李立群

摘 要：金融工程對均值回歸的跳躍擴散的模型首先是應(yīng)用于利率的預(yù)測與定價方面。這方面最早應(yīng)追溯至Merton對利率的研究以及在由此發(fā)展而來的無套利模型，代表作有Hull-White模型、Ho-Lee模型等。Das[1，2]則明確指出了利率市場中的跳躍行為，并且認為可以把跳躍以及非跳躍部分分開估計，各部分相互獨立，即復(fù)合的跳躍-擴散模型。當然，金融模型都具備有一定的通用性，即只要滿足模型的設(shè)定條件，價格走勢與利率走勢也將具備同樣的規(guī)律，其中就包括電力價格的預(yù)測問題。

關(guān)鍵詞：均值回歸 跳躍 擴散 價格模型

電是一種典型的公共商品，在大部分國家與地區(qū)，電力均受到了弱或者強的管制。但是在分析電力的價格決定特征時，我們卻可以發(fā)現(xiàn)些很好的特征。首先，電力的供給與需求整體而言是容易預(yù)測的，呈現(xiàn)出很好的季節(jié)性。而且每日的電力供需走動都沒有規(guī)律，符合一般的隨機游走特征。事實上就已有的市場（如德國EEX市場，本文EROCT市場）價格走勢來看，每日的價格變化如股票一樣沒有明顯的規(guī)律可言。然后就是電力市場有時會出現(xiàn)明顯的跳躍特征，如溫度驟然升高或者突然的降溫，都有可能對電力的需求在短時間內(nèi)急速增加或減少，從而形成明顯的跳躍現(xiàn)象。除此之外，電力價格還具有均值回歸，厚尾（Fat Tail）等特征[3]，這些特征非常好的符合均值回歸的跳躍擴散的模型的一般假設(shè)，因此學界很早也就此展開了應(yīng)用研究。

國外因為市場開放比較早，對此的研究顯得更為充分。kamski（1997）就發(fā)現(xiàn)[4]，為了捕捉電力價格的特點，有必要引入跳躍和隨機波動的即時價格模型。而Barz和Johnson（1999）則測試了[5]布朗運動，均值回歸，幾何布朗運動，GMR等好幾種模型，發(fā)現(xiàn)GMR模型擬合最為良好。Clewlow和Strickland（2000）發(fā)現(xiàn)[6]，跳躍部分采用泊松分布能更好的捕捉電力價格現(xiàn)貨的變化。曹毅剛和沈如剛（2006）則是使用跳躍擴散模型去驗證電力價格的走勢[9]?；趪鴥?nèi)市場缺乏研究數(shù)據(jù)，他們使用了法國Powernext、德國EEX以及荷蘭APX等3個歐洲主要電力市場的每日價格數(shù)據(jù)。

本文則基于美國德州EROCT電力市場的價格數(shù)據(jù)進行研究。在模型上比較的數(shù)學模型設(shè)定有所簡化。同時國內(nèi)研究一般在模型搭建及模擬就結(jié)束的理論研究方式不同，本文將列舉兩種實際應(yīng)用舉例，以使得模型能夠更加貼近實際應(yīng)用。

模型假設(shè)與估計

關(guān)于電力價格的4個假設(shè)：

1、均值回歸：均值回歸意味著從長期看，電價從長期看會回到一個平均水平上。假設(shè)依據(jù)是古典經(jīng)濟學模型中的長期均衡概念，即我們認為，長期來看，存在一個長期均衡水平。

2、價格跳躍：價格跳躍從數(shù)學上講，就是指電力價格的變化并不連續(xù)，一些隨機因素會導致價格呈現(xiàn)跳躍式變化。而在此需要特別說明的是，這種跳躍是一種隨機過程，并不是價格波動，而是一種明顯具有持續(xù)性影響的過程。

