邵陳標

（寧波市江北區(qū)第二實驗小學，浙江 寧波 315021）

一、“問題解決”與“問題解決策略”

“問題解決”是20世紀80年代以來國際數(shù)學教育發(fā)展的核心，是數(shù)學教育改革的重要趨勢。英國Cockcroft報告指出：那種把數(shù)學用之各種情況的能力，我們叫作問題解決能力。鄭毓信教授認為，“問題解決”即是指如何綜合地、創(chuàng)造性地運用各種已有的數(shù)學知識和方法去解決那種非單純練習題式的問題（包括實際問題和源于數(shù)學內(nèi)部的問題）。主張以“問題解決”作為學校數(shù)學教育的中心，提倡讓學生通過“問題解決”來學習數(shù)學。[1]

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》對“問題解決”目標提出了“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”的要求。[2]這一目標的實質(zhì)是形成問題解決的策略意識?！皢栴}解決策略”基本含義是指解決數(shù)學問題的全過程中，借以思考和假設(shè)，選擇和采取的解決方法與步驟，是對解決數(shù)學問題途徑的概括性認識。

策略的選擇在問題解決過程中起著極為重要的作用，策略應(yīng)用的好壞直接影響著問題的解決。小學生的數(shù)學問題解決策略，是在長期的數(shù)學學習中，通過不斷地進行解題練習而逐漸發(fā)展起來的。數(shù)學問題解決策略的作用在于減少數(shù)學問題解決中嘗試與錯誤的任意性、盲目性，節(jié)約解決問題所需要的時間，提高解決問題的成功概率。

數(shù)學教育家波利亞(G.Polya)在《怎樣解題》中將數(shù)學問題解決過程分為四個階段，即弄清問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃和回顧與反思。在問題解決的過程中，學生應(yīng)逐步發(fā)展各種數(shù)學思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等。問題解決的過程也是學生思維發(fā)展的過程，不僅能發(fā)展學生的策略性知識，還有助于發(fā)展學生思維的新穎性和獨創(chuàng)性。因此，教師應(yīng)根據(jù)學生的思維特點，對學生進行問題解決策略的傳授和訓練，使學生掌握常見的問題解決的策略，引導學生從數(shù)學的角度看問題,以數(shù)學的眼光分析問題,經(jīng)歷對信息的收集、整理、處理的過程,對解題思路的猜想、嘗試、推理的過程,對解題方法的比較、反思、驗證的過程,幫助學生提高問題解決能力，發(fā)展數(shù)學思維能力。

二、形成基本的問題解決策略

1.畫圖的策略

畫圖是一項具體化的策略，包括畫線段圖、實物圖、示意圖、韋恩圖等。畫圖作為解決問題的有效策略，借助幾何直觀地把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果，從而促進學生數(shù)學問題的解決。畫圖又是一個“去情景化”的過程，有利于提煉關(guān)系并直觀表達，符合小學生思維特點。教師應(yīng)重視引導學生經(jīng)常運用“示意圖、線段圖”等直觀手段，逐步學習“韋恩圖、長方形圖”等，幫助學生理解問題、分析數(shù)量關(guān)系，逐步形成圖示表征的策略。

首先，說說示意圖的教學。示意圖的教學從一年級開始就應(yīng)滲透，小學階段幾乎都可以用示意圖表示數(shù)量關(guān)系。如引導學生畫圖表示數(shù)，畫圖說明計算結(jié)果等，在解決實際問題時，可以讓學生用自己喜歡的方式把“應(yīng)用題”畫出來。例如：三年級“用連除解決問題”時，為更清晰地呈現(xiàn)實際情境，凸顯數(shù)量關(guān)系，我們改編了教材集體舞的情境圖，采用上海世博會的情境，在情境圖基礎(chǔ)上出示完整問題：

