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        “對號”函數(shù)在高考中的應(yīng)用

        2015-05-30 03:39:46戴建峰
        關(guān)鍵詞:題設(shè)增函數(shù)耐克

        戴建峰

        對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù),又被稱為“雙勾函數(shù)”“勾函數(shù)”“對號函數(shù)”“雙飛燕函數(shù)”等,也被形象稱為“耐克函數(shù)”或“耐克曲線”,是一種教材上沒有但考試?yán)舷矚g考的函數(shù),所以更加要注意和學(xué)習(xí).在求函數(shù)的最值或值域時,有些函數(shù)不能用均值不等式,主要是由于等號不成立,而用單調(diào)性又難以判斷與證明,掌握對號函數(shù)的性質(zhì),使這類題目在解題中顯得簡便而準(zhǔn)確.

        一、在解不等式中的應(yīng)用

        例1(2006年江蘇卷)不等式log2(x+1x+6)≤3的解集為.

        分析log2(x+1x+6)≤30

        令y=x+1x,由它的草圖不難得出解集為x-3-22

        點評此法為數(shù)形結(jié)合法,即:若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后,能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖像,則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果.尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷.

        二、在求最值中的應(yīng)用

        例2( 2006年重慶卷)若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-23,則2a+b+c的最小值為().

        A.3-1B.3+1C.23+2D.23-2

        分析由題設(shè)可得(a+b)(a+c)=4-23.

        令t=a+b,則4-23t=a+c,且t>0.

        由此(a+b)+(a+c)=2a+b+c=t+4-23t.

        再令y=t+4-23t(t>0),則y≥24-23=2(3-1),故選D.

        點評利用代數(shù)變形進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,巧妙的將不等式范圍討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,即:求“對號”函數(shù)在定義范圍內(nèi)的最值,關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)及其自變量的范圍.

        三、在關(guān)于參數(shù)恒成立問題中的應(yīng)用

        例4(2006年江西卷)若不等式x2+ax+1≥0對于一切

        x∈ (0,12]成立,則a的取值范圍是().

        A.0B.–2C.-52D.-3

        分析 由題設(shè)可得a≥-(x+1x),令y=x+1x,其中x∈0,12.

        由圖像知:y≥2+12=52,則-y≤-52.故a≥-52.

        點評在不等式中出現(xiàn)了兩個字母:x及a,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量,另一個作為常數(shù).顯然可將x視作自變量,則上述恒成立問題即可轉(zhuǎn)化為在(0,12]內(nèi)關(guān)于x的“對號”函數(shù)求值域的問題.

        四、在綜合題中的應(yīng)用

        例4(2006年上海卷)已知函數(shù)y=x+ax有如下性質(zhì):如果常數(shù)a>0,那么該函數(shù)在(0,a]上是減函數(shù),在[a,+∞)上是增函數(shù).

        (1)如果函數(shù)y=x+2bx(x>0)在(0,4]上是減函數(shù),在4,+∞上是增函數(shù),求b的值;

        (2)設(shè)常數(shù)c∈[1,4],求函數(shù)f(x)=x+cx(1≤x≤2)的最大值和最小值;

        (3)當(dāng)n是正整數(shù)時,研究函數(shù)g(x)=xn+cxn(c>0)的單調(diào)性,并說明理由.

        分析(1)由已知得2b=4,∴b=4.

        (2 ) ∵c∈[1,4],∴c∈[1,2],于是,當(dāng)x=c時,函數(shù)f(x)=x+cx取得最小值2c.

        當(dāng)1≤c≤2時,函數(shù)f(x)的最大值是f(2)=2+c2;

        當(dāng)2≤c≤4時,函數(shù)f(x)的最大值是f(1)=1+c.

        (3)令t=xn,則g(t)=t+ct.

        由題設(shè):g(t)在(-∞,-c],[c,+∞)上為增函數(shù),在[-c,0),(0,c]上為減函數(shù).

        又當(dāng)n是偶數(shù)時,t=xn為偶函數(shù),并且在0,+∞上為增函數(shù),在-∞,0上為減函數(shù).

        由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知:

        g(x)在[2nc,+∞)上是增函數(shù),在(0,2nc]上是減函數(shù),在(-∞,-2nc)上是減函數(shù),在[-2nc,0]上是增函數(shù).

        當(dāng)n是奇數(shù)時,t=xn為奇函數(shù),并且在-∞,0,0,+∞上為增函數(shù).

        由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知:

        g(x)在[2nc,+∞)上是增函數(shù),g(x)在(0,2nc]上是減函數(shù),

        在(-∞,-2na]上是增函數(shù),在[-2na,0)上是減函數(shù).

        點評此法充分而合理地利用了復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的基本方法,對未知函數(shù)一分為二,拆成兩個已知的函數(shù),輕松地對他們各個擊破,然后合之得出結(jié)論,從而避免了對未知函數(shù)的一系列復(fù)雜的討論,不能不說是一個上策.

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