丁正燕

【摘要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，也是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的邏輯起點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心.但是重解題、輕概念，重結(jié)論、輕過程，重講授、輕探索的現(xiàn)象比較普遍，從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握效果大打折扣.因此，對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的優(yōu)化，以求共同推進(jìn)課程改革的深入.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；概念數(shù)學(xué)；優(yōu)化策略

新一輪課程改革的核心理念強(qiáng)調(diào)“重視科學(xué)教育，全面提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)”.科學(xué)概念是組成科學(xué)知識(shí)的基本單元，也是科學(xué)素養(yǎng)的基本構(gòu)成要素，對(duì)數(shù)學(xué)核心概念的正確表征是衡量科學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要維度.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，也是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的邏輯起點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心.因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)成功與否的一個(gè)重要標(biāo)志，也應(yīng)該成為老師教學(xué)的著眼點(diǎn)和落腳點(diǎn).

一、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)現(xiàn)狀

1.重解題，輕概念

一方面受應(yīng)試教育的影響，許多教師仍然存在“重解題技巧教學(xué)，輕數(shù)學(xué)概念教學(xué)”的傾向，有的教師還刻意追求“概念教學(xué)的最小化和習(xí)題教學(xué)的最大化”；另一方面受課時(shí)安排及教學(xué)進(jìn)度的影響.這樣的結(jié)果導(dǎo)致學(xué)生在沒能正確理解數(shù)學(xué)概念，無法形成能力的情況下匆忙去解題，使得學(xué)生只會(huì)模仿老師解決某些典型的題型和掌握某類特定的解法，一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策，甚至導(dǎo)致教師和學(xué)生為了提高成績(jī)陷入無底的題海之中.

2.重結(jié)論，輕過程

有的教師為完成教學(xué)任務(wù)，在概念的教學(xué)過程中往往把數(shù)學(xué)概念看作一個(gè)名詞，對(duì)概念作解釋，只重視對(duì)概念的記憶，而忽視概念的引入和形成過程.在引入概念時(shí)沒有留給學(xué)生足夠的空間讓學(xué)生經(jīng)歷概念的產(chǎn)生、探究過程，沒有真正理解和揭示概念的本質(zhì)，這樣很難體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和它們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中的作用，致使學(xué)生創(chuàng)造力低，缺乏可持續(xù)發(fā)展的后勁.

3.重講授，輕探索

由于數(shù)學(xué)概念的單調(diào)、枯燥，教師不敢放手讓學(xué)生自主探索，而是強(qiáng)行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，僅注重教師教的過程，忽視學(xué)生學(xué)的過程，也沒能通過大量實(shí)例分析揭露概念的本質(zhì)，這樣不能體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，嚴(yán)重影響了學(xué)生正確數(shù)學(xué)觀念的形成，阻礙了學(xué)生的能力發(fā)展.

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效策略

有效教學(xué)指教師遵循教學(xué)活動(dòng)的客觀規(guī)律，以盡可能少的時(shí)間、精力和物力投入，取得盡可能多的教學(xué)效果，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，滿足社會(huì)和個(gè)人的教育價(jià)值需求.它是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的概念，其內(nèi)涵一直隨著教學(xué)價(jià)值觀、教學(xué)理論基礎(chǔ)以及教學(xué)方法變化而不斷擴(kuò)展、變化.本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐介紹概念教學(xué)的幾種策略.

1.創(chuàng)設(shè)生活情境，感知數(shù)學(xué)概念

概念的引出是進(jìn)行概念教學(xué)的第一步，這一步走得如何，將影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí).因此，在概念教學(xué)中，教師不應(yīng)只簡(jiǎn)單地給出概念，而應(yīng)加強(qiáng)對(duì)概念的引出，加深對(duì)新概念的印象，創(chuàng)設(shè)情境是解決這一問題的最好方法.

案例1 在“算法語(yǔ)句”教學(xué)時(shí)的教學(xué)片片：

師：編一個(gè)程序，交換兩個(gè)變量A和B的值，并輸出交換后的值.

生1：輸入A，輸入B，然后A=B，B=A.

師：這樣做行嗎？大家再想想這樣真的交換了A與B的值嗎？

生2：不可以，這樣輸出的都是B或A的值.

師：這個(gè)問題就如同日常生活中的兩瓶紅、黑墨水，你想交換兩者，可不可以直接把黑的倒到紅的瓶里，再倒回來？

圖 1生2：不對(duì)，應(yīng)先把其中一瓶倒入一個(gè)空瓶，再交換.