一共有32個海寶機器人參加巡游，排成2隊，每隊有4行。平均每行有幾個海寶機器人？

學生獨立解答后用圖交流反饋：

生1：用32÷2=16(個)，先求出每隊有16個，再根據(jù)每隊有4行，用16÷4=4(個)求出每行有4個。

生2：32÷4÷2=4（個），先算出一大行有8個，再根據(jù)有2隊，用8÷2=4(個)算出每行有4個。

生3：32÷（2×4）=4（個），先算出一共有幾行，再求出每行有幾個。

結(jié)合學生反饋，課件演示：

方法一：32÷2÷4=4（個）（參見圖1）

方法二：32÷4÷2=4（個）（參見圖2）

方法三：32÷（2×4）=4（個）（參見圖3）

上述教學案例中，“數(shù)形結(jié)合”無疑是幫助學生理解題意、理清思路的好方法。教學時先采用長方形直觀圖與算式相結(jié)合，學生在圖中圈一圈，溝通數(shù)與圖的關(guān)系，清晰表達解題思路。再通過課件演示，逐步從直觀圖抽象到矩形圖，至此，在學生頭腦中初步建立“連除就是連續(xù)兩次平均分”的清晰數(shù)學模型。學生經(jīng)歷從獨立解題到厘清語言表述思路，再到提煉數(shù)量關(guān)系，最后歸納解題策略的三個過程，從而掌握連除解決問題的基本思路?？梢?，直觀示意圖幫助學生搭建起解決問題的腳手架，降低了學生建構(gòu)新知的難度。

其次，理一理線段圖的教學。線段圖是小學數(shù)學教學中經(jīng)常采用的解決問題的有效手段。把握線段圖的尺度是個焦點問題，主要是何時教？怎樣教？這里會有種種誤區(qū)：有的教師認為線段圖太重要了，應(yīng)該從一年級開始就教，而且要補充課時；有的認為從中年級開始，教材有就教，沒有就不教；有的則認為低年級數(shù)學問題過于簡單，無須線段圖，可從高年級開始教。筆者認為，問題不在于何時教，而是如何根據(jù)學生的心理特點，在遵循學生認知規(guī)律的基礎(chǔ)上逐步滲透。實踐表明，從三年級“求一個數(shù)的幾倍是多少”開始教線段圖，優(yōu)勢比較明顯。人教版教材從三年級上冊“倍的認識”單元首次出現(xiàn)正式的線段圖（教材圖略）。筆者在教學本單元時，采用逐步滲透的方法教學：在第一課時“倍的認識”教學時，在桌上擺出與教材“做一做”類似的實物圖，到紙上畫出簡單的示意圖；第二課時在解決例2“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”時，引導學生先畫出示意圖，不少學生覺得畫出一個個人太麻煩，于是有用畫圓代替的，有用小棒表示的，也有用線段表示的，自然地引出線段圖表示法；到例3教學時，無法再用示意圖來表示數(shù)量關(guān)系了，于是線段圖正式登場，真正成為學生的內(nèi)在需要。因此，首先要激發(fā)學生畫圖的需要；其次要從低年級開始逐步滲透，從簡單題型開始，從畫簡單示意圖開始，指導學生畫線段圖表征數(shù)量關(guān)系。這樣從示意圖，再到線段圖，最后要讓線段圖成為學生自覺構(gòu)造的直觀手段，逐步形成畫線段圖的意識與習慣。

2.列表的策略

新修訂的人教版教材十分重視以列表的策略解決問題。（列表策略在新教材中的安排大致情況參見表1）

列表作為小學數(shù)學問題解決的重要策略，不再拘泥于刻板的解題形式，有利于釋放學生的思維活力，提高學生解決問題的興趣。列表策略的作用主要體現(xiàn)在兩個方面：第一，學生通過列表枚舉出符合條件的一些結(jié)果，然后通過驗證從中選擇最佳的答案；第二，將問題中的信息用表格的形式加以整理，既起到整理信息的作用，也有助于通過推理探索出解決問題的思路。

有些數(shù)學問題的解答，需要根據(jù)條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，通過推理找到答案。邏輯推理要求以正確的判斷為前提，從正確的前提出發(fā)，才能推出正確的結(jié)論。例如：在二下“數(shù)學廣角”中引入了簡單邏輯推理問題，通過列表推理解答，既能體現(xiàn)推理過程，又能呈現(xiàn)推理結(jié)果，豐富學生問題解決的方法。

