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        價(jià)格均值回歸的跳躍擴(kuò)散模型

        2015-05-30 10:48:04李立群
        新經(jīng)濟(jì) 2015年12期
        關(guān)鍵詞:擴(kuò)散

        李立群

        摘 要:金融工程對(duì)均值回歸的跳躍擴(kuò)散的模型首先是應(yīng)用于利率的預(yù)測與定價(jià)方面。這方面最早應(yīng)追溯至Merton對(duì)利率的研究以及在由此發(fā)展而來的無套利模型,代表作有Hull-White模型、Ho-Lee模型等。Das[1,2]則明確指出了利率市場中的跳躍行為,并且認(rèn)為可以把跳躍以及非跳躍部分分開估計(jì),各部分相互獨(dú)立,即復(fù)合的跳躍-擴(kuò)散模型。當(dāng)然,金融模型都具備有一定的通用性,即只要滿足模型的設(shè)定條件,價(jià)格走勢與利率走勢也將具備同樣的規(guī)律,其中就包括電力價(jià)格的預(yù)測問題。

        關(guān)鍵詞:均值回歸 跳躍 擴(kuò)散 價(jià)格模型

        電是一種典型的公共商品,在大部分國家與地區(qū),電力均受到了弱或者強(qiáng)的管制。但是在分析電力的價(jià)格決定特征時(shí),我們卻可以發(fā)現(xiàn)些很好的特征。首先,電力的供給與需求整體而言是容易預(yù)測的,呈現(xiàn)出很好的季節(jié)性。而且每日的電力供需走動(dòng)都沒有規(guī)律,符合一般的隨機(jī)游走特征。事實(shí)上就已有的市場(如德國EEX市場,本文EROCT市場)價(jià)格走勢來看,每日的價(jià)格變化如股票一樣沒有明顯的規(guī)律可言。然后就是電力市場有時(shí)會(huì)出現(xiàn)明顯的跳躍特征,如溫度驟然升高或者突然的降溫,都有可能對(duì)電力的需求在短時(shí)間內(nèi)急速增加或減少,從而形成明顯的跳躍現(xiàn)象。除此之外,電力價(jià)格還具有均值回歸,厚尾(Fat Tail)等特征[3],這些特征非常好的符合均值回歸的跳躍擴(kuò)散的模型的一般假設(shè),因此學(xué)界很早也就此展開了應(yīng)用研究。

        國外因?yàn)槭袌鲩_放比較早,對(duì)此的研究顯得更為充分。kamski(1997)就發(fā)現(xiàn)[4],為了捕捉電力價(jià)格的特點(diǎn),有必要引入跳躍和隨機(jī)波動(dòng)的即時(shí)價(jià)格模型。而Barz和Johnson(1999)則測試了[5]布朗運(yùn)動(dòng),均值回歸,幾何布朗運(yùn)動(dòng),GMR等好幾種模型,發(fā)現(xiàn)GMR模型擬合最為良好。Clewlow和Strickland(2000)發(fā)現(xiàn)[6],跳躍部分采用泊松分布能更好的捕捉電力價(jià)格現(xiàn)貨的變化。曹毅剛和沈如剛(2006)則是使用跳躍擴(kuò)散模型去驗(yàn)證電力價(jià)格的走勢[9]?;趪鴥?nèi)市場缺乏研究數(shù)據(jù),他們使用了法國Powernext、德國EEX以及荷蘭APX等3個(gè)歐洲主要電力市場的每日價(jià)格數(shù)據(jù)。

        本文則基于美國德州EROCT電力市場的價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。在模型上比較的數(shù)學(xué)模型設(shè)定有所簡化。同時(shí)國內(nèi)研究一般在模型搭建及模擬就結(jié)束的理論研究方式不同,本文將列舉兩種實(shí)際應(yīng)用舉例,以使得模型能夠更加貼近實(shí)際應(yīng)用。

        模型假設(shè)與估計(jì)

        關(guān)于電力價(jià)格的4個(gè)假設(shè):

        1、均值回歸:均值回歸意味著從長期看,電價(jià)從長期看會(huì)回到一個(gè)平均水平上。假設(shè)依據(jù)是古典經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中的長期均衡概念,即我們認(rèn)為,長期來看,存在一個(gè)長期均衡水平。

        2、價(jià)格跳躍:價(jià)格跳躍從數(shù)學(xué)上講,就是指電力價(jià)格的變化并不連續(xù),一些隨機(jī)因素會(huì)導(dǎo)致價(jià)格呈現(xiàn)跳躍式變化。而在此需要特別說明的是,這種跳躍是一種隨機(jī)過程,并不是價(jià)格波動(dòng),而是一種明顯具有持續(xù)性影響的過程。