師：也就是說要借助空瓶才可實(shí)現(xiàn)交換，所以這里應(yīng)

該引進(jìn)一個(gè)變量T.首先把紅墨水倒入空瓶T中，再把黑

墨水倒入原先裝有紅墨水的瓶中，最后把空瓶T中的紅墨

水倒入原先裝有黑墨水的瓶中（如圖1所示，在黑板上畫

出圖1）.上述A與B的交換問題該如何抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)

語(yǔ)言？

生眾：T=A，A=B，B=T.（學(xué)生齊聲說出了答案）

在教學(xué)片段中，教師從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的認(rèn)知水平出發(fā)，借助生活中倒墨水的情境自然引導(dǎo)學(xué)生引入變量T，實(shí)現(xiàn)了從經(jīng)驗(yàn)性概念轉(zhuǎn)變到理論性概念的過程.因此，教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)處于學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展水平相適應(yīng)，這樣可以幫助學(xué)生有意義建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，也可提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

2.加強(qiáng)例證分析，類比數(shù)學(xué)概念

概念的形成，需要從大量典型、豐富的具體例子出發(fā)，學(xué)生經(jīng)過自己的實(shí)踐活動(dòng)，去偽存真，從中分析、類比、猜想、聯(lián)想、歸納、概括出一類相同事例的共同本質(zhì)特征，從而理解和掌握概念.

案例2 在“分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理”教學(xué)時(shí)的教學(xué)片段：

問題1：書架有三層，上面一層放6本不同的數(shù)學(xué)書，中間一層放5本不同的語(yǔ)文書，下面一層放3本不同的外語(yǔ)書.從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

問題2：書架有三層，上面一層放6本不同的數(shù)學(xué)書，中間一層放5本不同的語(yǔ)文書，下面一層放3本不同的外語(yǔ)書.從書架上取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書和外語(yǔ)書各1本，有多少種不同的取法？

師：以問題1和問題2為例說明解決問題的方式有哪些不同？

生1：這兩個(gè)問題相同之處都是取書問題，但是取書的方式是不同的.

（他的回答引來同學(xué)們一陣笑聲，認(rèn)為他沒說到點(diǎn)子上）

生2：在問題1中，只要在數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書和外語(yǔ)書這三類書中任取1本就可以了；而問題2卻不同，它需要每一類書中都要取出1本才行.

生3：?jiǎn)栴}1中的取書是分類做的，而問題2中的取書是分步做的.

生4：這兩個(gè)問題的最大區(qū)別就是，在問題1的三類方法中，每一類方法中的任何一種取法都可以將工作做完；而在問題2的三個(gè)步驟中，缺少任何一個(gè)步驟都不能將工作做完.

師：同學(xué)們說得很好！請(qǐng)同學(xué)們?cè)僬勔徽?，這兩類問題中的方法種數(shù)是怎么計(jì)算出來的？

生5：?jiǎn)栴}1用的是“加法”，而問題2用的是“乘法”.

生6：如果完成工作是分類進(jìn)行的，那么就把每一類中的方法種數(shù)加起來；如果完成的工作是分步進(jìn)行的，就把每一步中的方法種數(shù)乘起來，作為完成這項(xiàng)工作的種數(shù).

師：通過對(duì)問題1和問題2的討論，我們發(fā)現(xiàn)：完成一件事可以有兩種方式，一種是分類去做，一種是分步去做.一般地，我們有（提出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理）：

（1）分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

（2）分步計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1×m2×…×mn種不同的方法.

在教學(xué)片段中，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理不是由教師直接給出的，而是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生自己通過觀察、比較、概括、抽象等思維活動(dòng)，逐步概括得到的.這一過程與前人形成這個(gè)概念所經(jīng)歷的過程有某種一致性.這樣進(jìn)行概念教學(xué)不僅能使學(xué)生深刻理解概念，而且也能更好地培養(yǎng)思維能力.

3.創(chuàng)設(shè)自主探究，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

建構(gòu)主義的教學(xué)理論指出，概念教學(xué)重點(diǎn)并不在于概念本身，而在于建構(gòu)概念的整個(gè)過程，更在于學(xué)生本人的思維構(gòu)造.教師作為概念教學(xué)過程的引導(dǎo)者，要恰當(dāng)?shù)卮罱ㄌ骄科脚_(tái)，使學(xué)生通過主體探究，在新知識(shí)與各種知識(shí)建立聯(lián)系的過程中獲得新知，同時(shí)獲得成功的心理體驗(yàn)，從而自主建構(gòu)數(shù)學(xué)新概念.

