劉曉梅 姜 旭

(1.華僑大學(xué)廈門工學(xué)院，福建 廈門 361000； 2.福建省雙陽建筑工程有限公司，福建 廈門 361000)

橫觀各向同性地基上薄圓板彎曲解析解

劉曉梅1姜 旭2

(1.華僑大學(xué)廈門工學(xué)院，福建 廈門 361000； 2.福建省雙陽建筑工程有限公司，福建 廈門 361000)

結(jié)合板的邊界條件、控制方程及板—地基的相容條件解出控制方程中的待定系數(shù)，將橫觀各向同性彈性半空間地基上薄圓板受豎向荷載作用的彎曲問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值積分和代數(shù)方程組的求解，算例結(jié)果表明：在求板的位移時(shí)該級(jí)數(shù)解答僅取前幾項(xiàng)就可達(dá)到很好的精度，收斂速度快。

橫觀各項(xiàng)同性，薄圓板，彎曲，傅立葉—貝塞爾級(jí)數(shù)，Hankel變換

0 引言

彈性地基板在實(shí)際工程中有著廣泛的應(yīng)用，前人已對(duì)溫克爾地基及雙參數(shù)地基上板的彎曲進(jìn)行過充分的研究，對(duì)各向同性彈性半空間地基上板的彎曲也有所研究[1,2]。天然地基土在橫向和豎向具有不同的力學(xué)特性，考慮到土體的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，將地基土作為橫觀各向同性彈性半空間模式處理較切合實(shí)際。本文利用傅立葉—貝塞爾級(jí)數(shù)，結(jié)合板的邊界條件、控制方程和相容條件，將橫觀各向同性彈性半空間地基上薄圓板受豎向荷載作用的彎曲問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值積分和代數(shù)方程組的求解。

1 橫觀各向同性彈性半空間的解答

設(shè)：

(1)

并引入以下應(yīng)力組合：

T1n=τθzn+τrzn,T2n=τθzn-τrzn

(2)

(3)

式(3)中：

其中，A，B，C，D，E和F為待定系數(shù)。

(4)

注意到式(2)，進(jìn)行Hankel變換后，則式(4)可表示為：

(5)

把式(3)代入到式(5)中，解出A～F的表達(dá)式,其中C=D=F=0，可求得彈性半空間表面在豎向荷載下的沉降，并將其進(jìn)行Hankel變換后得到：

(6)

其中：

L1=(c13+c44)c11(s1-s2)；

(7)

2 彈性半空間地基上薄圓板彎曲的傅立葉—貝塞爾級(jí)數(shù)解

設(shè)周邊自由的薄圓板，半徑為a，置于橫觀各向同性彈性半空間地基上，則其控制方程為：

D22w(r,θ)=q(r,θ)-p(r,θ)

(8)

將圓板的邊界條件用撓度表示為：

(9)

(10)

設(shè)w，q和p可展開為下列形式的傅立葉—貝塞爾級(jí)數(shù)[4]，即：

(11)

(12)

(13)

其中：

(14)

(15)

將式(11)代入邊界條件式(9)和式(10)中，比較所得式中cosnθ的系數(shù)，得：

(16)

(17)

將式(13)中的pn(r)也按傅立葉—貝塞爾級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，并進(jìn)行n階Hankel變換得：

(18)

假定板與地基接觸面沿板中面方向光滑，并考慮到地基表面所受的豎向荷載與地基反力的關(guān)系，則由式(6)和式(18)得：

(19)

對(duì)式(19)進(jìn)行n階Hankel逆變換，得：

(20)

(21)

式(21)中：

(22)

式(22)中：

(23)

(24)

由板與地基的相容條件可以看出，在板與地基不發(fā)生脫離的情況下，z=0處板的撓度等于地基的撓度：

(25)

(26)

聯(lián)立求解式(15)，式(16)，式(17)及式(26)這四個(gè)控制方程，可得到各待定系數(shù)wnm,pnm,An,Bn。

3 數(shù)值算例

板的參數(shù)如下：

a=6m，h=1m，μb=0.167，Eb=20GPa。

橫觀各向同性彈性半空間地基的計(jì)算參數(shù)如下：

E1=5MPa,E2=10MPa,μ1=0.25,μ2=0.25,G2=1.5MPa。

設(shè)板受到均勻分布的荷載q0=1N/m2，數(shù)值積分采用10節(jié)點(diǎn)高斯積分[5,6]。計(jì)算結(jié)果見圖1。

計(jì)算結(jié)果表明：

1)在橫觀各向同性彈性半空間地基上的薄圓板的撓度隨著r/a的增大而逐漸減小，撓曲線光滑、連續(xù)。

2)傅立葉—貝塞爾級(jí)數(shù)解法的計(jì)算精度與所取的級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)。

3)用傅立葉—貝塞爾級(jí)數(shù)解法求得的橫觀各向同性彈性半空間地基上薄圓板彎曲問題符合實(shí)際情況。

4 結(jié)語

本文借助于傅立葉—貝塞爾級(jí)數(shù)、Hankel變換與其逆變換，分析了橫觀各向同性彈性半空間地基上薄圓板受豎向荷載作用下的彎曲問題，采用比較系數(shù)法將復(fù)雜的偏微分方程轉(zhuǎn)化為數(shù)值積分和代數(shù)方程組的求解，較其他方法更為簡單，更具有一般意義，從而為基礎(chǔ)工程的設(shè)計(jì)、計(jì)算提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

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[6] 關(guān) 治，陸金莆.數(shù)值分析基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1998:210-219.

Analysis on thin circular plate bending solution on transverse isotropic foundation

Liu Xiaomei1Jiang Xu2

(1.XiamenCollegeofIndustry,HuaqiaoUniversity,Xiamen361000,China;2.FujianShuangyangBuildingEngineeringCo.,Ltd,Xiamen361000,China)

The paper finds out undetermined coefficients of governing equation by combining with boundary condition, governing equation, and compatibility conditions of board and foundation, and transforms thin circular plate bending under vertical load into numerical integration method and algebraic equations. Results show that: the plate displacement solution can achieve perfect accuracy by extracting several items, furthermore, its convergence rate is rather rapid.

transverse isotropy, thin circular plate, bending, Fourier-Bessel series, Hankel transformation

2014-12-17

劉曉梅(1984- )，女，碩士，講師； 姜 旭(1982- )，男，工程師

1009-6825(2015)06-0081-03

TU433

A