察來(lái)的，是一條曲邊。那誰(shuí)對(duì)呢？

結(jié)論：都對(duì)，無(wú)數(shù)條直邊組成一條曲邊。

這個(gè)結(jié)論非常重要，從小學(xué)四年級(jí)對(duì)曲直邊線的模糊，到五年級(jí)的曲直融合，對(duì)線的認(rèn)識(shí)有了漸趨完整的認(rèn)識(shí)。

如前所述，公式推導(dǎo)的難點(diǎn)在于線的化曲為直，因?yàn)橐呀?jīng)有了兩個(gè)鋪墊，即線無(wú)曲直，曲由直來(lái)，再來(lái)理解化曲為直，是十分自然而然的。

這個(gè)例子可以說(shuō)明：

（1）圓形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，從表象上來(lái)看，是形的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是線的問(wèn)題。線化曲為直的可理解決定形化圓為方的可理解。

（2）一節(jié)課的難點(diǎn)，如果之前不鋪墊或在這幾個(gè)點(diǎn)上略過(guò)，本質(zhì)上說(shuō)這節(jié)課的難點(diǎn)就會(huì)失去突破的機(jī)會(huì)。所謂的“突破”也只是學(xué)生無(wú)奈的記憶而已。

因此，數(shù)學(xué)課真的不是那么好上的。學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)難，可能真正難的是教師不知道今天的困難是由昨天的無(wú)知造成的。

（責(zé)任編輯：孫建輝）