        3、隨機(jī)性:指價(jià)格本身的變化并無特別的規(guī)律,無論跳躍與否,其走動(dòng)的過程都是完全隨機(jī)的,是一個(gè)隨機(jī)過程。

        4、季節(jié)性:即電力市場本身的季節(jié)特征。例如冬夏取暖或者降溫都需要消耗更多地電力,而春秋季節(jié)則電力需求相對(duì)較少。

        基于以上四個(gè)特征,我們運(yùn)用如下模型:

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)

        (5)

        (6)

        表示的是每日的電力價(jià)格。 則是電力價(jià)格取對(duì)數(shù)的形式。 表示一個(gè)截?cái)嗟母道锶~級(jí)數(shù),用來描述電力價(jià)格的季節(jié)特征。 則用來描述跳躍特征以及均值回歸特征。 即均值回歸率。 是波動(dòng)性。 我們假設(shè)兩種可能,一種是恒定的水平,一種則呈現(xiàn)周期性。我們將檢驗(yàn)兩種可能到底是哪一種比較好。 表示一個(gè)維納過程中的變化量。K則代表跳躍幅度,我們并沒有更進(jìn)一步假設(shè)K的分布形式。公式6中的是我們定義的一個(gè)泊松過程。BOY代表時(shí)間t的起始日,所以 代表一個(gè)以365日為基數(shù)的一年里,t日所處的位置。

        聯(lián)立(1)到(6),我們能得到關(guān)于價(jià)格與對(duì)數(shù)價(jià)格的微分方程:

        (7)

        (8)

        數(shù)據(jù)說明

        我們使用2011到2013年的每日德州LZ_HOUSTON市場中的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)。這里一共有1096個(gè)數(shù)據(jù),其對(duì)數(shù)價(jià)格的分布如圖1所示。從圖1中,我們可以很容易就發(fā)現(xiàn)價(jià)格的跳躍特征,均值回歸特征以及季節(jié)性特征。

        注:這里Y軸表示價(jià)格,X軸表示時(shí)間。X軸1表示2011年1月1日。

        表1則提供了對(duì)數(shù)價(jià)格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。注意表1中價(jià)格曲線的峰度很高(17.7133),這是一個(gè)從3開始的一個(gè)正態(tài)分布,但是剔除掉跳躍出來的峰值以后才更像一個(gè)正態(tài)分布。所以,如果我們想在均值回歸的跳躍擴(kuò)散模型中估計(jì)參數(shù),首先從數(shù)據(jù)中提取出跳躍,利用跳躍的數(shù)值估計(jì)跳躍參數(shù)。再使用過濾后的數(shù)據(jù)估計(jì)季節(jié)參數(shù),均值回歸的速度以及模型的波動(dòng)性。

        表1

        StatisticsofInp

        Max(Inp) 6.7402

        Min(Inp) 2.4179

        Mean(Inp) 3.3762

        Std(Inp) 0.4096

        Kurtosis(Inp) 17.7133

        為了將價(jià)格跳躍的過程單獨(dú)篩選出來,我們首先得確定一個(gè)對(duì)于跳躍的具體標(biāo)準(zhǔn)js。我們必須得確定一個(gè)精確的值,當(dāng) 時(shí)我們就認(rèn)為發(fā)生了一次跳躍。這種跳躍直到 時(shí)才宣告跳躍的結(jié)束。隨后的數(shù)據(jù)將會(huì)繼續(xù)服從一個(gè)我們假設(shè)的一般運(yùn)行模式。例如,我們假定價(jià)格波動(dòng)超過2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為跳躍。我們這里可以算出來兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值為0.7868.但是在分析數(shù)據(jù)的過程中發(fā)現(xiàn),7月沒有一天達(dá)到我們定義的跳躍標(biāo)準(zhǔn),這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)明顯定的太高了。所以我們選擇另一個(gè)跳躍門檻,也就是7來做比較。過濾掉跳躍的數(shù)據(jù)以后,兩套價(jià)格模型的峰值分別是5.26和4.91,雖然高于3,但是比原來的對(duì)數(shù)價(jià)格陡峭度小得多(15.84)。過濾后的跳躍如表2所示。完成數(shù)據(jù)過濾后,我們開始下一步

