☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 王圣光

把握知識(shí)關(guān)聯(lián)問題求解自然
——函數(shù)視角下數(shù)列問題的合理解答

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 王圣光

函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)中幾大重要數(shù)學(xué)思想之一，其貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)始終，數(shù)列問題也不例外，數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集｛1，2，3，…，n｝上的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，所得的函數(shù)值就構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.函數(shù)所具有的性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等在某些數(shù)列中同樣具有，如數(shù)列的通項(xiàng)公式an=f（n）（n∈N*），實(shí)質(zhì)上就是函數(shù)的解析表達(dá)式，等差數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)；非常數(shù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和實(shí)際上是定義在正整數(shù)集上的二次函數(shù)，因此，可借助二次函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，解決其前n項(xiàng)和及其最值問題；非常數(shù)等比數(shù)列首項(xiàng)和公比均大于零時(shí)，可看成是定義在正整數(shù)集上的指數(shù)函數(shù)等.本文以2014年高考中的一道數(shù)列問題為例，就函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用展開探究.

題目（2014年高考重慶理科卷）設(shè)a1=1，an+1=

（1）若b=1，求a2，a3及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

（2）若b=-1，問：是否存在實(shí)數(shù)c，使得a2n＜c＜a2n+1對(duì)所有n∈N*成立？證明你的結(jié)論.

由題設(shè)條件知（an+1-1）2=（an-1）2+1.

從而｛（an-1）2｝是首項(xiàng)為0、公差為1的等差數(shù)列，故

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題a2n＜c＜a2n+1＜1.

假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1.

易知f（x）在（-∞，1］上為減函數(shù)，從而c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，即1＞c＞a2k+2＞a2.

由f（x）在（-∞，1］上為減函數(shù)，得c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，故c＜a2k+3＜1，因此a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即當(dāng)n=k+ 1時(shí)結(jié)論成立.

評(píng)析：本題解答中根據(jù)數(shù)列的特殊結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出特殊的函數(shù)，進(jìn)而將問題順利解答.函數(shù)的觀點(diǎn)，賦予了數(shù)列新的生命與活力，拓寬了數(shù)列的研究空間和生長(zhǎng)點(diǎn)，因此，解答具體數(shù)列問題時(shí)，如果能夠站在函數(shù)的角度，高屋建瓴，充分利用函數(shù)的觀點(diǎn)來求解，則別有天地.

變化一、用函數(shù)的周期性，詮釋數(shù)列的遞變規(guī)律

例1已知數(shù)列｛an｝滿足則a20=（）.

解析：由a1=0，據(jù)遞推關(guān)系得…，呈規(guī)律性出現(xiàn).

又20=3×6+2，所以a20=-√3.答案為B.

評(píng)析：本題通過對(duì)數(shù)列各項(xiàng)規(guī)律的探求，使得所隱含的周期性關(guān)系由“幕后”走到“前臺(tái)”，這樣在大大簡(jiǎn)化解題過程的同時(shí)，也可以使學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)的性質(zhì)，可謂“一石二鳥”，對(duì)提升學(xué)生解決綜合問題的思維能力大有裨益.

變化二、利用函數(shù)的單調(diào)性，靈活處理數(shù)列最值

例2（2013年高考新課標(biāo)Ⅱ理科）等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．

評(píng)析：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及通過轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)，通過尋找單調(diào)數(shù)列的條件，將問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為函數(shù)最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值.

變化三、以二次函數(shù)為背景，展現(xiàn)數(shù)列的對(duì)稱性

例3Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，a1＜0，S9=S12，當(dāng)Sn最小時(shí)，n的值為_________.

因?yàn)閍1＜0，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)Sn最小.

又n∈N，故n=10或11時(shí)Sn取得最小值.

解法2：因?yàn)镾9=S12，所以Sn的圖像所在拋物線的對(duì)稱軸為直線

又n∈N*，a1＜0，所以｛an｝的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)和最小.

評(píng)析：由于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是特殊的二次函數(shù)，具有對(duì)稱性，可以利用其解題.以上兩種方法都是運(yùn)用了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得到正確答案.

變化四、以函數(shù)知識(shí)為背景，提示數(shù)列本質(zhì)

例4（2014年高考四川）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d，點(diǎn)（an，bn）在函數(shù)f（x）＝2x的圖像上（n∈N*）．

（1）若a1＝-2，點(diǎn)（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖像上，求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn；

（2）若a1＝1，函數(shù)f（x）的圖像在點(diǎn)（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為

（2）函數(shù)f（x）＝2x在點(diǎn)（a2，b2）處的切線方程為y-2a2＝（2a2ln2）（x-a2），其在x軸上的截距為

所以d＝a2-a1＝1.

從而an＝n，bn＝2n.

評(píng)析：在近幾年的高考題目中，以函數(shù)為背景的數(shù)列問題屢見不鮮，這種題目難度較大，故一直承擔(dān)著把關(guān)題的重任，解題中不應(yīng)受知識(shí)本身的局限，要善于將所學(xué)知識(shí)橫向關(guān)聯(lián)，從數(shù)學(xué)的思想與方法中去尋求通性、通法，抓住問題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移，在思維碰撞中尋求解題思路，即可將問題準(zhǔn)確解答.A