【摘要】本文從蒲豐投針問題說起，探討了當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)教師所面臨的困惑和學(xué)生的無所適從。而作為一線的教師如何為激活大學(xué)數(shù)學(xué)課堂，提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，學(xué)科交叉教學(xué)不能不說是一種行之有效的方法。

【關(guān)鍵詞】蒲豐投針；學(xué)科交叉教學(xué)；概率；創(chuàng)新

1 蒲豐投針問題

1777年法國(guó)科學(xué)家Buffon提出下列著名問題：

（投針問題）平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于 ，向此平面任投一長(zhǎng)度為 （ ）的針，試求此針與任一平行線相交的概率。

解：設(shè) 表示針落下后針的中點(diǎn) 到最近的一條平行線的距離， 表示針與平行線所成的角（見下圖1），則

.

而針與一直線相交的充要條件是 。

作一分別以 為橫軸和縱軸的平面直角坐標(biāo)系，則所有基本事件可以用邊長(zhǎng)為 及 的矩形 內(nèi)的點(diǎn)表示出來（如圖2），而“針與直線相交”這一事件所包含的基本事件可以用圖2中 內(nèi)的點(diǎn)表示出來，因而，所求概率

.

假設(shè)這一試驗(yàn)總共做了 次，而針與平行線相交的次數(shù)是 ，則當(dāng) 較大時(shí)，可以用相交的頻率 去近似概率 ，即。從而由上式又可以進(jìn)一步得到。也就是說我們可以通過這樣的試驗(yàn)得到圓周率 的近似值。

歷史上就有很多人曾做過這樣的試驗(yàn)去推導(dǎo) 的值。不過直到目前為止，用這種方法得到最好的 值就是意大利人拉澤里尼（Lazzerini）作了3408次投針，給出 的值為3.1415929——準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后六位。他的試驗(yàn)結(jié)果比其他試驗(yàn)者得到的結(jié)果準(zhǔn)確多了，甚至受到了美國(guó)韋伯大學(xué)的一位教授L·巴杰的質(zhì)疑。

不過，蒲豐試驗(yàn)的重要性并非是為了求得比其他方法更精確的 值，而在于它是第一個(gè)用幾何形式表達(dá)概率問題的例子。這種首次使用隨機(jī)試驗(yàn)處理確定性數(shù)學(xué)問題，為概率論的發(fā)展起到一定的推動(dòng)作用。計(jì)算 值的這一方法，不但因其新穎、奇妙而讓人叫絕，而且他開創(chuàng)了使用隨機(jī)數(shù)處理確定性數(shù)學(xué)問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計(jì)算的前導(dǎo)。這種方法被稱為蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）。蒙特卡羅方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間隨著計(jì)算機(jī)的誕生而興起和發(fā)展起來的。這種方法在應(yīng)用物理、原子彈、固體物理、化學(xué)、生態(tài)學(xué)、社會(huì)學(xué)以及經(jīng)濟(jì)行為等領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。

2 由蒲豐投針引發(fā)的對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的思考

長(zhǎng)期以來，對(duì)我國(guó)中小學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的成績(jī)，我們都有一種由衷的自豪感。然而，很多學(xué)生步入大學(xué)以后就對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種恐懼感，尤其是大一第一學(xué)期高數(shù)就掛科更是成為很多學(xué)生的夢(mèng)魘。是因?yàn)槲覀兘處熃虒W(xué)的投入不足，還是因?yàn)槲覀儚某醺咧兄R(shí)到大學(xué)數(shù)學(xué)跨度太大？帶著這樣的疑問，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院郇中丹教授與王昆揚(yáng)教授和劉永平教授一起將自己大部分精力投入到本科的教學(xué)工作中。

北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都是經(jīng)過十分嚴(yán)格選拔的，且有80%以上的學(xué)生表示他們熱愛數(shù)學(xué)，將來立志從事數(shù)學(xué)。真可謂是教師盡心，學(xué)生竭力的師生隊(duì)伍。郇中丹教授經(jīng)過八年的潛心研究，他發(fā)現(xiàn)有五種令人困惑的現(xiàn)象很難糾正和克服。其中一條就是“學(xué)生只會(huì)背，不會(huì)甚至不敢去自己探索；沒有觸類旁通的能力，對(duì)于需要自己利用已有知識(shí)進(jìn)行邏輯推理之類的問題，感覺十分吃力，難以承受。”

許多同行工作者又何嘗不是有這樣的困惑呢？對(duì)于這樣的問題，作為一線的任課教師，我們不妨可以好好回味一下蒲豐投針這個(gè)試驗(yàn)。

蒲豐投針本身是一個(gè)要求概率的問題，可是卻用幾何知識(shí)巧妙地解決了，并且還由此產(chǎn)生了蒙特卡羅方法，在很多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。這事實(shí)上就是知識(shí)交叉融合的力量！

