駱迎生

【摘要】 平行線的性質(zhì)學(xué)生比較熟悉，但是構(gòu)造條件利用性質(zhì)學(xué)生普遍感到棘手，輔助線的添加便尤為重要. 在短暫的一節(jié)課中，在教師的引領(lǐng)啟發(fā)下，學(xué)生們對(duì)一道題目展示了各種精彩解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的魅力.

【關(guān)鍵詞】 平行線；截線；內(nèi)角和；外角和；輔助線

蘇科版七年級(jí)《數(shù)學(xué)》下冊(cè)第一章的內(nèi)容是“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”，涉及的知識(shí)點(diǎn)非常豐富，其中主要有直線平行的條件與平行線的性質(zhì)，三角形邊角關(guān)系及三個(gè)內(nèi)角定理，多邊形的內(nèi)角和、外角和公式. 教材中均設(shè)置觀察、操作、想象、說(shuō)理等探索活動(dòng)，注重學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，自主探索，歸納建構(gòu)自己的認(rèn)識(shí). 筆者在復(fù)習(xí)本章時(shí)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探索一道典型幾何題解法，上了一堂精彩的復(fù)習(xí)課.

例題：如圖 ，AB∥CD，探索∠B，∠D，∠E三個(gè)角之間的關(guān)系.

分析：本題中給出的條件只有AB∥CD，可以得到什么結(jié)論呢？

學(xué)生自然想到了兩直線平行的性質(zhì)，可以得到角之間的關(guān)系，諸如同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可是要構(gòu)成這幾種類型的角，需兩平行線被第三條直線所截. 本題目正缺少這樣的一條直線，如何構(gòu)造？

經(jīng)教師啟發(fā)，學(xué)生已有所悟，一些學(xué)生躍躍欲試，紛紛舉手.

方法一：作一直線分別與AB交于M，與CD交于N，則B，E，D，N，M五點(diǎn)便圍成了一個(gè)五邊形，由多邊形內(nèi)角和知：

∠B + ∠E + ∠D + ∠MND + ∠BMN = 180° × （5 - 2） = 540°.

又∵AB∥CD，

∴ ∠BMN + ∠MND = 180°.

∴ ∠B + ∠E + ∠D = 540° - 180° = 360°.

這是很聰明的一名學(xué)生提供的方法. 為了利用平行線的性質(zhì)，作了一條輔助線與兩條平行線相截，還綜合運(yùn)用了多邊形內(nèi)角和知識(shí)，而且得出了∠B，∠E，∠D三個(gè)角之間的關(guān)系是和為360°.

方法二：在AB上任取一點(diǎn)M，連接MD.

∵ AB∥CD，

∴∠1 = ∠2.

∵ ∠B + ∠E + ∠3 + ∠2 = 360°，

（四邊形的內(nèi)角和為360°），

∴ ∠B + ∠E + ∠3 + ∠1 = 360°，

即∠B + ∠E + ∠EDC = 360°.

第二名學(xué)生的方法似乎也不錯(cuò)，他把三個(gè)角分成了四個(gè)角，而這四個(gè)角恰恰可轉(zhuǎn)化為四邊形的四個(gè)內(nèi)角. 同時(shí)AB與CD兩條平行線剛好被MD所截，又可以利用AB∥CD這一條件了.

教師總結(jié)了這兩種方法，指出他們都巧妙地添加了一根輔助線，即兩平行線的截線，充分利用了平行條件. 體現(xiàn)了同學(xué)們綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力.

方法三：連接BD. ∵AB∥CD，

∴ ∠ABD + ∠BDC = 180°.

∵∠EBD + ∠E + ∠EDB = 180°，

∴∠ABE + ∠E + ∠EDC=180° + 180° = 360°.

第三名同學(xué)提出的方法更加簡(jiǎn)單，通過(guò)連接BD，它既與平行線AB，CD相截又能利用三角形的內(nèi)角和，很容易得出這三個(gè)角的和是360°.

方法四：延長(zhǎng)DE交直線AB的延長(zhǎng)線于F.

∵ AB∥CD，

∴ ∠D = ∠DFH，

∠ABE + ∠HFD + ∠BED = 360°，

（三角形的外角和為360°）.

∴ ∠ABE + ∠BED + ∠D = 360°.

不得不承認(rèn)，學(xué)生作的這條輔助線就更巧妙了，需要探索的三個(gè)角剛好變成了三角形的三個(gè)外角了.

教師再次評(píng)價(jià)：前面幾名同學(xué)的發(fā)言中，都緊緊圍繞兩直線被第三直線所截形成的角之間的關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行思考的，還借助了多邊形的內(nèi)角和公式知識(shí). 但有關(guān)平行線的性質(zhì)與判定中還有沒(méi)有與 “三線八角”相關(guān)的結(jié)論呢？

方法五：過(guò)點(diǎn)E作直線EF，使EF∥AB.

∵ EF∥AB且AB∥CD，

∴ AB∥CD∥EF，

（平行于同一條直線的兩直線互相平行）.

∴∠B + ∠BEF = 180°，∠FED + ∠D = 180°.

∴∠B + ∠BED + ∠D = 360°.

該同學(xué)提出的解法思路是全新的，很有創(chuàng)造性，全班學(xué)生都露出驚奇的神情，發(fā)言的同學(xué)也感到異常興奮.

方法六：過(guò)點(diǎn)E作直線EF，如圖.

∵ EF∥AB 且AB∥CD，

∴ AB∥CD∥EF，

（平行于同一條直線的兩直線互相平行）.

∴∠B = ∠BEF，∠D = ∠FED.

∴∠B + ∠BED + ∠D = ∠BEF + ∠BED + ∠FED = 360°.

學(xué)生評(píng)價(jià)：第五種解法和第六種解法思路是相同的，只是前一種用的是二直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)這一性質(zhì)，而后一種方法則用的是二直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等這一性質(zhì)來(lái)證明的.

又一學(xué)生評(píng)價(jià)：前面四種解法也有相同的地方，都可以看作是用一條直線去截兩條平行的直線，就截出了一個(gè)五邊形. 當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，截出的是一個(gè)四邊形，這時(shí)當(dāng)M點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，截出的是一個(gè)三角形；當(dāng)MN與DE重合時(shí)，截出的也是一個(gè)三角形. 所以，這幾種解法本質(zhì)上是相同的.

教師評(píng)價(jià)：同學(xué)們能以動(dòng)態(tài)的眼光看問(wèn)題，那么一定能達(dá)到舉一反三、觸類旁通的境界.

不知不覺(jué)中，一堂精彩的復(fù)習(xí)課就這樣過(guò)去了，師生均沉浸在成功的喜悅之中. 通過(guò)一題多解與一題多變訓(xùn)練，使學(xué)生在復(fù)習(xí)中探索，在探索中提高，在提高中升華.