        表2

        js=0.7 js=0.7868

        month lambda jumpvalue lambda jumpvlue

        1 2/93 1.6,0.7 1/93 1.6

        2 1/85 3.4 1/85 3.4

        3 4/93 1.0,1.1,1.6,1.5 4/93 1.0,1.1,1.6,1.5

        4 5/90 0.8,0.7,0.9,1.3,1.0 1/90 1.3

        5 2/93 0.9,0.7 1/93 0.9

        6 3/90 1.1,0.9,1.9 3/90 1.1,0.9,1.9

        7 1/93 0.7 0 NA

        8 6/93 1.2,1.0,1.0,1.5,1.4,0.7 4/93 2.6,1.0,1.5,1.4

        9 6/90 1.3,1.7,0.7,0.7,1.7,1.8 4/90 1.3,1.7,1.7,1.8

        10 4/93 0.9,1.0,1.5,0.7 3/93 0.9,1.0,1.5

        11 3/90 1.2,1.0,1.0 3/90 1.3,1.0,1.0

        12 1/93 1.1 1/93 1.1

        為了算出季節(jié)參數(shù),我們將對(duì)數(shù)價(jià)格數(shù)據(jù)代入公式2的右邊進(jìn)行估計(jì),得出的結(jié)果如表3所示。

        用公式(4)中的殘差對(duì) 做最小二乘估計(jì),就得出一個(gè)關(guān)于歸回率α的估計(jì)。結(jié)果如表4所示:

        在估計(jì)完均值回歸率α之后,我們使用之前的回歸殘差向量來估計(jì)波動(dòng)性。對(duì)于變化的波動(dòng)率,從公式5做回歸以后的結(jié)果非常不好,R值基本接近0。所以我們用恒定的波動(dòng)水平予以代替。關(guān)于變化以及恒定的σ的估計(jì)結(jié)果都在表5中體現(xiàn),但是之后我們將只會(huì)采用恒定的波動(dòng)率進(jìn)行模擬。

        表3

        js=0.7 js=0.7868

        c0 -2851261 c0 -2587579

        b1 5393671 b1 4894461

        c1 157409.1 c1 120064.6

        b2 -267059 b2 -203556

        c2 4559773 c2 4136701

        b3 -3435850 b3 -3115732

        c3 -303595 c3 -231123

        b4 272757.9 b4 207279.6

        c4 -2296266 c4 -2081058

        b5 1350953 b5 1223360

        c5 202751.5 c5 153709.2

        b6 -126319 b6 -95463.3

        c6 692042 c6 626048.5

        b7 -303836 b7 -274523

        c7 -65768.2 c7 -49501.2

        b8 28179.5 b8 21098.59

        c8 -111710 c8 -100783

        b9 33195.27 b9 29896.34

        c9 9639.553 c9 7168.158

        b10 -2491.77 b10 -1836.15

        c10 7518.005 c10 6757.446

        b11 -1161.22 b11 -1041.49

        c11 -436.781 c11 -317.833

        b12 39.32714 b12 28.0884

        c12 -92.4551 c12 -82.7486

        表4

        js=0.7 js=0.7868

        alpha 0.395 0.4357

        表5

        js=0.7 js=0.7868

        constantsigma sigma(t) value constantsigma sigma(t) value

        0.2007 sigma0 2.42E-05 0.2108 sigma0 1.52E-05

        sigma1 4.84E-05 sigma1 3.03E-05

        sigma2 4.84E-05 sigma2 3.03E-05

        在估計(jì)完波動(dòng)性之后,我們嘗試估計(jì)跳躍參數(shù)。由于有限的跳躍數(shù)據(jù),我們對(duì)跳躍的分布不再進(jìn)行假設(shè)。然后,我們是用表2中列出的歷史跳躍來模擬價(jià)格走勢。

        模型預(yù)測與應(yīng)用

        我們已經(jīng)利用2011到2013年的數(shù)據(jù)估計(jì)出了模型中的各個(gè)參數(shù),現(xiàn)在我們就將用估計(jì)出的模型來預(yù)測2014年的價(jià)格。我們使用一個(gè)離散時(shí)間方程來做模擬:

        公式里 是一個(gè)我們可以預(yù)測的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。而在此要解釋一下如何模仿跳躍行為。我們假設(shè)t日是1月的一天, 就有λ的可能取1,(1-λ)的可能取0。λ就是歷史上1月份出現(xiàn)價(jià)格跳躍的可能的統(tǒng)計(jì)概率。跳躍的幅度K則會(huì)從歷史上1月份發(fā)生的各次跳躍幅度中任選一個(gè)。歷史上的跳躍我們已經(jīng)在表2中提供了。

        我們將兩種跳躍標(biāo)準(zhǔn)下所做的估計(jì)以及按兩種標(biāo)準(zhǔn)分類的真實(shí)數(shù)據(jù)都做了圖表展示出來,圖2是其中的一次預(yù)測結(jié)果。圖2中,藍(lán)色曲線是js=0.7868時(shí)的估計(jì)走勢,綠色曲線是js=0.7時(shí)的估計(jì)走勢,而紅線就是2014年真實(shí)走勢。我們很容易就發(fā)現(xiàn)估計(jì)的價(jià)格走勢特征同真實(shí)走勢十分相似。圖中真實(shí)走勢有兩個(gè)非常極端的跳躍并未在我們的預(yù)測中體現(xiàn)出來。那是因?yàn)橄襁@種極端跳躍非常罕見。我們抽取的圖表中雖然沒有體現(xiàn),但是在其他模擬中有清晰的體現(xiàn)出來?;蛘呖梢赃@么說,如果如果能把這幅圖表延伸的足夠長(當(dāng)然那得假定我們的研究也代表長期的價(jià)格變化水平),那么這種極端的跳躍個(gè)數(shù)將變的和真實(shí)水平差不多。

