☉江蘇省無錫市青山高級(jí)中學(xué) 顧慧

☉江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心王華民

·江蘇省無錫市王華民名師工作室·

借數(shù)學(xué)史之力，解概念難點(diǎn)之疑*
——一堂基于數(shù)學(xué)史的“復(fù)數(shù)”概念的教學(xué)嘗試與感悟

☉江蘇省無錫市青山高級(jí)中學(xué) 顧慧

☉江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研中心王華民

一、問題的提出

眾所周知，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，必須十分重視.有的概念比較抽象、深?yuàn)W，學(xué)生難以理解.而教師的一個(gè)重要作用就是幫助學(xué)生釋疑解惑［1］.高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展的趨勢(shì)……”.今天教材中的數(shù)學(xué)概念并非憑空而來，大都有著各自產(chǎn)生的背景和發(fā)展演變的過程，其間凝聚著無數(shù)數(shù)學(xué)家的心血和智慧.目前國(guó)內(nèi)外對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的研究成果不少，但由于種種原因，能應(yīng)用于日常教學(xué)的實(shí)效性案例不是很多.在復(fù)數(shù)的概念教學(xué)中，通常是告訴學(xué)生為了使得方程x2+1=0有解，我們引入新數(shù)i，并規(guī)定i2= -1.下課后，有幾位學(xué)生向教師提出一些疑問：（1）x2+1=0有沒有解，很重要嗎？（2）既然規(guī)定負(fù)數(shù)能開平方，那我是否也可以定義負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)，這樣的定義有意義嗎？（3）老師能否幫我舉一些復(fù)數(shù)之外還有數(shù)的實(shí)例？筆者通過查閱大量資料，了解了復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的歷史背景，對(duì)復(fù)數(shù)概念的教學(xué)有了較為深刻的認(rèn)識(shí)，并嘗試從“數(shù)學(xué)史”視角展開“復(fù)數(shù)”概念教學(xué).

二、復(fù)數(shù)的起源

復(fù)數(shù)的歷史可以追溯到大約公元75年，古希臘數(shù)學(xué)家Heron用正四棱臺(tái)上底、下底和斜棱長(zhǎng)來計(jì)算此棱臺(tái)高的問題.如果計(jì)算正確，.不知是Heron算錯(cuò)了還是后來謄寫員抄錯(cuò)了，記錄下來的是.小小失誤讓Heron與虛數(shù)失之交臂.類似情形在兩個(gè)多世紀(jì)后的古希臘數(shù)學(xué)家Diophantus身上同樣發(fā)生了.六百多年以后，印度數(shù)學(xué)家Mahaviracarya才首次明確地指出一個(gè)數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)）的平方是正數(shù)；正數(shù)的平方根有兩個(gè)，而負(fù)數(shù)沒有平方根.

真正開始發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)要?dú)w功于意大利數(shù)學(xué)家Cardan.他所著的《大術(shù)》一書主要探討一元二次方程與一元三次方程的求根問題.在求解其中一個(gè)問題“把10分成兩部分，使得它們的乘積為40”時(shí)，Cardan把這樣的量稱為詭辯量.他認(rèn)為這樣的運(yùn)算微妙卻沒有實(shí)用價(jià)值.對(duì)于一元三次方程x3=ax+b的求解，Cardan給出的求根公式.在研究一元三次方程x3=15x+4時(shí)，Cardan代入公式得到由于出現(xiàn)了Cardan認(rèn)為此時(shí)他的公式不再適用于此類方程求根問題，并把即被開方數(shù)為負(fù)數(shù)的情形稱為不可約方程.我們可以否認(rèn)一元二次方程根的存在性（如x2+1=0），一元三次方程x3=15x+4的根的存在卻不容否認(rèn)（見后問題1）.與Cardan同時(shí)期的意大利數(shù)學(xué)家Bombelli發(fā)現(xiàn)=4.Bombelli給這看似荒謬、毫無意義的復(fù)雜表達(dá)式賦予了實(shí)數(shù)的含義［2］.這標(biāo)志著復(fù)數(shù)的誕生.

