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        別出心裁 思維綻放

        2015-05-30 19:22:06劉海燕
        中學教學參考·理科版 2015年6期
        關鍵詞:單調(diào)性極限最值

        劉海燕

        [摘 要]近年來,高考試卷中涉及函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合的試題越來越多.我們應當有意識地挖掘和提煉數(shù)學知識本身所蘊含的豐富的數(shù)學思想和方法,并引導學生在解法上求異,培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和靈活性,提高學生的解題能力.

        [關鍵詞]函數(shù) 單調(diào)性 最值 極限

        函數(shù)問題是高考的熱點和難點,思維方法靈活多變.縱觀2014年全國各省市的高考試題,函數(shù)題較多地以函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、不等式恒成立等問題出現(xiàn).教師在解題教學中除強調(diào)通性通法外,也應注意數(shù)學思想方法的運用.本文以2014年高考理科數(shù)學北京卷第18題為例,多角度地分析求解函數(shù)最值及恒成立問題,巧妙地結(jié)合極限思想和數(shù)形結(jié)合思想,使得這一問題的求解思維更加開闊.

        題目:已知函數(shù)f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,π2].

        (1)求證:f(x)≤0;

        (2)若a解答:高考標準答案中的解法不再贅述.

        方法一:(1)由f(x)=xcosx-sinx,

        得f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

        ∵在區(qū)間[0,π2]上,f′(x)=-xsinx<0,

        ∴f(x)在區(qū)間[0,π2]上單調(diào)遞減,∴f(x)≤f(0)=0.

        令g(x)=sinxx,x∈(0,π2) ,則g′(x)=xcosx-sinxx2= f(x)x2.

        由(1)可知f(x)<0,x∈(0,π2),

        ∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,π2)上單調(diào)遞減.

        ∴g(x)>g(π2)=2π, 且g(x)

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