☉江蘇省天一中學孫承輝 何志奇

生長學生個性共享思維智慧*
——應用題教學的一次嘗試及感悟

☉江蘇省天一中學孫承輝 何志奇

一、授課背景

2014年11月3日，江蘇省天一中學舉辦了第十屆全國“聚焦課堂·生長課堂”大型研討活動，筆者代表學校數(shù)學組開設了一節(jié)交流研討課，課題為蘇教版必修1“函數(shù)模型及其應用”（第一課時）.授課的班級為四星級重點高中的高一平行班，學生的數(shù)學素養(yǎng)較高，部分學生思維活躍，能很好地參與教學互動.

在評課過程中，聽課老師表示這節(jié)課令人耳目一新，具有兩大特色：一是從學生“原生態(tài)”的學情出發(fā)，在生生互助、師生互動中實現(xiàn)了釋疑解惑，學生的個性得到了生長；二是教師給予學生充分的時間和空間，鍛煉了學生的數(shù)學表述能力，優(yōu)秀學生的思維智慧在全班學生中得到了共享.筆者將本節(jié)課的教學設計和教學感悟整理如下，以期與同行探討交流.

二、教材分析

1.地位及作用

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，是研究變量之間依賴關系的有效工具.用函數(shù)的觀點看實際問題，也是學習函數(shù)的重要內容.“函數(shù)模型及其應用”是蘇教版必修1第三章最后一節(jié)，根據(jù)配套教師用書的建議，該節(jié)內容的教學需要3～4個課時.因此，筆者對第一課時的教學目標定位為：在學生掌握了一些基本初等函數(shù)（如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等）的基礎上，通過具體的生活實例，讓學生學會根據(jù)實際問題的情境建立函數(shù)模型（即學會“建模”），這是數(shù)學地解決問題的關鍵，而將“解模”、“還原”等環(huán)節(jié)的教學放入下一課時.

2.目標分析

（1）知識與技能：學會根據(jù)實際問題的情境建立函數(shù)模型.

（2）過程與方法：通過審題理解實際背景，學會理清數(shù)量關系，運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活中的簡單問題.

（3）情感、態(tài)度與價值觀：通過獨立探索和互動交流，培養(yǎng)學生提出問題、解決問題的能力，以及數(shù)學交流的能力.

3.教學重點、難點

教學重點：將實際問題抽象化為函數(shù)模型.

教學難點：準確理解題意和理清變量間的關系.

4.設計思路

對于高中數(shù)學應用題的教學，一線教師普遍感覺難教、教不好.筆者產(chǎn)生了一個設想：適當?shù)亟梃b翻轉課堂的教學模式，構建新穎的教學設計，嘗試突破應用題難教的現(xiàn)狀.所以本節(jié)課的基本思路是：從學生“課前學習任務單”的反饋情況出發(fā)，提出核心問題及相應的子問題，引發(fā)學生在探索中思考，引導學生在互動中交流，從而讓學生完成對知識的內化.

三、教學過程

（一）課前活動簡介

課前活動在課前展開并完成，主要包括以下兩個環(huán)節(jié)：首先，讓學生觀看教學微視頻.該微視頻以“PPT語音講解+數(shù)位板手寫輸入”的方式錄制，時長5分9秒，主要介紹函數(shù)模型在日常生活中的應用，并詳細講解教科書第98頁的例1，歸納了用函數(shù)觀點刻畫實際問題的方法及注意點.然后讓學生完成“課前學習任務單”.

（二）課堂活動簡錄

1.把脈學情，夯實基礎

上課伊始，教師對“課前學習任務單”進行簡要分析與點評.對于每一道練習題，教師都投影出2～3個學生的不同解答，然后由學生辨別給出的解答是對還是錯？如果錯的話，又錯在何處？而且能從錯誤中得到建立函數(shù)模型的哪些注意點？

例如，對于必做題的第1題：已知等腰三角形的周長是20，則底邊長y關于腰長x的函數(shù)解析式為________.教師展示了圖1所示的三種典型答案：

圖1

學生1的回答是：“答案①沒有考慮函數(shù)的定義域；答案②考慮到函數(shù)的定義域，但忽視了三角形滿足兩邊之和大于第三邊；答案③是正確的.通過解這道題我知道建立函數(shù)模型要正確給出函數(shù)的定義域.”