Leibniz在閱讀了Bombelli的研究工作后，他與Huygens的通信中也提到了類似的等式為了解釋其合理性，Leibniz類比考慮了如下問題［3］：x2+y2=b，xy=c，經(jīng)計(jì)算，他發(fā)現(xiàn)x+y=（考慮x＞0，y＞0，b＞0， c＞0）.顯然，x+y∈R，而x、y本身卻不一定是實(shí)數(shù)在Bombelli的研究發(fā)表二十年后，Viete又從三角函數(shù)的角度給出了Cardan不可約方程的求根公式.由此我們發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)是源于數(shù)學(xué)家對(duì)一元三次方程的求根問題的探究，而非傳統(tǒng)教材中給出的從“使得一元二次方程x2+1=0有解”的角度來引入.

三、復(fù)數(shù)的發(fā)展與完善

Bombelli的研究工作雖給復(fù)數(shù)拉開了序幕，但復(fù)數(shù)依然籠罩著神秘色彩.與此同時(shí)，復(fù)數(shù)卻已被廣泛使用并出現(xiàn)了大量理論方面的探討.1620年，AlbeRt Girard指出n次方程有n個(gè)根.Rene Descartes因一時(shí)無法給出的幾何意義，為新數(shù)創(chuàng)造了“虛數(shù)”這個(gè)詞（Descartes于1637年創(chuàng)造了實(shí)部和虛部這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)）.18世紀(jì)，Leibniz和John Bernoulli把虛數(shù)用于計(jì)算積分.這一應(yīng)用引發(fā)了數(shù)學(xué)家們對(duì)負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)的探討［3］.復(fù)數(shù)還被廣泛用于地圖投影、流體動(dòng)力學(xué)等.借助復(fù)數(shù)，Euler構(gòu)建了指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，即：eix=cosx+isinx（1748年Euler引入i來表示）.Wessel給出的復(fù)數(shù)的幾何背景才使得數(shù)學(xué)家更直觀地感受的存在性.借鑒Wessel的研究思路，可給出推導(dǎo)（見后問題5）.Gauss復(fù)數(shù)幾何表示法則進(jìn)一步揭開了一度籠罩在上的神秘面紗.1833年，Hamilton用有序?qū)崝?shù)對(duì)給出了嚴(yán)格的復(fù)數(shù)代數(shù)定義.1847年，Cauchy又用同余等價(jià)觀給出了復(fù)數(shù)的嚴(yán)格抽象定義.19世紀(jì)末，復(fù)數(shù)才被數(shù)學(xué)家廣為接受認(rèn)可.現(xiàn)在我們對(duì)復(fù)數(shù)的理解有：①平面內(nèi)的點(diǎn)或向量；②有序?qū)崝?shù)對(duì)；③運(yùn)算（如平面內(nèi)向量的旋轉(zhuǎn)）；④形如a+bi的數(shù)（其中a、b∈R）；⑤與x2+1同余的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式；⑥形如的矩陣（其中a、b∈R）；⑦代數(shù)上封閉的完全域.曾一度被認(rèn)為“虛構(gòu)的”的復(fù)數(shù)不僅證實(shí)了其存在的可能性，還展示出其不可或缺的特性.現(xiàn)在復(fù)數(shù)已被廣泛用于代數(shù)、分析、幾何和數(shù)論等數(shù)學(xué)分支.此外，復(fù)數(shù)還被廣泛用于量子力學(xué)和電路分析等.（復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用可參見文4-9）

四、教學(xué)嘗試

綜上可知，歷經(jīng)一千八百年的探索發(fā)展，“復(fù)數(shù)”才普遍被人們接受.期間數(shù)學(xué)前輩的坎坷探索，主要是緣于原有實(shí)數(shù)系的思維定勢(shì)，制約人們思考的深入.如果在課堂上把這些都拋給學(xué)生，時(shí)間緊促，而且又將產(chǎn)生一些新知，對(duì)學(xué)生的理解構(gòu)成新的障礙.但數(shù)學(xué)前輩這種打破“實(shí)數(shù)集”壁壘的創(chuàng)新思路和堅(jiān)韌不拔的探索精神值得我們青年學(xué)生好好學(xué)習(xí)，需要好好傳承.由此，筆者借鑒復(fù)數(shù)概念的形成、發(fā)展史，以問題驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生探索復(fù)數(shù)的概念，嘗試如下.

