羅秋佳

一、提出問(wèn)題

在中考復(fù)習(xí)課上我們都需要通過(guò)一次次的教學(xué)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)得到梳理、系統(tǒng)化. 不僅如此，還要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問(wèn)題所在，困難所在，針對(duì)學(xué)生的問(wèn)題、易錯(cuò)方面來(lái)構(gòu)思教學(xué)，切實(shí)幫助學(xué)生，通過(guò)中考復(fù)習(xí)階段的教學(xué)，提高學(xué)生綜合知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 因此中考復(fù)習(xí)中教師設(shè)計(jì)問(wèn)題要對(duì)癥下藥，符合學(xué)生的實(shí)際，構(gòu)思好的問(wèn)題情景，通過(guò)解決這些問(wèn)題后學(xué)生的綜合知識(shí)解決問(wèn)題的能力得到很好的鍛煉，同時(shí)也使學(xué)生對(duì)這些最為基礎(chǔ)的知識(shí)有更深刻的認(rèn)識(shí). 筆者構(gòu)思了這樣一個(gè)問(wèn)題：已知在等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，在此等腰三角形上是否存在既平分面積又平分周長(zhǎng)的直線？

這個(gè)問(wèn)題有一定難度，我就采取先給學(xué)生一節(jié)課的時(shí)間去獨(dú)立練習(xí)、思考，然后把學(xué)生解答過(guò)程進(jìn)行初步的分析、統(tǒng)計(jì). 全班每一名學(xué)生都想到：過(guò)等腰三角形的頂點(diǎn)A作底邊的垂線，這條直線一定既平分周長(zhǎng)又平分面積. 有部分學(xué)生是這樣來(lái)分析的：過(guò)點(diǎn)B、C的直線既平分周長(zhǎng)又平分面積是不可能的. 那么這樣的既平分周長(zhǎng)又平分面積的直線如果還有，就僅可能是與一腰和一底相交的直線或與兩腰相交的直線. 還有一些學(xué)生用方程的思想去找這樣的直線. 但是全班沒(méi)有一名學(xué)生完全解答正確. 所以這節(jié)課我就準(zhǔn)備從對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析開(kāi)始.

二、初步的教學(xué)過(guò)程

問(wèn)題1：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，在此等腰三角形上是否存在既平分面積又平分周長(zhǎng)的直線？

首先，從作業(yè)中教師可以了解到：學(xué)生幾乎都考慮到過(guò)頂點(diǎn)A作底邊BC的垂線，這條直線能夠既平分周長(zhǎng)又平分面積. 教師在此可以肯定學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱(chēng)能靈活運(yùn)用.

其次，百分之四十的學(xué)生考慮到對(duì)問(wèn)題要分析下去，應(yīng)該分類(lèi)思考，他們有分類(lèi)的意識(shí). 他們考慮到：過(guò)點(diǎn)B、C的直線如果平分面積就不能平分周長(zhǎng)，如果平分周長(zhǎng)就不能平分面積，所以過(guò)B、C點(diǎn)不存在既平分面積又平分周長(zhǎng)的直線. 他們有的考慮：直線過(guò)兩腰，有的考慮直線過(guò)一腰、一底. 教師在此也應(yīng)該充分肯定這部分學(xué)生的思考問(wèn)題有條理性但是不夠全面、徹底.

學(xué)生的困難在什么地方呢？仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生會(huì)設(shè)未知數(shù)，并由周長(zhǎng)相等來(lái)建立等量關(guān)系，但是由面積相等來(lái)建立等量關(guān)系，他們有困難，他們總是考慮要找三角形的高，但他們意識(shí)到題目條件里并沒(méi)有提供高的條件或是沒(méi)有辦法尋找到求高的條件，問(wèn)題的關(guān)鍵是他們計(jì)算面積的方法太單一，思路較為狹窄.

因此教師就啟發(fā)學(xué)生分析如下：

在圖1中，設(shè)AE = x，BF = y，則 BE = 5 - x，F(xiàn)C = 6 - y，AC = 5.

如果直線EF既平分面積又平分周長(zhǎng)，可以建立方程為：

因此這樣的能夠既平分周長(zhǎng)又平分面積的直線有三條. 學(xué)生此時(shí)非常感嘆：代數(shù)方法的精確求解非常有用！有趣！

三、在啟發(fā)反思后，更為深入地探討

最后，引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)，并提出新的問(wèn)題.

