李長福
隨著高考的不斷改革,高考試題中的三角函數(shù)變化不大,遵循與前一年基本不重復(fù),高考試題中的三角函數(shù)出現(xiàn)在第一題,題相對(duì)比較傳統(tǒng),難度較低,位置合理,每年必考。因此,在復(fù)習(xí)過程中既要注重三角知識(shí)的基礎(chǔ)性,突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)以及化簡、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí),又要注重三角知識(shí)的工具性,突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系,以及三角知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)。下面分別是2013年與2014年高考17題,與三角函數(shù)相關(guān):
2013年湖北理科高考試題17題,滿分12分:
在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c。已知cos2A-3cos(B+C)=1。
(Ⅰ)求角A的大??;
2014年湖北理科高考試題17題,滿分11分:
(Ⅰ)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差;
(Ⅱ)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11℃,則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫?
2013年高考試題第17題,關(guān)于三角函數(shù)引入解三角形當(dāng)中,考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)公式的把握,切入點(diǎn)是化同角,觀察特點(diǎn),然后根據(jù)題目的條件,發(fā)現(xiàn)用正弦定理更快解決問題;而2014年高考17題三角函數(shù)是對(duì)必修四62頁題4的一個(gè)改編與拓展,是考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解,對(duì)解決問題采取的方法,此題轉(zhuǎn)化成解不等式與三角函數(shù)的單調(diào)性,通過兩年的高考17題,不難發(fā)現(xiàn),2015年高考17題將對(duì)教材的進(jìn)一步研究,根據(jù)三角函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用方向出題,或者與正弦、余弦定理結(jié)合,與向量的結(jié)合范圍不是很廣,所以只要抓住與三角函數(shù)單調(diào)性、化角、最值,以及常用公式,那么2015年高考此題很容易得分。
通過相關(guān)練習(xí)把握其中的關(guān)鍵,才能在高考中拿分,下面是對(duì)應(yīng)的練習(xí):
(2)設(shè)∠A的對(duì)邊a=1,求△ABC面積的最大值.
(Ⅰ)求角A和角B的大小;(Ⅱ)求△ABC的面積。
(1)求w的值及函數(shù)f(x)的值域;
例4:在申辦國家級(jí)示范性高中期間,某校擬用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的邊角地建一個(gè)矩形的健身室.如下圖所示,ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮,扇形CEF是運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的一部分,其半徑為40 m,矩形AGHM就是擬建的健身室,其中G、M分別在AB和AD上,H在弧 EF上,設(shè)矩形AGHM的面積為S,∠HCF=θ。
(1)試將S表示為θ的函數(shù);
(2)當(dāng)點(diǎn)H在弧EF的何處時(shí),該健身室的面積最大?最大面積為多少?
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
例1考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的運(yùn)用以及求三角形面積的最值,考查基本的運(yùn)算能力。第(Ⅰ)問,利用正弦定理求邊長,先利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出sinB,再用正弦定理;第(Ⅱ)問,先利用余弦定理找到b和c的關(guān)系,再利用基本不等式求bc的范圍,代入三角形面積公式中即可得到最大值;例2考查和差倍半的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì);例3主要是考查了運(yùn)用三角函數(shù)表示面積,以及求解最值的運(yùn)用;例4與向量問題結(jié)合,考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、三角函數(shù)的單調(diào)性以及解不等式。因此,要想得分必須做好充分的準(zhǔn)備、復(fù)習(xí),要熟練掌握三角變換的所有公式,理解每個(gè)公式的意義、應(yīng)用特點(diǎn)、常規(guī)使用方法等;熟悉三角變換常用的方法——化弦法、降冪法、角的變換法等,并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明;掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn),并能結(jié)合三角形的公式解決一些實(shí)際問題;要熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì),并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點(diǎn),并會(huì)用五點(diǎn)畫出函數(shù)三角函數(shù)的圖象,利用圖象來解決實(shí)際問題。
無論是2013年第17題、2014年高考17題,都說明三角函數(shù)的內(nèi)容,在高考中都離不開教材,但又高于教材,讓學(xué)生很熟悉,但是又要?jiǎng)幽X思考,列出相關(guān)公式,計(jì)算方法,找出相關(guān)聯(lián)的思路,這部分內(nèi)容考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)相關(guān)問題的隨機(jī)應(yīng)變能力,能否找到切入點(diǎn)是關(guān)鍵,只要考生細(xì)心,多思考,就一定會(huì)發(fā)現(xiàn)解題的主線。因此,在復(fù)習(xí)中,針對(duì)不同基礎(chǔ)的學(xué)生采取不同的方法,對(duì)癥下藥,因材施教,對(duì)必須記憶的知識(shí)點(diǎn)加強(qiáng)記憶,實(shí)施逐個(gè)過關(guān),盡量保證學(xué)生在基礎(chǔ)題中不丟分,同時(shí)加強(qiáng)一題多解的思維訓(xùn)練。
編輯 馬燕萍