3.枚舉的策略

圖1

圖2

圖3

枚舉即一一列舉，又稱窮舉法。用枚舉法解決問題，最簡單的是將問題的所有答案依次列舉出來，更簡單的是將問題可能的答案一一列舉，并根據(jù)約束條件判斷、篩選答案。枚舉是最原始、有時也是最管用的一種方法，就是列舉所有的可能性，然后在這些可能答案中，找出一個或幾個符合題意的答案。小學階段問題解決中的“枚舉法”的特點是由淺入深，由易到難，逐步優(yōu)化，通常輔以列表或圖示來列舉。以下是對教材運用枚舉策略的簡單梳理：一下第五單元例7，“13元正好買哪兩種雜志？”采用的就是嘗試、有序列舉的方法，初步滲透枚舉法；二上數(shù)學廣角搭配（一），則用列表法將組成兩位數(shù)的各種情況列舉出來；三上第三單元出現(xiàn)列表一一列舉所有答案，正式訓練運用列表法解決問題；三下第八單元數(shù)學廣角中，進一步用圖示有序列舉解決搭配問題，“有多少種不同的穿法？”這一案例已成為公開課的經(jīng)典案例；到了四上數(shù)學廣角單元，用列表法解決“田忌賽馬”問題，初步形成優(yōu)化意識；四下“雞兔同籠”問題解決中，進一步嘗試列表找到問題答案，形成優(yōu)化意識；到五年級學習最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時，再次運用枚舉法解決問題，并且在“打電話”“找次品”中進一步通過圖示列表清晰地呈現(xiàn)解決問題的思路，形成優(yōu)化策略?？梢?，小學階段問題解決中枚舉法是常用的策略，需要加以重視。

4.假設(shè)的策略

假設(shè)法是解決數(shù)學問題的有效方法。在小學通常假設(shè)某一未知數(shù)量取一個可能的值，從而化抽象為具體，以方便列式；或者假設(shè)某一種情況（結(jié)論成立），作為推理的起點。這里主要介紹比較適合小學生的兩種方法。

（1）賦值計算

即根據(jù)條件，選擇某個未知數(shù)量，假設(shè)它為某個已知的具體數(shù)，通過列式計算，得到正確答案。例如：人教版六上（P42）工程問題。這條道路有多長未知，可以假設(shè)18米、30米……甚至1米，逐步抽象成單位“1”，用不同方法得到的結(jié)果相同：36÷（36÷12＋36÷18）；18÷（18÷12＋18÷18）；1÷（＋）。為什么“工作總量”不相同，而計算所得的“合作時間”卻相等呢？引導學生比較這幾個算式，假設(shè)的數(shù)據(jù)雖然不同，之所以結(jié)果相同，是商不變的規(guī)律在起作用，這種變化實際上就是一種正比例關(guān)系。一般地，設(shè)全長為a，由題意列出算式a÷（a÷12＋a÷18），假設(shè)的參數(shù)在運算過程中被消去，同樣說明它與答案無關(guān)。上例假設(shè)賦值的實質(zhì)是將代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為算術(shù)運算。

通過這樣的驗證過程，對一個具體的數(shù)學問題做了抽象化處理，建立起數(shù)學模型，在這樣充滿探索的過程中，讓學生充分經(jīng)歷知識生成過程，真正理解一個數(shù)學結(jié)論是怎樣獲得的。

表1

（2）假設(shè)——比較——調(diào)整

即根據(jù)條件，假設(shè)一個數(shù)，通過計算、比較，發(fā)現(xiàn)不符合其他某個條件，然后加以調(diào)整，直到得出答案。

例如：人教版四下“雞兔同籠”，由原六年級內(nèi)容調(diào)整到四年級后，刪去了方程法。教材由《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問題引入，先后呈現(xiàn)了猜測列表法、假設(shè)法、抬腿法等，注重體現(xiàn)不同思路和方法，使學生體會解題策略的多樣性，其核心思想是假設(shè)。教師應(yīng)如何滲透假設(shè)思想，溝通各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會解決問題策略的多樣化和內(nèi)在聯(lián)系？