1. 探究在等腰三角形上是否存在既平分面積又平分周長(zhǎng)的直線，在這里可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，進(jìn)一步用方程思想來(lái)解決它.

2. 求出方程的解并不是已經(jīng)完成任務(wù)，而應(yīng)該檢驗(yàn)求出的根的取值范圍是否合理.

3. 對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解決，你可以再思考出更為簡(jiǎn)單、巧妙的方法嗎？

4. 從這個(gè)問(wèn)題的解決，你能提出新的問(wèn)題嗎？如果是腰大于底的等腰三角形是否也有且既平分周長(zhǎng)又平分面積的三條直線？

注意：（1）對(duì)于第3個(gè)提問(wèn)，有學(xué)生思考出更為簡(jiǎn)單的方法：因?yàn)樵撊切蔚闹荛L(zhǎng)為：5 + 5 + 6 = 16，所以半周長(zhǎng)為：8，所以只需設(shè)AE = x，AF = 8 - x，BE = 5 - x ，CF = x - 3.

（2）在第三步中，因?yàn)榕c一腰一底相交且既平分周長(zhǎng)又平分面積的直線可以看作是等腰三角形的頂角的平分線轉(zhuǎn)動(dòng)x，那么DF也轉(zhuǎn)動(dòng)x，即可以設(shè)AE = x，推導(dǎo)出：DF = x，進(jìn)一步可以得出：BF = 3 + x，CF = 3 - x.

教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生思考：當(dāng)分析到這里時(shí)同學(xué)們有什么問(wèn)題嗎？問(wèn)題1的等腰三角形有何特點(diǎn)？即底大于腰. 如果是腰大于底問(wèn)題又該如何？由此引出下面的問(wèn)題：

問(wèn)題2：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6，BC = 5，在此等腰三角形中是否存在既平分面積又平分周長(zhǎng)的直線？

第一步：學(xué)生由于有了問(wèn)題1的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題可能要輕松些. 故對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解決可以讓學(xué)生作為課堂練習(xí)來(lái)做.

第二步：可以找學(xué)習(xí)能力中等的學(xué)生到黑板上來(lái)板演解題過(guò)程.

第三步：歸納學(xué)生的解答，可以得出也有三條直線既平分面積又平分周長(zhǎng). 但是與問(wèn)題1的解答稍有不同：一條是頂角的角平分線，另兩條是與一腰和一底相交的直線.

在解決了問(wèn)題1和問(wèn)題2后，可以啟發(fā)學(xué)生思考，如果是一般的等腰三角形是否還存在既平分面積又平分周長(zhǎng)的三條直線？即下面的問(wèn)題：

問(wèn)題3：如果在等腰三角形ABC中，AB = AC = a，BC = b，在此等腰三角形中是否存在既平分面積又平分周長(zhǎng)的直線？

對(duì)于該問(wèn)題，由于難度較大，可以安排在課外數(shù)學(xué)興趣小組中去繼續(xù)討論.

第一步：?jiǎn)l(fā)學(xué)生分類(lèi)思考，分a > b，a < b 兩種情況來(lái)考慮.

第二步：教師可以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)興趣小組中討論a > b這種情況.

所以x1，x2都必須舍去. 故當(dāng)?shù)状笥谘牡妊切?，即a > b時(shí)存在三條既平分面積又平分周長(zhǎng)的直線.

當(dāng)腰大于底時(shí)，即a < b的等腰三角形可以布置給學(xué)生課后去思考.

最后，筆者的思考：學(xué)生帶著問(wèn)題去聽(tīng)課，感覺(jué)非常有趣，他們想要知道問(wèn)題的解答方法和答案，他們聽(tīng)得很認(rèn)真，喜歡思考. 在學(xué)生存在的問(wèn)題的基礎(chǔ)上來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)非常適合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，能有效地提升學(xué)生的思維能力和綜合解決問(wèn)題能力. 所以好的問(wèn)題情境是對(duì)學(xué)生非常有利的. 什么是好問(wèn)題情境呢？太難學(xué)生會(huì)喪失信心，太容易學(xué)生會(huì)輕視. 所以針對(duì)學(xué)生的問(wèn)題來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題情境是很有用的，這應(yīng)該是中考復(fù)習(xí)中設(shè)計(jì)問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn). 教師所設(shè)計(jì)的問(wèn)題有針對(duì)性就會(huì)切實(shí)提高學(xué)生的能力，而且是高效的復(fù)習(xí)課.