宋貴玲

分段函數(shù)是一種重要的函數(shù)模型，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，在歷年高考中也常作為重點來考查。對于分段函數(shù)的有關問題，不少考生不知如何下手，現(xiàn)從兩個方面予以解讀，希望對大家有一定的幫助。

一、概念理解

在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。分段函數(shù)的解析式是各段區(qū)間上的對應關系的綜合。在處理分段函數(shù)問題時，既要緊扣“分段”的特征，又要把各段有機地聯(lián)系在一起，作為一個整體去把握，使之系統(tǒng)化、條理化。

二、題型強化

題型1：求分段函數(shù)的函數(shù)值。

例1 已知函數(shù)求f（f（9））的值。

解：由9∈（8，12]，得f（9）=16-9=7。

由7∈（4，8]，得f（7）=8。

f（f（9））=8。

評析：求分段函數(shù)的函數(shù)值時，一般先確定自變量的取值在定義域的哪個子區(qū)間內(nèi)，然后用與這個子區(qū)間相對應的對應法則來求函數(shù)值。

練習：設，求的值。

參考答案：

題型2：求分段函數(shù)的定義域、值域。

例2 求函數(shù)定義域和值域。

解：函數(shù)f（x）的定義域是區(qū)間（-∞，-l]和（-l，+∞）的并集，即R。

當x≤-1時，-1；當x>-l時，

函數(shù)f（x）的值域是區(qū)間[=1，+∞）和的并集，即。

評析：求分段函數(shù)的定義域，即求各段自變量的取值范圍的并集；求分段函數(shù)的值域，要先求出各段區(qū)間內(nèi)函數(shù)的值域，然后求其并集。

練習：已知函數(shù)求函數(shù)f（x）的定義域和值域。

參考答案：函數(shù)f（x）的定義域為區(qū)間[0，+∞）和（-∞，0）的并集，即R，值域是區(qū)間[0，+∞）和（0，+∞）的并集，即[0，+∞）。

題型3：求分段函數(shù)的解析式。

例3 某旅行社組團去某風景區(qū)旅游。若每團人數(shù)為30或小于30，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)大于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，每張機票收費減少10元，直到每張收費降為450元為止。每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元。

（1）寫出飛機票的價格關于人數(shù)的函數(shù)。

（2）問：每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？

解：（1）設每團人數(shù)為x。

由題意得0設飛機票的價格為y元，則y=

（2）設旅行社獲利S元。

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