筆者對例題進行了調(diào)整，教學過程呈現(xiàn)如下：

出示例題：五年級有34個同學去游樂園劃船，共租了8條船，每條船都坐滿了。大船每條坐5人，小船每條坐3人。大小船各租了幾條？請選擇畫圖、列表、推算等方法解答。

通過小組交流，匯報反饋不同方法：

方法1.列表法

第一步：收集學生中無序列舉的情況，學生嘗試調(diào)整。

第二步：通過一一列舉，把列舉的情況計算出來。發(fā)現(xiàn)用列表法不僅可以不重復、不遺漏，而且很方便記錄計算的數(shù)據(jù)。

第三步：引導觀察表格中（參見表2）人數(shù)的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)“每次將1條小船調(diào)整為1條大船，都增加2人。反之，1條大船換成了1條小船，人數(shù)就減少2人”。這樣，可以省略部分枚舉過程，直接得到最終結(jié)果。當然，也有學生想到從中間嘗試。

方法2.畫圖法（參見圖4）

方法3.假設(shè)法

第一步，假設(shè)8條都是小船，只能坐24（8×3＝24）人；第二步，與實際人數(shù)比較，還剩10（34-24＝10）人不能上船；第三步，把部分小船調(diào)整為大船，每調(diào)整1條，增加2（5-3=2）人，共要調(diào)整5次，即把5（10÷2＝5）條小船調(diào)整為大船。當然，受此啟發(fā)，也可以讓學生嘗試假設(shè)8條全是大船，結(jié)合圖說明推算過程。

在展示上面三種方法的基礎(chǔ)上，溝通不同方法之間的聯(lián)系。列表法其實也是假設(shè)，在序排列中最大和最小的情況其實就是假設(shè)的兩個極端。圖示法實質(zhì)是與列表法相似的探索過程：假設(shè)——比較——調(diào)整（置換）。

這樣，從猜測列表到直觀畫圖再到假設(shè)解題，在不斷調(diào)整嘗試中理解假設(shè)法的真正含義，經(jīng)歷觀察、嘗試、比較、驗證和推理的過程，突出學生的思維過程，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，體會假設(shè)思想。

5.轉(zhuǎn)化的策略

“轉(zhuǎn)化”常常作為“化歸”的代名詞，轉(zhuǎn)化在數(shù)學解題中無處不在，遇到未知或難以解決的新問題時，可通過轉(zhuǎn)化，使新問題化未知為已知、化難為易、化繁為簡，從而順利解決問題。善于使用化歸是數(shù)學思維的一個重要特點，也是解決數(shù)學問題的基本思路和途徑之一。

（1）條件的轉(zhuǎn)化

例如：商店8箱水果重量相同，如果每箱賣出25千克，剩下的水果重量相當于原來3箱水果的重量，問原來每箱水果重多少千克？

本題的難度處于小學中年級學生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，教學時可讓學生先復述題意，追問“剩下的水果的重量相當于原來3箱水果的重量是什么意思？”，再讓學生畫圖表示題意。這樣學生通過小組討論能得到最后一個條件的轉(zhuǎn)化過程：剩下水果的重量相當于原來3箱水果的重量→賣出水果的重量相當于原來5箱水果的重量。

（2）問題的轉(zhuǎn)化

例如：有18支足球隊要參加比賽，比賽采用單場淘汰制（即每場比賽淘汰一支隊伍）進行，一共要進行多少場比賽才能產(chǎn)生冠軍？如果從正向去分析，采用枚舉的方法學生會覺得很麻煩。但是，從問題出發(fā)，因為每比賽一場淘汰一支隊伍，最后留下的一支就是冠軍，所以把問題轉(zhuǎn)化為“一共要淘汰多少支隊伍”，問題就迎刃而解了，即一共要淘汰17（18-1=17）支隊伍。

表2

圖4

（3）思路的轉(zhuǎn)化

例如：小明把一張正方形紙對折，剪去一半，再對折，剪去一半。對折剪去7次，一共剪去這張紙的幾分之幾？把原題的異分母分數(shù)加法計算題改編為應(yīng)用題，引導學生主動畫圖。在畫圖過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，轉(zhuǎn)化思路，找到解決問題的不同辦法。