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1：探究一元三次方程x3=15x+4的根.

啟發(fā)：對(duì)于三次方程的根，我們可以通過試一試，先找到一個(gè)根.

生1：我發(fā)現(xiàn)x=4是方程的根，通過因式分解，得（x-4）（x2-4x+1）=0，即（x-4）（x-2-）=0.由此得三次方程的三個(gè)根分別為

問題2：16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家Cardan對(duì)于形如x3=ax+b的一元三次方程，給出如下求根公式：x=，請(qǐng)你利用此公式來探究一元三次方程x3=15x+4的根，你發(fā)現(xiàn)什么？

問題3：Leibniz也曾和剛才那位同學(xué)一樣產(chǎn)生過同樣的疑問，他考慮了如下問題：設(shè)0，y＞0），請(qǐng)同學(xué)們分別計(jì)算x+y、x、y的值，討論有何新的發(fā)現(xiàn).

生3：（x+y）2=x2+2xy+y2=4+10.又x+y＞0，則x+y=構(gòu)造方程，使得該方程的兩解分別為x、y，由判別式，知方程無解，故x、y不存在.我算出x+y是一個(gè)確定的數(shù)，可x、y為什么不存在？

教師提醒學(xué)生：要帶著創(chuàng)新、質(zhì)疑的眼光思考問題.

2.類比探究，建構(gòu)概念

問題5：請(qǐng)同學(xué)們回憶負(fù)數(shù)的引入，思考如何引入新數(shù).

生5：比零小的數(shù)為負(fù)數(shù)，可以表示相反意義的量.引入負(fù)數(shù)后，形如x+1=0的方程有解.-1可以理解為繞坐標(biāo)系原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°.類似地，定義后，形如x2+1=0的方程有解.表示y軸正方向的單位有向線段，可理解為繞坐標(biāo)系原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.

師：借鑒Wessel的研究工作（有向線段乘法的定義），我們一同嘗試給出的幾何意義的推導(dǎo)：設(shè)某一有向線段表示，且該有向線段長(zhǎng)為l，方向角為θ，即=l∠θ，等式兩邊平方后可得-1=l2∠2θ.又-1= 1∠180°，所以l2∠2θ=1∠180°.由此得l2=1，2θ=180°，所以l=1，θ=90°.即i==1∠90°.這表示√-1的幾何意義是長(zhǎng)度為1、方向角為90°的有向線段.

我們把形如a+bi，a、b∈R的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，用字母z表示.其中a、b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.全體復(fù)數(shù)的集合稱為復(fù)數(shù)集，記作C.當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，z表示實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，z叫做虛數(shù).特別地，當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，z叫做純虛數(shù).請(qǐng)同學(xué)們用集合語(yǔ)言來描述實(shí)數(shù)集R與復(fù)數(shù)集C的關(guān)系.

生6：實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集；實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集的并集是復(fù)數(shù)集.

問題7：我們把建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)表示什么數(shù)？復(fù)數(shù)z=a+bi，a、b∈R的幾何意義是什么？

生7：虛軸上的點(diǎn)表示純虛數(shù)（a≠0）和零（a=0）.復(fù)數(shù)z=a+bi，a、b∈R可用平面內(nèi)的點(diǎn)P（a，b）和向量O →Z來表示.（其中O（0，0）、Z（a，b））