3、隨機性：指價格本身的變化并無特別的規(guī)律，無論跳躍與否，其走動的過程都是完全隨機的，是一個隨機過程。

4、季節(jié)性：即電力市場本身的季節(jié)特征。例如冬夏取暖或者降溫都需要消耗更多地電力，而春秋季節(jié)則電力需求相對較少。

基于以上四個特征，我們運用如下模型：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

表示的是每日的電力價格。 則是電力價格取對數(shù)的形式。 表示一個截斷的傅里葉級數(shù)，用來描述電力價格的季節(jié)特征。 則用來描述跳躍特征以及均值回歸特征。 即均值回歸率。 是波動性。 我們假設(shè)兩種可能，一種是恒定的水平，一種則呈現(xiàn)周期性。我們將檢驗兩種可能到底是哪一種比較好。 表示一個維納過程中的變化量。K則代表跳躍幅度，我們并沒有更進一步假設(shè)K的分布形式。公式6中的是我們定義的一個泊松過程。BOY代表時間t的起始日，所以 代表一個以365日為基數(shù)的一年里，t日所處的位置。

聯(lián)立（1）到（6），我們能得到關(guān)于價格與對數(shù)價格的微分方程：

（7）

（8）

數(shù)據(jù)說明

我們使用2011到2013年的每日德州LZ_HOUSTON市場中的實時數(shù)據(jù)。這里一共有1096個數(shù)據(jù)，其對數(shù)價格的分布如圖1所示。從圖1中，我們可以很容易就發(fā)現(xiàn)價格的跳躍特征，均值回歸特征以及季節(jié)性特征。

注：這里Y軸表示價格，X軸表示時間。X軸1表示2011年1月1日。

表1則提供了對數(shù)價格的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。注意表1中價格曲線的峰度很高（17.7133），這是一個從3開始的一個正態(tài)分布，但是剔除掉跳躍出來的峰值以后才更像一個正態(tài)分布。所以，如果我們想在均值回歸的跳躍擴散模型中估計參數(shù)，首先從數(shù)據(jù)中提取出跳躍，利用跳躍的數(shù)值估計跳躍參數(shù)。再使用過濾后的數(shù)據(jù)估計季節(jié)參數(shù)，均值回歸的速度以及模型的波動性。

表1

StatisticsofInp

Max（Inp） 6.7402

Min（Inp） 2.4179

Mean（Inp） 3.3762

Std（Inp） 0.4096

Kurtosis（Inp） 17.7133

為了將價格跳躍的過程單獨篩選出來，我們首先得確定一個對于跳躍的具體標準js。我們必須得確定一個精確的值，當 時我們就認為發(fā)生了一次跳躍。這種跳躍直到 時才宣告跳躍的結(jié)束。隨后的數(shù)據(jù)將會繼續(xù)服從一個我們假設(shè)的一般運行模式。例如，我們假定價格波動超過2個標準差為跳躍。我們這里可以算出來兩個標準差的數(shù)值為0.7868.但是在分析數(shù)據(jù)的過程中發(fā)現(xiàn)，7月沒有一天達到我們定義的跳躍標準，這個標準明顯定的太高了。所以我們選擇另一個跳躍門檻，也就是7來做比較。過濾掉跳躍的數(shù)據(jù)以后，兩套價格模型的峰值分別是5.26和4.91，雖然高于3，但是比原來的對數(shù)價格陡峭度小得多（15.84）。過濾后的跳躍如表2所示。完成數(shù)據(jù)過濾后，我們開始下一步