教師再結合其他的幾道練習題，歸納了建模的三個注意點：（1）關注函數(shù)的定義域；（2）準確理解題意；（3）學會用數(shù)學的符號語言表達實際問題.

設計意圖：教師在課前對“學習任務單”的完成情況作了統(tǒng)計分析，有助于第一時間把握學情，從而為本節(jié)課的教學鋪設合理高效的思路.另外，教師將“原生態(tài)”的學情進行投影反饋，并且由學生來點評，可以激發(fā)全班學生思考問題的積極性，這比教師單純的說教式點評更高效.這一環(huán)節(jié)暴露了學生“先學”所反饋出來的薄弱點，教師可因此對癥下藥，使學生的基礎夯得更實，也為“后教”指明了方向.

2.突出核心，深入探討

教師提出本節(jié)課所要討論的核心問題：如何根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型？學生2和學生3分別代表兩個“思考題”小組講述了他們的思考成果，提綱如圖2所示.

圖2

在此基礎上，師生共同歸納根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型的要點：（1）仔細讀題，劃出關鍵詞，理清數(shù)量關系；（2）將生活語言翻譯為符號語言（如等式、不等式等）；（3）確定自變量和因變量，以及兩者之間的聯(lián)系，從而建立函數(shù)關系式.

設計意圖：圍繞本節(jié)課的核心內容，教師在課堂上創(chuàng)設機會鼓勵學生大聲、大膽地表達，讓他們用原生態(tài)的語言將自己的真實思維水準展現(xiàn)出來.然后通過互動交流，教師引導學生對知識進行深入討論，形成深刻理解，進而做到了在碰撞中產(chǎn)生思維火花，在爭鳴中理清知識內涵.

3.反饋練習，鞏固提升

教師投影了一道練習題：某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為8萬元/輛，出廠價為10萬元/輛，年銷售量為12萬輛.本年度為節(jié)能減排，對產(chǎn)品進行升級出廠價相應提高的比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.5x.寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的函數(shù)關系式.

學生獨立思考，教師巡視，然后前后左右的同學之間互相交流.教師用實物展臺投影了學生4的成果，并請他闡述解題思路和過程.最后，師生對反饋練習的結果作出評價.

設計意圖：通過練習來反饋學生對建模的理解能力和掌握程度，然后由學生的示范講解讓所有學生共同經(jīng)歷讀題、審題、數(shù)據(jù)分析等過程，從而加深對數(shù)學建模的認識.教師在巡視過程中也能和學生進行個性化交流.

4.探究拓展，展示成果

“課前學習任務單”給出了如下探究題：雪碧、可口可樂等350mL易拉罐飲料在市場上的銷量很大，細細觀察，它們的形狀和尺寸幾乎都是一樣的，這是為什么呢？這就涉及易拉罐（可近似地看作圓柱體）的最優(yōu)設計.你能從函數(shù)的觀點提出問題并解決問題嗎？

“探究題”小組從函數(shù)的觀點提出了自己的想法，并與全班學生進行了分享.以下為學生4的演講實錄：

將易拉罐近似看作一個圓柱體，最優(yōu)設計無非兩種：（1）體積一定，用料最少；（2）用料一定，體積最大.我們組主要探究了前面一種.

從以上結論看出底部直徑與高之比為1∶1，但易拉罐的立面怎么看也不是個正方形，理論推算的結果與實際情況不符合，這是為什么呢？通過稱重量發(fā)現(xiàn)，底部用料大約是頂部用料的2～3倍.

方法一：用導數(shù)求解；方法二：仍然用均值不等式求解.

結論：h=4r=2D，即直徑與高的比值為1∶2時為最優(yōu)設計.經(jīng)測量可知易拉罐底面直徑為6.4cm，高為11.6cm，大致符合以上結論.

以上用到的導數(shù)和均值不等式等知識是我們課后自學的.

另外，易拉罐為什么要做成圓柱體呢？我們小組研究后認為：第一，從物理學角度看，在底面積相同的條件下，圓形底面使易拉罐最不容易倒.第二，用手去握住的話，受力比較均勻.第三，若受到外力碰撞，對外界的力有傳導分流作用.第四，內部裝碳酸飲料，有氣體的話不易爆罐.第五，方便自動售貨機出售等.

設計意圖：從日常生活中的事物出發(fā)，引導學生對易拉罐的設計進行深入思考和探究，讓學生學會提出問題.愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，……提出新的問題、新的可能性，……需要創(chuàng)造性的想像力，而且標志著科學的真正進步.”當發(fā)現(xiàn)知識不夠用時，學生會主動地尋求解決之道（如翻閱教科書，向老師或學長請教等），這些學習能力都會使他們終身受益的.