大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)本身有一定的深度，甚至比較抽象難懂。但對(duì)大多數(shù)理工科專業(yè)學(xué)生來說，數(shù)學(xué)是一門工具，只有學(xué)好了才能夠用這一工具解決自己的專業(yè)知識(shí)，所以數(shù)學(xué)又是一門基礎(chǔ)課。對(duì)這樣一塊必啃的硬骨頭學(xué)生如何去學(xué)，教師又如何去教呢？

由蒲豐投針試驗(yàn)，我想到了學(xué)科交叉教學(xué)。學(xué)科交叉教學(xué)就是在對(duì)某單一學(xué)科教學(xué)的基礎(chǔ)上聯(lián)系其他不同學(xué)科領(lǐng)域、部門和分支學(xué)科進(jìn)行相互理解、相互作用、彼此融合，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)更加深入細(xì)致的理解和學(xué)習(xí)。

例如，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的高等代數(shù)課堂上，時(shí)常會(huì)碰到求解 元齊次線性方程組最小二乘解的問題，教師引導(dǎo)學(xué)生至少可以結(jié)合兩門不同的學(xué)科去解決。一是代數(shù)與幾何的交叉融合，可以把問題轉(zhuǎn)化成尋求一個(gè)向量使得它到一個(gè) 維線性空間距離最短。二是代數(shù)與數(shù)學(xué)分析的交叉，又可以把問題轉(zhuǎn)化成多元函數(shù)求極值，利用數(shù)學(xué)分析中的相關(guān)定理一樣可以完美解決。再例如，無論是在高等數(shù)學(xué)還是在數(shù)學(xué)分析的課程中都會(huì)學(xué)到不定積分的運(yùn)算，結(jié)合高等代數(shù)中線性變換的理論，可以用逆矩陣的方法求一個(gè)不定積分。像這樣的例子聽起來是不是又有了“蒲豐投針”的感覺，令人拍案叫絕呢？！

豈止這些？像這樣的例子在我們的大學(xué)數(shù)學(xué)中比比皆是。比如概率論中多維隨機(jī)變量的理論可以借助代數(shù)中矩陣這一工具高效的解決問題；數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的交叉融合使得這兩個(gè)學(xué)科的發(fā)展堪稱是“比翼雙飛”；數(shù)學(xué)借助各種軟件的力量使得問題程序化，圖形清晰化，抽象具體化等等。我們結(jié)合我們學(xué)生自身的特點(diǎn)，在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行這種教學(xué)嘗試后，發(fā)現(xiàn)課堂氣氛明顯活躍起來，學(xué)生的思維也更加積極，學(xué)習(xí)興趣更加濃厚，對(duì)知識(shí)的掌握也更加牢固，理解也更加全面。這樣的課堂是充滿活力的課堂，是具有創(chuàng)造力的課堂！

學(xué)科交叉不僅僅能夠讓學(xué)生有效地掌握所學(xué)課程的知識(shí)點(diǎn)，使他們對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)中的純理論不再恐懼，更重要的是能夠培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和熱情，開發(fā)他們的探索精神，在潛移默化中培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力。

實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，如果教師在課堂上帶領(lǐng)學(xué)生從不同學(xué)科解決同一個(gè)問題，或者是從不同學(xué)科的角度去理解相同的理論，一定能夠使學(xué)生領(lǐng)略到“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”之意境，不僅可以豐富自己的課堂教學(xué)，而且可以優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

3 結(jié)語(yǔ)

曾有耶魯大學(xué)校長(zhǎng)理查德·萊文指出：跨學(xué)科的廣度和批判性思維的培養(yǎng)，是中國(guó)大學(xué)本科教育缺乏的兩個(gè)關(guān)鍵要素。微軟公司首席研究及戰(zhàn)略官科瑞格·蒙迪則認(rèn)為：未來人類所面臨的問題將會(huì)越來越復(fù)雜，解決問題的辦法取決于跨學(xué)科的合作，企業(yè)界特別希望大學(xué)能培養(yǎng)出更多具有跨學(xué)科能力和合作能力的人才。

教師的教學(xué)方式是開啟學(xué)生智慧閘門的鑰匙，教學(xué)工作不僅僅是向?qū)W生傳授知識(shí)，更重要的是開發(fā)學(xué)生智力、鍛煉學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生能力。在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師應(yīng)注重學(xué)科交叉教學(xué)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)能夠融會(huì)貫通，解決問題的能力得到提升。這就需要教師在教學(xué)過程中，多加留心，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象認(rèn)識(shí)本質(zhì)，挖掘更加深刻的內(nèi)容。

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基金項(xiàng)目：重慶人文科技學(xué)院教改項(xiàng)目，名稱：《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)改革的研究與實(shí)踐，項(xiàng)目編號(hào)：14CRKJ02。