張苗玲

【摘要】無理數(shù)是初等數(shù)學教學中的重要內(nèi)容，也是一個值得探究的問題.本文以無理數(shù)的教學為例，通過四個教學片段，探索怎樣進行HPM視角下無理數(shù)的教學，希望這個探索為教師教學提供參考案例，將數(shù)學史的作用發(fā)揮到最大.

【關鍵詞】HPM；無理數(shù)；教學

一、無理數(shù)歷史及HPM簡介

早在2000年前古希臘有一個畢達哥拉斯學派，他們提出了一個理論：萬物皆數(shù)，即我們所知道的一切事物都歸結(jié)為整數(shù)或者整數(shù)比；即任何兩條給定的線段，都能找到作為單位線段的第三線段，可把給定的兩條線段劃分為整數(shù)段，這樣的兩條線段稱為可公度量.反之稱為不可公度量.畢達哥拉斯學派是數(shù)學界的權(quán)威，這個理論在全世界都受到了推崇，但這個學派的一個門徒希伯索斯，發(fā)現(xiàn)了這樣一個事實，x2=2，那么x的值既不是分數(shù)也不是整數(shù).后來，其學派發(fā)現(xiàn)并不是任何線段都可公度，并用反證法證明了1與2不能公度.這個發(fā)現(xiàn)否定了其學派萬物皆數(shù)的信條，他們試圖封鎖這一發(fā)現(xiàn)，然而希伯索斯早已將這個發(fā)現(xiàn)偷偷傳播出去.為此，他被圍捕并投進了大海，獻出了生命.很快，人們就發(fā)現(xiàn)了除2以外的其他一些無理數(shù)，古希臘的數(shù)學信仰的基礎也因此而被動搖啦，被稱為第一次數(shù)學危機.這一危機由歐多克重新定義比例論而得到暫時的緩解.人們一直認為這種數(shù)是不可理喻的數(shù)，直到19世紀后期，康托爾、戴德金等數(shù)學家為無理數(shù)建立了堅實的邏輯基礎，伴隨著數(shù)學分析的進一步發(fā)展，人們才認同無理數(shù).HPM指數(shù)學史與數(shù)學教學關系，是（HistoryandPedagogyofMathematics）的簡稱.主要研究內(nèi)容包括：數(shù)學教育取向的數(shù)學史研究、基于數(shù)學史的教學設計、關于相似性的實證研究和數(shù)學史融入數(shù)學教學的實踐探索”.

二、HPM視角下無理數(shù)的教學片段

通過介紹無理數(shù)的發(fā)展歷史，引導學生經(jīng)歷無理數(shù)從發(fā)現(xiàn)到發(fā)展的歷史，將其研究的方法、內(nèi)容重構(gòu)并應用實際的教學，體會數(shù)學史及文化的魅力.

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設情境

折紙活動：拿出邊長為2cm的正方形紙片，按圖所示的方式折.陰影部分的正方形的面積是多少？邊長是多少？通過折紙發(fā)現(xiàn)小陰影正方形的面積為2cm2，邊長為2.那2究竟是什么數(shù)呢？

古希臘畢達哥拉斯學派的希伯索斯也是這樣，發(fā)現(xiàn)了無理數(shù).中國最早記錄無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)的《九章算術》在“少廣”章中的“開方術”中給出了開平方的算法；開方不盡的數(shù)叫做“面”.情境中的邊長，在《九章算術》中可以稱面積為2的正方形的邊長為2“面”.

第二環(huán)節(jié)：無理數(shù)的探索

探索1：2有多大，有哪些與眾不同呢？

方法1：估數(shù)法：12=1，（2）2=2，22=4；可以看出1<2<2.方法2：試數(shù)逐漸逼近法.計算器計算：1.4，1.41，1414，1.41421…的平方大小，2根據(jù)更接近哪個呢？2=1.414213562；1.4142135622=1.999999999.1.41423562不是2的算術平方根，計算器算錯了嗎？

想一想：計算器只顯示8位數(shù)位，不是全部數(shù)據(jù)，只是一個近似值.對比有理數(shù)的概念，給出無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).無理數(shù)的定義，是史托爾茨在《一般算術教程》中證明的.現(xiàn)在，我們也是這樣定義無理數(shù)的.方法2的理論源于劉徽在注釋《九章算術》的開方術時提出的求微數(shù)，即用十進分數(shù)求無理數(shù)近似值的方法.

探索2：無理數(shù)特征的探索

12，4.878787…，9π+2，67，6，0.23030030003（兩個3之間依次多1個0），7，-12這些都是無理數(shù)嗎？總結(jié)無理數(shù)的特征：1.開不盡方的數(shù)；2.圓周率π及一些含有π的數(shù)；3.有一定的規(guī)律，但不循環(huán)的無限小數(shù).4.無理數(shù)也有正負之分.此種設計有利于培養(yǎng)學生的批判性思維.

第三環(huán)節(jié)：拓展深化-探索無理數(shù)的真實存在性

有理數(shù)在數(shù)軸上都能找到對應的點，那無理數(shù)如2，3等能否在數(shù)軸上找到相對應的點并數(shù)軸上表示呢？借助尺規(guī)作圖，演示2，3，5與數(shù)軸上的點的對應關系；動手操作，體會數(shù)形結(jié)合的魅力.

第四環(huán)節(jié)：提煉思想-課后探究

參照課程標準設計如下習題，讓學生更好的掌握無理數(shù)的內(nèi)容；

1若無理數(shù)a滿足不等式1

2已知M是滿足不等式x≤27-33的最大整數(shù)，N是滿足不等式-3

三、結(jié)論與反思

人的認識過程與人類認識的過程是基本一致的，所以我們要了解數(shù)學發(fā)生和發(fā)展，才能更加懂得怎樣安排學習順序，應該選擇哪些內(nèi)容用于教學.才能讓學生更好的了解數(shù)學的來龍去脈，體會其發(fā)展過程中蘊含的數(shù)學思想，真正領會到數(shù)學的魅力；充分的激發(fā)學生的學習興趣.HPM可為數(shù)學教學的設計提供了一個新的視角，解決數(shù)學史在教學運用中存在的困難，其研究具有重要意義.

【參考文獻】

[1]潘亦寧.無理數(shù)發(fā)展簡史[J].中學數(shù)學雜志，2008，4：64-65.

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[3]陳曦，張海玲，王尚志.HPM視角下“任意角三角函數(shù)的概念”教學研究[J].首都師范大學學報（自然科學版），2014，12（6）：27.