四、教后感悟

1.應用題教學要立足基本學情，展示學生的數(shù)學思維狀態(tài)

“高中數(shù)學應用題解決是個復雜而又龐大的系統(tǒng)工程.”［1］高中數(shù)學應用題難教難學的現(xiàn)狀，一方面是由應用題本身的特點決定的，如閱讀量大、情境陌生等；另一方面與教師的教學方式有很大關系，如果教師過于包辦，把解題的思路講解得頭頭是道，那么學生可能會覺得課上聽得懂，課后自己解題卻不知所措.

突破以上難點的一種有效方法就是教師在教學前深入地了解學情.“課前學習任務單”的題量小，難度低，但選題典型，可以迅速地反饋學生在解應用題方面的薄弱點.另外，讓學生用自己的話說一說如何建立函數(shù)模型，可以真實地反映他們的思維狀態(tài).如學生5所說：“通過仔細地審題……判斷具體使用哪一種函數(shù)”，他對建立函數(shù)模型的方式還停留在套用熟悉的函數(shù)模型，這時教師可以結合實例，使他認識到應該根據(jù)變量間的關系列式，有時所列的函數(shù)關系式未必是自己熟悉的.這樣的交流有助于教師發(fā)掘學生的認知現(xiàn)狀和思維誤區(qū)，從而完善學生的知識結構.

2.應用題教學要立足知識難點，增強學生的數(shù)學建模意識

應用題教學的目的不是教會學生會解哪些類型的應用題，而是讓學生經(jīng)歷審題、建模、解模、還原等過程，提高他們的閱讀理解能力、數(shù)學建模能力和數(shù)學求解能力.

建立數(shù)學模型，也就是“引入數(shù)學符號及語言，將系統(tǒng)要素及結構轉化為空間形式或數(shù)量關系，這是由具體到抽象的過程.”［2］在這個過程中，教師要引導學生身臨其境地進入應用題的情境里，“要善于想象客體的變化過程”，［3］在把握問題情境的基礎上，收集和整理相關的數(shù)據(jù)，分析題目中的數(shù)量關系，并將其翻譯為數(shù)學符號語言，從而建立起與原來實際問題“合拍”的數(shù)學模型.另外，在課堂內外，教師也要抓住生活中的契機，如易拉罐的最優(yōu)設計問題等，讓學生學會數(shù)學地提出問題，增強他們的數(shù)學建模意識.

3.應用題教學要立足綜合素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力

在應用題教學中，教師可以放手讓學生講述問題解決的經(jīng)歷，尤其是審題和建模環(huán)節(jié).高中數(shù)學課程的具體目標之一是提高“數(shù)學表達和交流的能力，發(fā)展獨立獲取數(shù)學知識的能力.”［4］應用題的信息量大，能夠把自己如何讀題、如何分析數(shù)據(jù)等過程有條理地表達出來，這本身就是學生優(yōu)秀素養(yǎng)的表現(xiàn)，而且這種互動交流“使整個課堂成為一個巨大的信息場，學生所獲得的信息量遠比單一的師生對話要多.”［5］

“這道題目要求的是……，所以我想到要先求出……”，“我只想到了這一步，下面解不下去了……”等，無論是成功地解答出來還是遭遇到一時的挫折，學生用這些原生態(tài)的語言表述了自己的思考和困惑.盡管學生的表述未必很科學，但從長遠來看，學生在數(shù)學表達的活動中提升了自己的數(shù)學素養(yǎng)，同時，素養(yǎng)的提升又進一步培養(yǎng)了自己的數(shù)學表達能力.

1.李俊.談高中數(shù)學應用題的有效教學［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2014（9）.

2.趙明連.在文本和模型之間——關于應用題建模教學和評價的若干問題研究初探［J］.數(shù)學通報，2009（4）.

3.裴光亞.高考數(shù)學應用題的研究［J］.中學數(shù)學，2000（3）.

4.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

5.李善良，葛軍.高中新課程問題與對策：數(shù)學［M］.上海：上海教育出版社，2012.F

*本文是江蘇省無錫市教育科學“十二五”立項課題“高中數(shù)學教師專業(yè)能力提升的有效策略研究”（課題編號C/D/2014/001）的階段研究成果．