林永暉

(福建永春縣教育局,福建 泉州 362600)

重視教材例習(xí)題處理培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)

林永暉

(福建永春縣教育局,福建 泉州 362600)

例、習(xí)題的教學(xué)是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的重要部分。在教學(xué)過(guò)程中重視課本例、習(xí)題的剖析教學(xué)，對(duì)典型的例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪脚c延伸，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

例、習(xí)題；獨(dú)創(chuàng)性;深刻性;系統(tǒng)性；思維品質(zhì)

教材中的例、習(xí)題體現(xiàn)課標(biāo)要求，蘊(yùn)寓知識(shí)要點(diǎn)，深遂而經(jīng)典，具有良好的示范作用。在課堂教學(xué)中，教師若能對(duì)教材中典型的例、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪脚c延伸，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。本文結(jié)合自己多年來(lái)的教學(xué)實(shí)踐，從例、習(xí)題的教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、獨(dú)創(chuàng)性、深刻性、系統(tǒng)性、靈活性等方面談幾點(diǎn)看法。

1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

創(chuàng)設(shè)良好的問(wèn)題情境有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中主動(dòng)思考和探究[1]。在教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想并提出問(wèn)題，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的求知欲驅(qū)使下，完成問(wèn)題的解決過(guò)程，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性的目的。

例1： 解下列方程組

第一，憑直覺(jué)猜測(cè)：各方程組中可能存在某種聯(lián)系。仔細(xì)觀(guān)察以上各個(gè)方程的未知數(shù)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系：

第二，啟發(fā)學(xué)生作逆向猜測(cè)：

可以證明，逆命題也成立。

再進(jìn)一步，作發(fā)散性猜想：

是否還存在某一類(lèi)方程組，它們也具有一個(gè)相同的解呢？(或它們的解帶有某種規(guī)律)，于是將學(xué)生思維導(dǎo)入“實(shí)驗(yàn)(觀(guān)察、分析)―猜想―證明”這一重要的思考問(wèn)題的方法上，及時(shí)拓展學(xué)生思維層面，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性的思維。

現(xiàn)將學(xué)生得出的猜測(cè)舉例如下：

思維的廣闊性是思維品質(zhì)的一部分。培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，必須有豐富的廣闊知識(shí)面，善于從多角度、多方位、多層次去思考問(wèn)題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題。教學(xué)中應(yīng)注意發(fā)揮橫向思維的作用，并適時(shí)的進(jìn)行歸納總結(jié)。廣闊的知識(shí)面和嫻熟的演繹推理及歸納總結(jié)能力是提高思維的廣闊性的關(guān)鍵。

2 探究合作互動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性

探究合作互動(dòng)是在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的基礎(chǔ)上，重視探究問(wèn)題的提出，讓學(xué)生主動(dòng)參與探究的過(guò)程。這就要求教師不斷提高自己的專(zhuān)業(yè)知識(shí)水平，在教學(xué)過(guò)程中能提出自己獨(dú)到的見(jiàn)解，讓學(xué)生有自主學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間，提高學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)能力。

例2：已知P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠PCD=∠PDC=15°，求證：△PAB是一個(gè)正三角形。

這是一道典型的習(xí)題，證法很多，如果我們巧妙地利用一個(gè)十分簡(jiǎn)單的結(jié)論：1周角等于3600來(lái)證，則其證法非常簡(jiǎn)潔，令人耳目一新。

證：顯然△PAD?△PBC所以PA=PB。假設(shè)AB>PA，則∠APB>∠PBA= ∠PAB,于是∠APB>600，而∠APD=∠BPC>∠BCP=90°-15°=75°,所以∠APB+∠APD+∠BPC+∠CPD>60°+75°+75°+150°=360°，與一周角等于360°矛盾，所以AB>PA不可能，同理AB

課堂教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生多方位觀(guān)察，積極思考，鼓勵(lì)獨(dú)立探索和敢于創(chuàng)新的精神，對(duì)于學(xué)生的新觀(guān)點(diǎn)和精神給予積極的肯定和鼓勵(lì)，保持教師對(duì)學(xué)生的期待感，順應(yīng)學(xué)生的成功心理，克服怯懦，大膽地發(fā)表自己的觀(guān)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生敢于創(chuàng)新的自信心，從而最大程度地激發(fā)學(xué)生蘊(yùn)含著的無(wú)限創(chuàng)造力。

3 克服思維定勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

思維定勢(shì)是指人們?cè)陂L(zhǎng)期的學(xué)習(xí)過(guò)程中所形成的一種習(xí)慣性思維方法，它對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)具有積極的一面也有消極的一面,消極的一面可使學(xué)生用已形成的固定思路和習(xí)慣考慮問(wèn)題，用固定了的方法解決問(wèn)題，造成解題思路受阻、解題過(guò)程繁雜。因此在平常的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，幫助學(xué)生擺脫思維定勢(shì)的消極影響。

例3:求證不論a取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2- (a2+a)x+a- 2=0 必有2個(gè)不相等的實(shí)根。