表2

js=0.7 js=0.7868

month lambda jumpvalue lambda jumpvlue

1 2/93 1.6，0.7 1/93 1.6

2 1/85 3.4 1/85 3.4

3 4/93 1.0，1.1，1.6，1.5 4/93 1.0，1.1，1.6，1.5

4 5/90 0.8，0.7，0.9，1.3，1.0 1/90 1.3

5 2/93 0.9，0.7 1/93 0.9

6 3/90 1.1，0.9，1.9 3/90 1.1，0.9，1.9

7 1/93 0.7 0 NA

8 6/93 1.2，1.0，1.0，1.5，1.4，0.7 4/93 2.6，1.0，1.5，1.4

9 6/90 1.3，1.7，0.7，0.7，1.7，1.8 4/90 1.3，1.7，1.7，1.8

10 4/93 0.9，1.0，1.5，0.7 3/93 0.9，1.0，1.5

11 3/90 1.2，1.0，1.0 3/90 1.3，1.0，1.0

12 1/93 1.1 1/93 1.1

為了算出季節(jié)參數(shù)，我們將對數(shù)價格數(shù)據(jù)代入公式2的右邊進行估計，得出的結(jié)果如表3所示。

用公式（4）中的殘差對 做最小二乘估計，就得出一個關(guān)于歸回率α的估計。結(jié)果如表4所示：

在估計完均值回歸率α之后，我們使用之前的回歸殘差向量來估計波動性。對于變化的波動率，從公式5做回歸以后的結(jié)果非常不好，R值基本接近0。所以我們用恒定的波動水平予以代替。關(guān)于變化以及恒定的σ的估計結(jié)果都在表5中體現(xiàn)，但是之后我們將只會采用恒定的波動率進行模擬。

表3

js=0.7 js=0.7868

c0 -2851261 c0 -2587579

b1 5393671 b1 4894461

c1 157409.1 c1 120064.6

b2 -267059 b2 -203556

c2 4559773 c2 4136701

b3 -3435850 b3 -3115732

c3 -303595 c3 -231123

b4 272757.9 b4 207279.6

c4 -2296266 c4 -2081058

b5 1350953 b5 1223360

c5 202751.5 c5 153709.2

b6 -126319 b6 -95463.3

c6 692042 c6 626048.5

b7 -303836 b7 -274523

c7 -65768.2 c7 -49501.2

b8 28179.5 b8 21098.59

c8 -111710 c8 -100783

b9 33195.27 b9 29896.34

c9 9639.553 c9 7168.158

b10 -2491.77 b10 -1836.15

c10 7518.005 c10 6757.446

b11 -1161.22 b11 -1041.49

c11 -436.781 c11 -317.833

b12 39.32714 b12 28.0884

c12 -92.4551 c12 -82.7486

表4

js=0.7 js=0.7868

alpha 0.395 0.4357

表5

js=0.7 js=0.7868

constantsigma sigma（t） value constantsigma sigma（t） value

0.2007 sigma0 2.42E-05 0.2108 sigma0 1.52E-05

sigma1 4.84E-05 sigma1 3.03E-05

sigma2 4.84E-05 sigma2 3.03E-05

在估計完波動性之后，我們嘗試估計跳躍參數(shù)。由于有限的跳躍數(shù)據(jù)，我們對跳躍的分布不再進行假設(shè)。然后，我們是用表2中列出的歷史跳躍來模擬價格走勢。

模型預(yù)測與應(yīng)用

我們已經(jīng)利用2011到2013年的數(shù)據(jù)估計出了模型中的各個參數(shù)，現(xiàn)在我們就將用估計出的模型來預(yù)測2014年的價格。我們使用一個離散時間方程來做模擬：

公式里 是一個我們可以預(yù)測的標準正態(tài)分布。而在此要解釋一下如何模仿跳躍行為。我們假設(shè)t日是1月的一天， 就有λ的可能取1，（1-λ）的可能取0。λ就是歷史上1月份出現(xiàn)價格跳躍的可能的統(tǒng)計概率。跳躍的幅度K則會從歷史上1月份發(fā)生的各次跳躍幅度中任選一個。歷史上的跳躍我們已經(jīng)在表2中提供了。