把問題轉(zhuǎn)化為怎樣求解分式：

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的值。

生1：畫圖法。畫正方形圖，因為1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128表示前面n次分割圖形的面積的和，這個面積就等于整個面積減去最后一次剩下圖形的面積，而第n次分割的圖形面積又是1/27,所以原式=1-1/128=127/128。

生2：補數(shù)法。（過程略）

生3：找規(guī)律法。

因為1/2+1/4=3/4；

1/2+1/4+1/8=7/8；

1/2+1/4+1/8+1/16=15/16；……

所以原式=127/128。

生4：拆分法。

原式=（1-1/2）+（1/2-1/4）+（1/4-1/8）+ …… +（1/64-1/128）

=1-1/2+1/2-1/4+1/4-1/8+……-1/64+1/64-1/128

=1-1/128=127/128

6.估算的策略

《數(shù)學課程標準（2011年版）》對估算教學目標做了調(diào)整，明確提出：“在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算。”可見，新教材更加重視估算教學的必要性，更注重把估算作為一種解決問題的策略。新教材估算策略的選擇以能不能解決問題為原則，以體現(xiàn)估算“無需準確”“追求簡潔”“達成意愿”的本質(zhì)。

例如：在人教版五上（P15）例8用估算解決問題，教學時引導學生用不同的方式去分析問題。

首先，創(chuàng)設(shè)超市購物情境，通過合適問題背景，體會估算在解決問題中的應(yīng)用。教給學生閱讀理解的方法，當信息數(shù)據(jù)較多時，借助表格整理使信息數(shù)據(jù)更加清晰直觀，以更好地分析數(shù)量關(guān)系。

其次，培養(yǎng)學生的估算意識，體會估算的不同策略，讓學生根據(jù)數(shù)據(jù)和問題靈活選擇算法，體會像“夠不夠”這類問題用估算解決。估算時，要根據(jù)實際數(shù)據(jù)選擇適當?shù)墓浪悴呗浴?/p>

在解決第一問時，引導學生反饋交流：

生1：一袋米不到31元，兩袋不到62元，肉不到27元，再買一盒10元的雞蛋，總共不超過99元。所以100元夠了。

生2：31×2+27+10=99，用符號來表示就是“實際 〈99”。

解決第二問，學生展示：

生1：一袋米超過30元，兩袋米超過60元，一千克肉超過25元，那么0.8千克就超過20元，再買一盒20元的雞蛋，總共就超過100元，所以100元肯定不夠。

生2：30×2+20+20=100，我都估小了，剛好100元，那實際更不夠了。用符號表示就是“實際〉100”。

以上教學案例展示了如下具有邏輯意義的推論：“如果估大了也夠了，那么實際一定夠了。反過來，如果估小了也不夠，那么實際一定不夠?！边@樣的推論完全符合邏輯，估算得到的結(jié)果就是一定的，不需要再用精確計算來驗證。事實上學生在估算之前還要有個大體的判斷，是夠還是不夠，并且在具體情境中通過滲透不等式的性質(zhì)來解決問題，這樣就很好地體現(xiàn)了新教材估算教學的應(yīng)用價值。由此看來，解決問題時，不能僅僅停留在會估算上，更要積極引導學生去探索估算中的預測、調(diào)整、反思策略。當學生想出不同方法時，教師要給予針對性的評價，引導學生比較估算策略的合理性，從而優(yōu)化估算策略。

綜上所述，問題解決策略的教學是整個數(shù)學課程中不可缺少的一部分，它應(yīng)伴隨數(shù)學學習的全過程。圍繞“問題解決”的目標，采取有效的教學策略，讓學生真正學會用數(shù)學的眼光、數(shù)學的思維、數(shù)學的方法去認識世界，主動解決現(xiàn)實問題，有效培養(yǎng)學生運用數(shù)學解決實際問題的能力，從而使教學活動更富生機和活力?！?/p>

[1]鄭毓信，梁貫成.認知科學建構(gòu)主義與數(shù)學教育[M].上海：上海教育出版社，2002.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.