3.學(xué)以致用，深化理解

問題8：從前，有個(gè)富于冒險(xiǎn)精神的年輕人，在他的曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)了一張羊皮紙，上面指出了一個(gè)寶藏.它是這樣寫著的：“乘船至北緯、西經(jīng)，即可找到一座荒島.島的北岸有一大片草地.草地上有一株橡樹和一株松樹，還有一座絞架，那是過去用來吊死叛變者的.從絞架走到橡樹，并記住走了多少步；到了橡樹向右拐個(gè)直角再走這么多步，在這里打個(gè)樁；然后回到絞架那里，朝松樹走去，同時(shí)記住所走的步數(shù)；到了松樹向左拐個(gè)直角再走這么多步，在這里也釘個(gè)樁.在兩個(gè)樁的正當(dāng)中挖掘，就可找到寶藏.于是這位年輕人就租了一條船開往目的地.他找到這座島，也找到了橡樹和松樹，但使他大失所望的是絞架不見了.經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的風(fēng)吹日曬雨淋，絞架已糟爛成土，一點(diǎn)痕跡也看不出.這位年輕的冒險(xiǎn)家陷入了絕望.在狂亂中，他在地上亂挖掘起來.但地方太大了，一切只是白費(fèi)力氣.他只好兩手空空、啟程回程.如果他懂得點(diǎn)兒數(shù)學(xué)，特別是虛數(shù)，他本來是有可能找到寶藏的.運(yùn)用虛數(shù)的知識(shí)，請(qǐng)你思考如何幫助探險(xiǎn)家發(fā)現(xiàn)寶藏.（友情提醒：先建立平面直角坐標(biāo)系，考慮對(duì)稱性）

生8說、生9補(bǔ)充，如下：以兩樹所在直線為x軸，兩樹連線的中點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，建立復(fù)平面.不妨設(shè)橡樹所在位置為A（1，0），則松樹所在位置為B（-1，0），又設(shè)絞架所在位置為P（a，b），則設(shè)先后釘下的兩個(gè)樁的位置依次為S、T.故所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-i（a-1+bi），即b-（a-1）i，所以S（b+1，1-a）.類似地，可以推出T（-b-1，a+1）.所以ST的中點(diǎn)即寶藏位置為（0，1）.該探險(xiǎn)家只需從橡樹出發(fā)，走到橡樹與松樹的中點(diǎn)位置，記下走過的步數(shù)，向右拐個(gè)直角再走這么多步，即可找到寶藏.（課堂上學(xué)生興致很高.）

五、教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)前輩探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的曲折與艱辛能展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的人文色彩，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供正能量.讓學(xué)生意識(shí)到困惑、挫折與失敗是探索求真的必經(jīng)之路，從而使其建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.對(duì)教師而言，借鑒數(shù)學(xué)史能更好地預(yù)測(cè)和解釋學(xué)生可能遇到的學(xué)習(xí)困難，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)、選擇教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，改變傳統(tǒng)教學(xué)模式下學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)概念是一成不變的這個(gè)觀點(diǎn).讓學(xué)生在歷史問題情境中探索，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維及數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.采用一元三次方程引入復(fù)數(shù)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的求真與自然

中國(guó)傳統(tǒng)教材以簡(jiǎn)潔明了的方式即使得一元二次方程x2+1=0有解的角度來引入虛數(shù)單位i.復(fù)數(shù)概念教學(xué)中教師常常會(huì)以解方程為線索，比如以解系列方程5x= 3、x+1=0、x2=2的過程讓學(xué)生來感受數(shù)系一次次擴(kuò)充的必要性［10］，而這必然會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生與Cardan類似的疑問與困惑：負(fù)數(shù)開平方有意義嗎？英國(guó)教材對(duì)復(fù)數(shù)概念的引入方式是給出了Cardan求方程組的情形［11］.然而數(shù)學(xué)史上，Cardan并未因此而引入虛數(shù)單位，而是認(rèn)為5這兩個(gè)數(shù)是“虛幻之?dāng)?shù)”.我國(guó)教材有違數(shù)學(xué)事實(shí)的引入將不利于學(xué)生的認(rèn)知.英國(guó)教材借鑒了數(shù)學(xué)史，卻沒有凸顯復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生真正的背景——數(shù)學(xué)家對(duì)一元三次方程x3=15x+4根的探求.

筆者讓學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)自主探索一元三次方程x3=15x+4的根，同時(shí)呈現(xiàn)Cardan、Bombelli與Leibniz等數(shù)學(xué)家的研究發(fā)現(xiàn).這樣一是還原歷史本來面貌，追尋數(shù)學(xué)家探索的足跡，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的“求真”；二是讓學(xué)生自然邂逅矛盾，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，并意識(shí)到“負(fù)數(shù)開平方運(yùn)算”的必要性，可使虛數(shù)單位i的引入更順理成章，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的自然性.