案例3 在“二項(xiàng)式定理”教學(xué)時(shí)的教學(xué)片段：

師：牛頓究竟是如何發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的？1664年冬，22歲的牛頓在研讀沃利斯博士的《無窮算術(shù)》時(shí)，引發(fā)了許多思考……

（1）（a+b）2=？ （a+b）3=？ （a+b）4=？

一般情形下，當(dāng)n∈N*時(shí)，（a+b）n等于多少？不妨從（a+b）4入手，（a+b）4就是四個(gè)（a+b）相乘，（a+b）4=（a+b）（a+b）（a +b）（a+b） =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

（2）引導(dǎo)學(xué)生觀察（a+b）2，（a+b）3的展開式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

問題：請(qǐng)你觀察（a+b）2的展開式并思考：①展開式中各種類型的項(xiàng)是如何得到的？②展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？

（3）引導(dǎo)學(xué)生探索（a+b）4的展開式的項(xiàng)和系數(shù)的規(guī)律.

問題：①展開式中會(huì)有哪幾種類型的項(xiàng)？②展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是多少？

（啟發(fā)學(xué)生用多項(xiàng)式乘法法則和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和組合的知識(shí)分別解決這個(gè)問題）

（4）類比猜想，對(duì)二項(xiàng)式定理形成初步認(rèn)識(shí).

問題：你能將（a+b）3的展開式直接寫成類似的形式嗎？

（5）歸納猜想，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二項(xiàng)式定理.

問題：你能猜想（a+b）n的展開式嗎？

（6）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般項(xiàng).（暫不稱通項(xiàng)）

提問：展開式中的哪一項(xiàng)具有一般性？

否則提問：展開式中的每一項(xiàng)a，b的指數(shù)各不相同，你能用一個(gè)式子表示它們嗎？

（7）證明二項(xiàng)式定理.

說清楚兩點(diǎn)即可：①展開式中會(huì)有哪幾種類型的項(xiàng)？②展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是多少？

（8）提出“二項(xiàng)式定理”的概念.

在教學(xué)片段中，教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探索的教學(xué)環(huán)節(jié)，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)和啟發(fā)下的“再創(chuàng)造”過程，同時(shí)加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)和理解，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維方式思考問題，進(jìn)一步培養(yǎng)和提高學(xué)生的探究能力和創(chuàng)造能力.

4.運(yùn)用先行組織者，同化數(shù)學(xué)概念

概念的同化是指學(xué)習(xí)者知識(shí)的習(xí)得和建構(gòu)，主要依賴認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，去影響和促進(jìn)新的理解、掌握，溝通新、舊知識(shí)的互相聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng).美國(guó)著名教育心理學(xué)家奧蘇貝爾倡導(dǎo)的有意義學(xué)習(xí)必須以學(xué)習(xí)者原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，為促成有意義學(xué)習(xí)，他提出了“先行組織者”教學(xué)策略.其核心思想是在學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)前呈現(xiàn)給他們一些引導(dǎo)性材料，這些引導(dǎo)性材料與所學(xué)新知識(shí)之間能夠建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.其主要目的是在學(xué)生“已經(jīng)知曉”的與“需要知曉”的知識(shí)之間架設(shè)橋梁.

案例4 在“對(duì)數(shù)”教學(xué)時(shí)的教學(xué)片段：

由于對(duì)數(shù)是借助于指數(shù)式ab=N（a >0，且a≠1）來定義的，因此，在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念之前，應(yīng)系統(tǒng)復(fù)習(xí)指數(shù)知識(shí).可以說，指數(shù)知識(shí)是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念的第一個(gè)“引導(dǎo)性材料”.

為減少學(xué)生對(duì)logaN進(jìn)行工作記憶的負(fù)荷，可以在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念之前，說明符號(hào)log是一個(gè)整體，不能分開去看，并介紹logaN的讀法.可以說，對(duì)符號(hào)log的提前說明是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念的第二個(gè)“引導(dǎo)性材料”.

提出問題1：已知2b =5，求b=？可以直接給學(xué)生講，這個(gè)b用以前學(xué)過的知識(shí)是無法求出來的.蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾為解決這類問題，花了十多年時(shí)間，發(fā)明了“對(duì)數(shù)”.納皮爾定義，b叫作由2和5確定的“對(duì)數(shù)”，簡(jiǎn)稱b叫“對(duì)數(shù)”.這種類似于科普的講解，可作為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念的第三個(gè)“引導(dǎo)性材料”.

提出問題2：已知3t =7，按照納皮爾定義，在3， 7，t中哪個(gè)叫“對(duì)數(shù)”？這個(gè)問題，可作為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念的第四個(gè)“引導(dǎo)性材料”.問題2是問題1的一個(gè)變式，主要目的是讓學(xué)生認(rèn)準(zhǔn)對(duì)數(shù)在指數(shù)式中的位置，為進(jìn)一步的抽象概括做鋪墊.