我們將兩種跳躍標準下所做的估計以及按兩種標準分類的真實數(shù)據(jù)都做了圖表展示出來，圖2是其中的一次預(yù)測結(jié)果。圖2中，藍色曲線是js=0.7868時的估計走勢，綠色曲線是js=0.7時的估計走勢，而紅線就是2014年真實走勢。我們很容易就發(fā)現(xiàn)估計的價格走勢特征同真實走勢十分相似。圖中真實走勢有兩個非常極端的跳躍并未在我們的預(yù)測中體現(xiàn)出來。那是因為像這種極端跳躍非常罕見。我們抽取的圖表中雖然沒有體現(xiàn)，但是在其他模擬中有清晰的體現(xiàn)出來?；蛘呖梢赃@么說，如果如果能把這幅圖表延伸的足夠長（當然那得假定我們的研究也代表長期的價格變化水平），那么這種極端的跳躍個數(shù)將變的和真實水平差不多。

圖2

我們也列出了當js=0.7868時模擬的歷史走勢統(tǒng)計（圖3）以及js=0.7時的歷史走勢的統(tǒng)計，其中js=7時的統(tǒng)計（圖4）和真實歷史統(tǒng)計（圖5）已經(jīng)非常接近了。就像我們看到的一樣，他們的分布非常相似——在一個X軸表示價格Y軸表示數(shù)量的坐標系里，大部分數(shù)據(jù)均位于15打70之間。圖5里超過200的部分是我們之前已經(jīng)解釋過的兩個極端跳躍的部分。

圖3

圖4

圖5

電力價格模型的模擬值有很多種應(yīng)用方式。我們主要用它來做金融產(chǎn)品的定價和市場風險管理。以下是兩個例子。

衍生產(chǎn)品定價：

為了給金融產(chǎn)品定價，我們使用下面的公式：

是金融產(chǎn)品的現(xiàn)值， 指標的資產(chǎn)在未來時點的價格， 是風險中性測度，最后 則是金融產(chǎn)品未來的支付函數(shù)。r自然是無風險利率。例如，對于期權(quán)產(chǎn)品中的看漲期權(quán)，為了給2013年12月31日電力價格為30美元的產(chǎn)品去為2014年12月31日的看漲期權(quán)定價，我們使用了該模型進行了1000次模擬。最后2014年12月31日每份合約（即指30美元）對應(yīng)的看漲期權(quán)價值為4.1808美元。然后我們使用無風險利率對其進行貼現(xiàn)，沒份看漲期權(quán)現(xiàn)值就應(yīng)該是4.1808/（1+5%）=3.9817美元。盡管極端的跳躍在我們的模擬中仍然會隨機出現(xiàn)，但是我們的模擬最終仍然是收斂的。

預(yù)測電價也可以幫助我們進行風險管理。假設(shè)2013年12月31日，一個電力零售商想鎖定2014年12月31日的電力價格。他從交易對手那購買了1000個遠期合約，合約行使價為30美元。如何測算這些遠期合約持有期的風險（VaR）呢？

我們使用如下方程來解決這個問題：

首先，我們使用1000個2014年12月31日的預(yù)測電價來為1000份遠期價格估價。雖然后門將預(yù)測的合約價值代入公式11。因為2013年12月31日零售商剛買入遠期，因此合約價值此時是0。1000次2014年12月31日模擬遠期價格的 是-15.5215美元。所有實際損失 美元。持有的總合約的風險價值為 美元。基于我們在上一個應(yīng)用中已經(jīng)解釋的那樣，不同預(yù)測中的結(jié)果可能不同，但變化十分細微。

結(jié)語

本文利用均值回歸的跳躍擴散模型對德州電力市場的價格走勢進行了預(yù)測，并且得出的概率分布與實際分布比較相近的。同時模型也對電力價格的季節(jié)性，波動性等給出了具體的數(shù)值估計。最后我們舉了兩種應(yīng)用，顯示出了模型良好的應(yīng)用前景。

基于均值回歸的跳躍擴散模型在實際應(yīng)用中有著更為廣泛的應(yīng)用。在未來的我國市場化進一步改革中，隨著價格方面具備有更好的數(shù)量特征，我們也希望有朝一日也能對中國市場進行應(yīng)用。

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（作者單位：中南民族大學 湖北武漢市 430074）