        圖2

        我們也列出了當(dāng)js=0.7868時(shí)模擬的歷史走勢統(tǒng)計(jì)(圖3)以及js=0.7時(shí)的歷史走勢的統(tǒng)計(jì),其中js=7時(shí)的統(tǒng)計(jì)(圖4)和真實(shí)歷史統(tǒng)計(jì)(圖5)已經(jīng)非常接近了。就像我們看到的一樣,他們的分布非常相似——在一個(gè)X軸表示價(jià)格Y軸表示數(shù)量的坐標(biāo)系里,大部分?jǐn)?shù)據(jù)均位于15打70之間。圖5里超過200的部分是我們之前已經(jīng)解釋過的兩個(gè)極端跳躍的部分。

        圖3

        圖4

        圖5

        電力價(jià)格模型的模擬值有很多種應(yīng)用方式。我們主要用它來做金融產(chǎn)品的定價(jià)和市場風(fēng)險(xiǎn)管理。以下是兩個(gè)例子。

        衍生產(chǎn)品定價(jià):

        為了給金融產(chǎn)品定價(jià),我們使用下面的公式:

        是金融產(chǎn)品的現(xiàn)值, 指標(biāo)的資產(chǎn)在未來時(shí)點(diǎn)的價(jià)格, 是風(fēng)險(xiǎn)中性測度,最后 則是金融產(chǎn)品未來的支付函數(shù)。r自然是無風(fēng)險(xiǎn)利率。例如,對(duì)于期權(quán)產(chǎn)品中的看漲期權(quán),為了給2013年12月31日電力價(jià)格為30美元的產(chǎn)品去為2014年12月31日的看漲期權(quán)定價(jià),我們使用了該模型進(jìn)行了1000次模擬。最后2014年12月31日每份合約(即指30美元)對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)價(jià)值為4.1808美元。然后我們使用無風(fēng)險(xiǎn)利率對(duì)其進(jìn)行貼現(xiàn),沒份看漲期權(quán)現(xiàn)值就應(yīng)該是4.1808/(1+5%)=3.9817美元。盡管極端的跳躍在我們的模擬中仍然會(huì)隨機(jī)出現(xiàn),但是我們的模擬最終仍然是收斂的。

        預(yù)測電價(jià)也可以幫助我們進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理。假設(shè)2013年12月31日,一個(gè)電力零售商想鎖定2014年12月31日的電力價(jià)格。他從交易對(duì)手那購買了1000個(gè)遠(yuǎn)期合約,合約行使價(jià)為30美元。如何測算這些遠(yuǎn)期合約持有期的風(fēng)險(xiǎn)(VaR)呢?

        我們使用如下方程來解決這個(gè)問題:

        首先,我們使用1000個(gè)2014年12月31日的預(yù)測電價(jià)來為1000份遠(yuǎn)期價(jià)格估價(jià)。雖然后門將預(yù)測的合約價(jià)值代入公式11。因?yàn)?013年12月31日零售商剛買入遠(yuǎn)期,因此合約價(jià)值此時(shí)是0。1000次2014年12月31日模擬遠(yuǎn)期價(jià)格的 是-15.5215美元。所有實(shí)際損失 美元。持有的總合約的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值為 美元?;谖覀?cè)谏弦粋€(gè)應(yīng)用中已經(jīng)解釋的那樣,不同預(yù)測中的結(jié)果可能不同,但變化十分細(xì)微。

        結(jié)語

        本文利用均值回歸的跳躍擴(kuò)散模型對(duì)德州電力市場的價(jià)格走勢進(jìn)行了預(yù)測,并且得出的概率分布與實(shí)際分布比較相近的。同時(shí)模型也對(duì)電力價(jià)格的季節(jié)性,波動(dòng)性等給出了具體的數(shù)值估計(jì)。最后我們舉了兩種應(yīng)用,顯示出了模型良好的應(yīng)用前景。

        基于均值回歸的跳躍擴(kuò)散模型在實(shí)際應(yīng)用中有著更為廣泛的應(yīng)用。在未來的我國市場化進(jìn)一步改革中,隨著價(jià)格方面具備有更好的數(shù)量特征,我們也希望有朝一日也能對(duì)中國市場進(jìn)行應(yīng)用。

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        (作者單位:中南民族大學(xué) 湖北武漢市 430074)

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