2.介紹復(fù)數(shù)的幾何意義，有助于學(xué)生感受復(fù)數(shù)的存在

Bombelli的發(fā)現(xiàn)給原本毫無意義的表達(dá)式賦予了含義，但并未消除數(shù)學(xué)家對(duì)復(fù)數(shù)的困惑與不安．?dāng)?shù)學(xué)家希望找到復(fù)數(shù)的幾何背景或物理意義來更直觀地理解復(fù)數(shù)概念．歷史上Wallis、Wessel、Argand和Gauss等人對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的研究才最終驅(qū)散了曾一度籠罩在復(fù)數(shù)身上的神秘色彩.

對(duì)復(fù)數(shù)的幾何意義的處理，傳統(tǒng)教學(xué)往往局限于教材與教參，教師會(huì)直接給出Gauss復(fù)平面、實(shí)軸和虛軸等概念，引導(dǎo)學(xué)生類比實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示來猜想復(fù)數(shù)a+bi可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）來表示［12］.這一做法看似清晰，卻忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：由一維數(shù)軸到二維復(fù)平面的拓展正是學(xué)生理解的困難所在.現(xiàn)行教材刪除了復(fù)數(shù)乘法的幾何意義、復(fù)數(shù)三角表示法等內(nèi)容，表面上看似乎減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，實(shí)則弱化了i可表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的運(yùn)算這一直觀形象含義，反而增加了學(xué)生記憶的負(fù)荷［13］.學(xué)生會(huì)把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與幾何意義視為兩塊不同的內(nèi)容來處理.縱觀復(fù)數(shù)概念發(fā)展史，復(fù)數(shù)概念被認(rèn)可和接受是因?yàn)閿?shù)學(xué)家找到了虛數(shù)單位i的幾何背景.教學(xué)中教師應(yīng)讓學(xué)生探索虛數(shù)單位i的幾何含義，感受引入的新數(shù)并非數(shù)學(xué)家所假想的“虛幻之?dāng)?shù)”，而是真真切切存在的.

實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集擴(kuò)充的過程中，受初中“負(fù)數(shù)沒有平方根”的影響，“負(fù)數(shù)可以進(jìn)行開平方運(yùn)算”是復(fù)數(shù)概念教學(xué)中學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn).為了突破這一難點(diǎn)，教師不妨類比學(xué)生已有的負(fù)數(shù)概念（負(fù)數(shù)表示相反意義的量）來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“-1可表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°”，由此進(jìn)一步思考虛數(shù)單位i的幾何含義.直觀形象的幾何背景能讓學(xué)生感受其真實(shí)和存在，促進(jìn)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解.

4.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)運(yùn)用案例及課外研討，有益于學(xué)生深化理解復(fù)數(shù)的概念

概念轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)理論指出學(xué)習(xí)者的概念轉(zhuǎn)變需要滿足如下四個(gè)條件［14］：①對(duì)原有的概念產(chǎn)生不滿；②有一個(gè)新的可以理解的概念；③新概念要合情合理，即該概念要與已有知識(shí)相兼容，不會(huì)產(chǎn)生矛盾；④新的概念可以解決新的問題，可以拓展延伸，為探索提供更廣闊的空間.教學(xué)中運(yùn)用George Gamow給出的探險(xiǎn)家探尋寶藏的問題［15］能拉近學(xué)生與虛數(shù)單位i的距離，讓學(xué)生感受“新數(shù)”的應(yīng)用就在生活中，從而激發(fā)他們“火熱的思考”.借助學(xué)生可操作的外在探究活動(dòng)凸顯虛數(shù)單位i的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，有益于他們深化理解復(fù)數(shù)的概念.

