胡筱萌

【摘要】從人教版高中數(shù)學(xué)教材中可知，向量的引入就是以三角形的邊角關(guān)系為鋪墊的.而三角形的邊角關(guān)系與三角形的心，在幾何上也是有關(guān)聯(lián)的.這樣，向量與三角形的心可以通過一定的轉(zhuǎn)化建立聯(lián)系.本文以實(shí)例分析了幾種三角形的心與向量的關(guān)系，在轉(zhuǎn)化后明確了二者的聯(lián)系.本文提供的解題方法為類似問題的挖掘與探究提供了一個(gè)可參考的思路.

【關(guān)鍵詞】向量；三角形的心；轉(zhuǎn)化

在△ABC，通過向量的變換可以確定一個(gè)點(diǎn)的位置.事實(shí)上，這類關(guān)系都是由向量的共線定義等基本定理衍生而來.

現(xiàn)在有A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，當(dāng)P分別滿足下列條件時(shí)，AP（或BP、CP）過△ABC的何種“心”？

例1OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|.

解AB|AB|與AC|AC|分別是AB、AC方向上的單位向量，從而AP=λAB|AB|+AC|AC|.

∴AP必在∠BAC的角平分線上.

∴AP過△ABC內(nèi)心.

例2OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC.

圖1

解不妨假設(shè)△ABC為如圖1的鈍角三角形，過A作DA⊥BC交C于D.

∴AP=λAB|AD|+AC|AD|=λ|AD|（AB+AC）.

由向量的三角形法則可知AP必經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，即過△ABC重心.

當(dāng)△ABC為直角三角形或銳角三角形時(shí)，亦同理可證.

變式OP=13（1-λ）OA+（1-λ）OB+（1+2λOC）.

解設(shè)OA+OB=OD，

∴OP=2（1-λ）3OD+2（1+2λ）3OC.

∵2（1-λ）3+（1+2λ）3=1，

∴P，D，C共線.

∴AP過△ABC重心.

例3若OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC.

圖2

解假設(shè)其為如圖2的鈍角三角形，作AD⊥BC與D.

∴AP=λAD+DBBD+AD+DCDC

=λADBD-1+ADDC|+1

=λ1|BD+1DC·AD.

∵λ1BD+1DC|為常數(shù)，∴P，D共線.

∴AP過△ABC重心.

例4PA·AB|AB|+CA|CA|=PB·BA|BA|+CB|CB|=PC·CA|CA|+BC|BC|=0.

解由PA·AB|AB|+CA|CA|=0，

圖3

∴PA垂直于△ABC的外角平分線，如圖3所示.

∴PA為內(nèi)角平分線.

同理可得，PB、PC均為內(nèi)角平分線.

∴AP過△ABC內(nèi)心.

針對向量與三角形心的對應(yīng)關(guān)系提出上述解法.可以看出，作圖、轉(zhuǎn)化與化歸，可以為解向量與三角形關(guān)系提供良好的思路，這些思路也可用于解其他有關(guān)向量的題，感興趣的讀者不妨深究.