通過上述四個(gè)“引導(dǎo)性材料”，運(yùn)用“先行組織者”教學(xué)策略，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)時(shí)就有了一些感性認(rèn)識(shí)，并建立有意義的學(xué)習(xí)心向，學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)概念的理性認(rèn)識(shí)就有望實(shí)現(xiàn)了.

5.設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例，內(nèi)化數(shù)學(xué)概念

李邦河院士曾說過，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”.數(shù)學(xué)概念形成之后，引導(dǎo)學(xué)生利用概念解決數(shù)學(xué)問題和發(fā)現(xiàn)概念在解決問題中的作用，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)操作的成功與否，將直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的鞏固與內(nèi)化，以及解題能力的形成和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).

案例5 在“向量坐標(biāo)”教學(xué)時(shí)的教學(xué)片段：

師：已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)A（3，5），B（4，6），C（2，1），試求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

生1：易得AC中點(diǎn)的坐標(biāo)52， 3，BD中點(diǎn)的坐標(biāo)x+42，y+62，

因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，所以x+42=52，y+62=3.所以x=1，y=0.

生2：因?yàn)锳（3，5），B（4，6），所以AB→=（1， 1）.設(shè)D（x，y），所以DC→=（2-x， 1-y）.因?yàn)锳B→=DC→，所以2-x=11-y=1，所以x=1y=0.

典型實(shí)例既是對(duì)數(shù)學(xué)概念的解釋，也是良好的形象補(bǔ)充，學(xué)生對(duì)典型實(shí)例的深層挖掘來加深對(duì)所學(xué)概念的理解和內(nèi)化，從而鞏固數(shù)學(xué)概念和更新內(nèi)在知識(shí)結(jié)構(gòu).

6.運(yùn)用幾何動(dòng)畫，形成數(shù)學(xué)概念

美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：在學(xué)校教育教學(xué)中，所有教學(xué)計(jì)劃在很大程度上將依賴于為達(dá)到教學(xué)目標(biāo)而采用的教學(xué)媒體.多媒體教學(xué)具有圖文聲并茂的優(yōu)勢(shì)，在新概念的教學(xué)中，可以運(yùn)用幾何畫板來展現(xiàn)新概念形成的過程，使學(xué)生保持濃厚的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生能夠很好地理解和掌握新概念，從而確保課堂教學(xué)的高效.

案例6 在“拋物線概念”教學(xué)時(shí)的教學(xué)片段：

（1）活動(dòng)：折紙.（圖2）在紙片2厘米處設(shè)置點(diǎn)如圖2方法將紙折20～30次形成一系列折痕，它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓.

（2）觀察、猜想：眾多折痕圍出一條拋物線.

（3）建立坐標(biāo)系，畫圖，發(fā)現(xiàn)與y=14x2很接近.

（4）幾何畫板動(dòng)態(tài)演示折紙過程及拋物線.

（5）活動(dòng)（圖3）：畫3條平行于y軸的直線，折紙，發(fā)現(xiàn)1：其反射線經(jīng)過y軸上一定點(diǎn).

（6）幾何畫板演示這一過程（證明可以學(xué)生課后完成）.

（7）概念形成：焦點(diǎn)（一組平行于y軸的直線經(jīng)拋物線反射后匯聚到焦點(diǎn)，由焦點(diǎn)出發(fā)的直線經(jīng)拋物線反射后成一組平行線）.

（8）發(fā)現(xiàn)2：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到紙邊的距離，定義準(zhǔn)線.

（9）形成概念：（學(xué)生概括，教師補(bǔ)充）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線L叫作拋物線的準(zhǔn)線.

從教學(xué)片段中可以看到，在不知不覺中，每名學(xué)生都參與了教學(xué)過程，通過學(xué)生的動(dòng)手操作和教師的動(dòng)畫演示，學(xué)生的積極性空前高漲，同時(shí)也很好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo).

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最為重要的一環(huán)為概念教學(xué)，概念是整個(gè)高中數(shù)學(xué)體系的樞紐，教學(xué)中一定要重視概念教學(xué)，核心概念的教學(xué)更要“不惜時(shí)、不惜力”.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義不僅在于使學(xué)生掌握書本知識(shí)，更重要的是讓他們從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦，學(xué)會(huì)用概念思維，進(jìn)而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力.所以，在教學(xué)中教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與課標(biāo)要求，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，優(yōu)化概念教學(xué)，使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).