前文提及那位學(xué)生提出“負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)”其實(shí)也存在，而高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)不作要求，教材中也沒有提供相關(guān)素材，教師可以推薦歷史素材，引導(dǎo)學(xué)生課后自主閱讀，撰寫學(xué)習(xí)心得，讓學(xué)有余力的學(xué)生突破課內(nèi)教學(xué)局限，拓寬數(shù)學(xué)視野.以復(fù)數(shù)概念為例，研究專題有：（a）負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)；（b）數(shù)系的發(fā)展；（c）超越數(shù)（四元數(shù)）；（d）復(fù)數(shù)的有趣應(yīng)用等．將課堂概念教學(xué)的意猶未盡延伸到課后興趣盎然的自主探索專題研討，不僅有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還將課堂延伸到課外．

5.借鑒數(shù)學(xué)史的復(fù)數(shù)概念教學(xué)，有益于學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)新思維

教師的教學(xué)風(fēng)格潛移默化地影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.不少學(xué)生覺得數(shù)學(xué)概念是“冰冷的美麗”.借鑒復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展與完善的過程，教師突破課標(biāo)與教材的框架，以“問題串”的形式，喚醒學(xué)生解決問題的欲望，激活其內(nèi)在的數(shù)學(xué)思維力，這正是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)所在.教學(xué)方式的求異旨在讓學(xué)生親歷自主探索的思辨過程（質(zhì)疑、類比、逆向思考等），自然生成了復(fù)數(shù)概念，這也是一種知識(shí)的“再創(chuàng)造”，有益于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)充分給予學(xué)生自主思維的空間與時(shí)間，讓學(xué)生的思辨能力在自主探索、合作交流的碰撞中擦出智慧的火花.使其傾聽同伴思維之聲的同時(shí)，敢于質(zhì)疑，善于提問，勇于展示自我的思維過程.豐富的數(shù)學(xué)史素材為學(xué)生拓寬思路提供了強(qiáng)有力的支撐.

高中數(shù)學(xué)課堂概念教學(xué)如果能以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)為教學(xué)起點(diǎn)，那么更能引起學(xué)生的共鳴.將形式化的數(shù)學(xué)概念定義單方向的輸入還原為概念產(chǎn)生問題情境的探索，意在讓學(xué)生在民主、自由的教學(xué)氛圍中親歷概念的產(chǎn)生與發(fā)展過程，以激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)大師敢于質(zhì)疑、善于提問的科學(xué)精神，讓學(xué)生零距離接觸數(shù)學(xué)大師的創(chuàng)作靈感與發(fā)現(xiàn)，感悟蘊(yùn)含其中的思想和方法，這也是培養(yǎng)學(xué)生情感態(tài)度價(jià)值觀的目標(biāo)所在.

1.吳紅宇，王華民.一堂基于數(shù)學(xué)史的弧度制設(shè)計(jì)及感悟［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2014（11）.

2.Nahin P J.An imaginary tale：The story of［M］.Princeton University，1998.

3.McClenon R B.A contribution of Leibniz to the history of complex numbers［J］.American Mathematical Monthly，1923.

4.Kleiner I.Thinking the Unthinkable：The Story of Complex Numbers（with a Moral）［J］.Mathematics Teacher，1988，81（7）.

5.Jones P S.Complex numbers：an example of recurring themes in the development of mathematics—III［J］.The Mathematics Teacher，1954.

6.Hallerberg A.Historical topics for the mathematics classroom［M］.Washington：NCTM，1969.

7.高夯.現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

8.林甲富.Pascal定理的復(fù)數(shù)證明［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（5）.

9.孟燕平.抓住特征靈活轉(zhuǎn)換——復(fù)數(shù)知識(shí)的巧妙應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2003（11）.

10.孫福明.基于教學(xué)案例的數(shù)學(xué)概念課的建構(gòu)——從“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”一節(jié)課談起［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，49（6）.

11.王奮平.中英高中數(shù)學(xué)教材復(fù)數(shù)內(nèi)容比較研究——以英國(guó)AQA數(shù)學(xué)課本和人教版A版數(shù)學(xué)課本為例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（3）.

12.芮玉貴.復(fù)數(shù)的幾何意義的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2010（9）.

13.曹建華.探究復(fù)數(shù)概念容易忘記的原因［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（1-2）.

14.Posner G J，Strike K A，Hewson P W，etal. Accommodation of a scientific conception：Toward a theory of conceptual change［J］.Science education，1982，66（2）.

15.G.伽莫夫.從一到無窮大（中譯本）［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.A

*本文系江蘇省中小學(xué)教研室第九期立項(xiàng)課題：《基于數(shù)學(xué)史的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究》（編號(hào)：JK9-L028）的研究成果.