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        關(guān)于萬(wàn)有引力問(wèn)題的兩個(gè)典型模型

        2015-05-22 15:17:02張煒
        中國(guó)校外教育(下旬) 2015年3期
        關(guān)鍵詞:萬(wàn)有引力

        張煒

        [摘要]:首先,以萬(wàn)有引力定律為載體提出了兩個(gè)典型的物理模型;其次,闡述了這兩個(gè)典型模型在高考中的應(yīng)用并滲透了高考的命題思想。這對(duì)新課標(biāo)形式下的物理教學(xué)有一定的意義。

        [關(guān)鍵詞]:萬(wàn)有引力 球體模型 行星模型

        一、球體模型:忽略地球自轉(zhuǎn)

        規(guī)律:萬(wàn)有引力產(chǎn)生重力。

        GMmR2=mg,∴M=gR2G

        推廣到球外一點(diǎn):GMm(R+h)2=mg′

        ∴g′=GM(R+h)2,h↑,g′↓

        推論:GM=gR2(黃金代換式)

        思路一:建立球體模型,萬(wàn)有引力產(chǎn)生重力。

        例1:(2013新課標(biāo))假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體.一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(A)

        A.1-dR B.1+dR C.(R-dR)2 D.(RR-d)2

        解:

        在地表,有:GMmR2=mg,M=ρ43πR3g∝R

        在礦井底部:GM′m(R-d)2=mg′,M′=ρ43π(R-d)3

        ∴g′g=R-dR=1-dR,答案為A。

        體會(huì):題目呈現(xiàn)模型,考查能力方法。知識(shí)模型顯在,思想方法曲引。比例法和球體模型的應(yīng)用。

        注:比例法的步驟:(1)寫(xiě)通式;(2)找不變量;(3)算比例。

        例2:假設(shè)地球是一半徑為R,質(zhì)量分布均勻的球體。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體引力為零,地球表面處引力加速度為g。則關(guān)于地球引力加速度a隨地球球心到某點(diǎn)距離r的變化圖像正確的是(B)

        解:當(dāng)點(diǎn)在球內(nèi)時(shí),由上題知g∝r。當(dāng)點(diǎn)在球外時(shí),g∝1r2。因此答案為B。

        體會(huì):比例法和球體模型的應(yīng)用。

        二、行星模型:將地球和衛(wèi)星看作質(zhì)點(diǎn)

        規(guī)律:萬(wàn)有引力提供向心力。

        GM中mr2=mr4π2T2,M中=4π2r3GT2

        已知r,T可測(cè)M。

        思路二:建立行星模型,萬(wàn)有引力提供向心力。

        推論一:gR2G=4π2r3GT2,∴r3=gR2T24π2(可測(cè)量行星的軌道半徑)

        推論二:GMmr2=ma=mv2r=mrω2=mωv=m4π2T2r

        已知r,T;v,T;ω,r;vω;v,T;r,v均可測(cè)質(zhì)量M。

        推論三:a=GMr,v=GMr,ω=GMr2,T=2πr3GM

        r↑,a↓,v↓,ω↓,T↑;高軌低速周期長(zhǎng),r↓,a↑,v↑,ω↑,T↓.低軌高速周期短。

        例3:(2008全國(guó)卷)地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由r3=a2b2c4π2求出,已知式中a的單位是m,b的單位是s,c的單位是m/s2,則(AB)

        A.a是地球半徑,b是地球自轉(zhuǎn)的周期,c是地球表面處的重力加速度

        B.a是地球半徑,b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期,c是同步衛(wèi)星的加速度

        C.a是赤道周長(zhǎng),b是地球自轉(zhuǎn)的周期,c是同步衛(wèi)星的加速度

        D.a是地球半徑,b是同步衛(wèi)星繞地心運(yùn)動(dòng)的周期,c是地球表面處的重力加速度。提示:由推論一可得AB正確。

        例4:已知引力常數(shù)為G,利用下列哪組數(shù)據(jù),可以計(jì)算地球的質(zhì)量(ABC)

        A.已知地球半徑和地表的重力加速度g

        B.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和線速度v

        C.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和周期T

        D.已知衛(wèi)星的質(zhì)量和衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r

        提示:由推論二可得ABC正確。

        例4:(2012廣東卷).如圖6所示,飛船從軌道1變軌至軌道2。若飛船在兩軌道上都做勻速圓周運(yùn)動(dòng),不考慮質(zhì)量變化,相對(duì)于在軌道1上,飛船在軌道2上的(CD)

        A.動(dòng)能大

        B.向心加速度大

        C.運(yùn)行周期長(zhǎng) D.角速度小

        提示:由推論三可得CD正確。

        體會(huì):模型給力快速攻破,二級(jí)結(jié)論直通高考。

        三、兩個(gè)模型的綜合應(yīng)用

        例5:(2000全國(guó)卷)2000年1月26日我國(guó)發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星,其定點(diǎn)位置與東經(jīng)98°的經(jīng)線在同一平面內(nèi).如圖所示,現(xiàn)把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似取為東經(jīng)98°和北緯40°,已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T、地球表面重力加速度g(視為常量)和光速c.試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號(hào)傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間.(要求用題給的已知量表示)

        解:將地球和衛(wèi)星看作質(zhì)點(diǎn)建模如圖:

        在地面:GMmR2=mg,

        對(duì)衛(wèi)星:GMmr2=m4π2T2r

        由幾何關(guān)系:L=r2+R2-2rRcosα,t=Lc

        解得t=(R2gT24π2)23+R2-2R(R2gT24π2)13cosαc。

        體會(huì):計(jì)算題主要注重獨(dú)立靈活的分析解決新情景下的物理問(wèn)題,著重考查對(duì)物理過(guò)程的分析,建立物理模型和應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的綜合能力。這里邊建立物理模型是非常重要的。因此,計(jì)算題包含著建模和數(shù)學(xué)同時(shí)還有過(guò)程的分析。

        四、總結(jié)

        高考命題的主要思想:?jiǎn)栴}呈現(xiàn),模型流淌,因?yàn)榛A(chǔ),便于壘高,由于經(jīng)典,便于遷移,源于事實(shí),富有活力,理想處理,實(shí)現(xiàn)本質(zhì)。

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