按常規(guī)解法，先計(jì)算判別式△，然后根據(jù)△的符號(hào)再得出結(jié)論。

△=(a2+a)2-4(a- 2)=a4+2a3+a2-4a+8

發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)關(guān)于a的四次多項(xiàng)式。由于學(xué)生思路受“判別式定勢(shì)”的影響，當(dāng)求出△時(shí)，一時(shí)難以判定它的符號(hào)，從而解題陷入困境。

倘若我們改變一下思維方法，構(gòu)造二次函數(shù)f(x) =x2- (a2+a)x+a- 2 ，要證明原命題成立，只需證明這個(gè)二次函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)，由于它的開(kāi)口向上，因此只要找到一個(gè)x的值使得y<0，那么問(wèn)題就解決了。

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=1時(shí)f(1) = 12- (a2+a)+a- 2 = -a2-1<0 圖象與x軸必須有2個(gè)不同的交點(diǎn)，故原命題成立。

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意消除思維定勢(shì)的消極影響，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)，挖掘習(xí)題的隱含條件，通過(guò)變換思考角度, 培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

4 重視總結(jié)提高，培養(yǎng)學(xué)生思維的系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)學(xué)科有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系和完整的系統(tǒng)，知識(shí)間前后照應(yīng)，密切相聯(lián)。因此，教師在教學(xué)中要遵循系統(tǒng)性原則，掌握好教學(xué)內(nèi)容體系，通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的知識(shí)傳授，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

例4:已知O是平行四邊形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)。求證：SΔAOB+SΔDOC=SΔAOD+SΔBOC

以下是這一題型的歸類(lèi)：

5 通過(guò)多解變形，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性

一題多解，是從不同角度進(jìn)行探究得到不同的解題思路，它有利于拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；一題多變，是對(duì)于課本的例、習(xí)題，或保持已知條件不變，探索是否能得出更深刻的結(jié)論，或在原題的基礎(chǔ)上適當(dāng)改變條件、結(jié)論，探索是否能得出更一般性的結(jié)論。在對(duì)變式題的求解的教學(xué)中，面對(duì)由多種變式變換得來(lái)的新題，學(xué)生必須分析一些情境的特點(diǎn)，找出已知和未知的聯(lián)系，或聯(lián)想，或類(lèi)比，或推廣，重新組織已知的規(guī)則，形成新的高級(jí)規(guī)則，嘗試解決新的問(wèn)題，通過(guò)多解變形，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性[2]。

例5:已知a≥0,b≥0，且a+b=1，求a2+b2的最大值和最小值。

解法一：(函數(shù)思想)

由a+b=1得b=1-a，則

因?yàn)閍≥0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得

當(dāng)a=1或a=0時(shí)，a2+b2的最大值為1。

解法二：(運(yùn)用基本不等式)

因?yàn)閍≥0,b≥0，a+b=1，

a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab

解法三：(對(duì)稱(chēng)換元思想)

因?yàn)?，a≥0,b≥0，且a+b=1，可設(shè)

解法四：(數(shù)形結(jié)合思想)

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)a2+b2=r2(r>0)，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)r滿(mǎn)足什么條件時(shí)，⊙O與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)

因?yàn)閍≥0,b≥0，且a+b=1，

所以 當(dāng)⊙O過(guò)A、B時(shí)，a2+b2取最大值1

解法五：(解析幾何思想)

設(shè)A(1,0)、B(0,1)線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)C(a，b)

因?yàn)閍≥0,b≥0，且a+b=1，

所以 當(dāng)點(diǎn)C與線(xiàn)段AB的端點(diǎn)重合時(shí)，a2+b2取最大值1

下面是對(duì)本題的變式和推廣：

變式1：已知a、b為非負(fù)數(shù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。

變式2：已知a、b≥0且a+b=1，能求a8+b8的取值范圍嗎？a6+b6呢？a7+b7的范圍能求嗎？

對(duì)課本例、習(xí)題的巧妙變式，及對(duì)課本例、習(xí)題的一題多解和一題多變訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生多角度、多層次地去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高解題能力，同時(shí)也能有效的防止題海戰(zhàn)術(shù)。

綜上所述，教師應(yīng)注重挖掘例、習(xí)題內(nèi)涵，對(duì)課本典型例、習(xí)題的進(jìn)行變形處理，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，促進(jìn)其良好思維品質(zhì)的形成。

[1] 顏望輝.“兩型”數(shù)課堂教學(xué)模式研究與實(shí)踐[J].當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2014(11)：12-14.

[2] 李為.初中數(shù)學(xué)課堂問(wèn)題設(shè)計(jì)例談[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014(8)19-21.

(責(zé)任校對(duì) 晏小敏)

20141203

林永暉(1964-)，男，福建永春人，中學(xué)一級(jí)，主要從事教育管理研究。

10.13582/j.cnki.1674-5884.2015.05.008

G625.5

A

1674-5884(2015)05-0025-04