曹建峰

【摘 要】高中數(shù)學是一門邏輯性比較強的科目，傳統(tǒng)的解題模式不但會花費大量的時間，還會在計算的過程中產(chǎn)生失誤，所以在解決數(shù)學問題的過程中找到“捷徑”對于學生解題有很大的幫助。導數(shù)就是學生在解題上的“捷徑”，抓住這一知識點的解題技巧會讓許多看似復雜的題目變的簡單。本文就從函數(shù)、方程求根、不等式三個方面來分析導數(shù)在高中數(shù)學解題中的妙用，希望能對我國高中數(shù)學的發(fā)展提供一些幫助。

【關(guān)鍵詞】導數(shù)；高中數(shù)學；解題；妙用

1、導數(shù)知識在函數(shù)解題中的妙用

函數(shù)知識是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，其中包括極值、圖像、奇偶性、單調(diào)性等方面的分析，具有代表性的題型就是極值的計算和單調(diào)性的分析，按照普通的解題過程是通過圖像來分析，可是對于較難的函數(shù)來說，制作圖像不僅浪費時間，而且極容易出錯，而在函數(shù)解題中應用導數(shù)簡直就是手到擒來。

例如：函數(shù)f（x）=x3+3x2+9x+a，分析f（x）的單調(diào)性。這是高中數(shù)學中常見的三次函數(shù)，在對這道題目進行單調(diào)性分析時，很多學生根據(jù)思維定式會采用常規(guī)的手法畫圖去分析單調(diào)區(qū)間，但由于未知數(shù)a的存在而遇到困難。如果考慮用導數(shù)的相關(guān)知識解決這一問題，解：f（x）=-3x2+6x+9，令f（x）>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是說函數(shù)在（-∞，-1），（3，+∞）這個單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞減，這樣就能非常容易的判斷函數(shù)的單調(diào)性。

再如，將上面的題目加上第二問：已知a為3，求函數(shù)f（x）=x3+3x2+9x+a的極值。教師在引導學生分析這一問題時，應引導學生觀察，再次利用導數(shù)的概念，根據(jù)上一個問題中判斷出的單調(diào)性求出極值，這個過程中導函數(shù)正是解決這一問題的根本，也能在應用中讓原本復雜的問題變得簡單。

2、導數(shù)知識在方程求根解題中的妙用

導數(shù)知識在方程求根中的應用屬于一項重點內(nèi)容，在平時的數(shù)學練習中以及高考的考察中均曾以不同的難度形式出現(xiàn)過。導數(shù)知識能針對方程求根，根據(jù)導函數(shù)的求解能判斷原函數(shù)的根的個數(shù)。在解這一類問題的時候，教師要善于引導學生利用導函數(shù)與X軸的交點個數(shù)來判斷方程根的個數(shù)。

例如，某一證明問題：方程x-sinx=0，只有一個根x=0。在分析這一問題時實際上就是利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)和特殊值來確定f（x）=0。其證明過程需首先利用到導數(shù)知識，令f（x）=x-sinx，定義域為R，求導f（x）=1-cosx>0，再利用函數(shù)單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合思想，求得x=0是次方程的唯一根。此內(nèi)容的應用就是最為典型的導數(shù)知識在方程求根中的應用。

除了上面的應用內(nèi)容外，與之類似的還包括運用導數(shù)求方程根的個數(shù)，近似值等方面的求解問題。例如在這樣一道題中：函數(shù)f（x）=2x4-3x3+2x2-18，令f（x）=0，那么在區(qū)間[1，11]上這個方程有幾個根。此題與上一題類似，只是問題的提問方式出現(xiàn)了變化，其原理仍是遵循導數(shù)知識在方程求根應用中的基本思想。在分析這一方程求根問題時，首先需要明確這是一個高次方的函數(shù)求根問題，如果采用函數(shù)方法求根，不僅存在很高的計算難度，而且錯誤率也較高，對學生有很高的要求。但如果轉(zhuǎn)變思路，利用導數(shù)知識解決此類問題，就會發(fā)現(xiàn)原本復雜的方程求根問題就會變得簡單。解題過程如下：根據(jù)題意：f '（x）=4x3-12x2+20x，令f '（x）=0，那么可得4x（x2-3x+5）=0。通過驗算可知，x2-3x+5=0沒有實數(shù)解。所以，x=0，即f（x）的圖像上只有一個駐點，也就是x=0。且當x>0，求得f '（x）>0，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是一個遞增的函數(shù)，當然在區(qū)間[2，10]d：也是一個遞增函數(shù)，代入斷點可知f（2）=-3<0，f（10）>0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，10]有且僅有一個根。

3、導數(shù)知識在不等式問題中的應用

不等式知識是高中數(shù)學中的一個單獨模塊，具有著非常典型的內(nèi)容特征。在這一部分內(nèi)容的解題中，導數(shù)發(fā)揮了重要的作用。在當前數(shù)學問題趨向于綜合考察，趨向于知識之間相互融合的基礎上，不等式問題解答中應用導數(shù)知識是非常重要的。導數(shù)知識在不等式問題中應用最多的還是在不等式的證明問題上， 能從一個點來解答原本無從下手的問題，給學生的解題帶來更多的可能。

例如，在某一例題中就有已知x>1，求證：x>ln（1+x）。此類推理證明問題的核心思想可以概括為，想要證明f（x）>g（x），x∈（a，b），需要先將這個不等式轉(zhuǎn)化為F（x）=f（x）-g（x）>0，再利用導數(shù)的正負性來判定F（x）在（a，b）上的單調(diào)性，最終得出想要的證明結(jié)果。其實此類的不等式證明在實際問題中非常普遍， 只要掌握了導數(shù)知識在解決不等式問題中的基本思想，理清基本思路，解決這類問題輕而易舉。再比如很多學生在看到這樣的不等式問題時會顯得手足無措：函數(shù)f（x）=xinx，其中0

總結(jié)

綜上所述， 導數(shù)知識在高中數(shù)學解題中有很多方面的用途，不僅與函數(shù)問題、方程求根，不等式等多個知識方面存在著聯(lián)系，還能在具體的實際應用中讓解題過程事半功倍，豐富了學生的解題思路和解題手段。相信在高中數(shù)學解題中，導數(shù)還會有更多的妙用，更多復雜的數(shù)學問題利用導數(shù)之后都有簡單的辦法來求解，而這些簡便的求解方法正等待著我們?nèi)ラ_發(fā)探索。

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（作者單位：南通市天星湖中學）