☉浙江省麗水學(xué)院附中 應(yīng)嬌捷 陳偉華

“聊摘”質(zhì)疑

☉浙江省麗水學(xué)院附中 應(yīng)嬌捷 陳偉華

浙江省教育廳試行校本教材開(kāi)發(fā)，麗水學(xué)院附中教師積極參與研發(fā)，開(kāi)發(fā)出13門(mén)課程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)選修課興趣濃厚.為此，學(xué)校的校長(zhǎng)與骨干教師反復(fù)推敲、研磨，確定數(shù)學(xué)拓展類(lèi)選修課嘗試，以學(xué)生的問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)，聯(lián)系數(shù)學(xué)文化，直觀觸動(dòng)學(xué)生的敏感思維，在有趣活動(dòng)中突破難點(diǎn).下面是一次選修課的內(nèi)容，與大家切磋，希望得到更多的指導(dǎo).

一、基于學(xué)生問(wèn)題選內(nèi)容

基于學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)及最大需求，顧及學(xué)生的認(rèn)識(shí)需要，揉進(jìn)數(shù)學(xué)史.本次選課的內(nèi)容源于學(xué)生的問(wèn)題：在執(zhí)教“極限”知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，針對(duì)學(xué)生的疑慮組編“聊摘”質(zhì)疑.

二、聊摘設(shè)疑

聊1：春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，在《莊子·天下篇》里記載著惠施關(guān)于數(shù)學(xué)的一些論說(shuō)，如：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭.”

學(xué)生：老師，看得我云里霧里，更想明白其中的奧秘.

教師：我們從聊天室回到教室細(xì)聊.

三、聊活抽象概念

聊2：這則論說(shuō)讓你感覺(jué)很暈？因?yàn)檫@是極限的思想，我們用數(shù)來(lái)解釋?zhuān)涸O(shè)棰長(zhǎng)為2，能用圖形表示取出的長(zhǎng)度嗎？

圖1

學(xué)生體驗(yàn)活動(dòng)1：如圖1，對(duì)取出的長(zhǎng)為1的線段二等分，取一份；對(duì)取出的長(zhǎng)為的線段二等分，取一份；對(duì)取出的長(zhǎng)為的線段二等分，取一份；如此類(lèi)推，寫(xiě)出取出的線段的長(zhǎng)度.

學(xué)生體驗(yàn)活動(dòng)2：當(dāng)n增大時(shí)，an接近于0；當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，an很接近很接近于0；當(dāng)n很大很大很大時(shí)，an很接近很接近很接近于0；…；當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限接近于0.記為：當(dāng)n→+∞時(shí)，an→0.

圖2

聊4：如圖2，對(duì)取出的長(zhǎng)為1的線段三等分，取一份；對(duì)取出的長(zhǎng)為的線段三等分，取一份；對(duì)取出的長(zhǎng)為的線段三等分，取一份；如此類(lèi)推，被取出的線段請(qǐng)用數(shù)列表示，并表達(dá)出變化的趨勢(shì).

學(xué)生體驗(yàn)活動(dòng)3：對(duì)應(yīng)數(shù)列｛an｝為：….當(dāng)n增大時(shí)，an接近于0；當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，an很接近很接近于0；當(dāng)n很大很大很大時(shí)，an很接近很接近很接近于0；…；當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限接近于0.

歸納數(shù)列極限的通俗定義：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，如果數(shù)列｛an｝的一般項(xiàng)an無(wú)限接近于常數(shù)a，則常數(shù)a稱(chēng)為數(shù)列｛an｝的極限，或稱(chēng)數(shù)列｛an｝收斂于a，記

聊5：如何用不等式來(lái)反映這兩個(gè)無(wú)窮變化過(guò)程？

學(xué)生體驗(yàn)活動(dòng)4：用“n≥N，N為正整數(shù)”表示n無(wú)限增大，用“|an－a|＜ε，ε為正小數(shù)”表示無(wú)限接近.

學(xué)生體驗(yàn)活動(dòng)5：無(wú)限趨近數(shù)量化得到數(shù)列極限的精確定義：設(shè)｛an｝為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，不等式|ana|＜ε都成立，則稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列｛an｝的極限，或者稱(chēng)數(shù)列｛an｝收斂于a，記為：

聊6：你能舉出存在極限的數(shù)列嗎？

四、聊出思想方法的魅力

聊7：你能明白“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”了嗎？

學(xué)生體驗(yàn)活動(dòng)7（閱讀）：他用了逐漸逼近的思想方法.這種方法可以用直代曲，歷史上解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，如求圓的面積S.如圖3，劉徽考察圓內(nèi)接多邊形.他先從六邊形做起，然后將六等份的每個(gè)弧段再對(duì)半分，結(jié)果生成圓的內(nèi)接正12邊形，直觀上可以明顯看出12邊形更接近于圓周.重復(fù)弧段逐步對(duì)分的過(guò)程，即每分割一次內(nèi)接多邊形的邊數(shù)增加一倍，如此下去，設(shè)內(nèi)接正n邊形的面積為Sn，圓的面積為S*，則：S1表示圓內(nèi)接正6邊形的面積，S2表示圓內(nèi)接正12邊形的面積，S3表示圓內(nèi)接正24邊形的面積，…，Sn表示圓內(nèi)接正6×2n－1邊形的面積，顯然n越大，Sn越接近于S*.

圖3

由此可見(jiàn)，在劉徽的心目中，割圓是個(gè)割之又割的無(wú)限過(guò)程，是通向無(wú)窮之路.單從“割”來(lái)看還不足以顯示古代中國(guó)數(shù)學(xué)泰斗劉徽的大智慧，劉徽的真正亮點(diǎn)是圓面積公式的推導(dǎo)方法及圓周率的計(jì)算，我們將看到劉徽的光輝思想與晚他1000多年才提出的極限論是如此驚人的符合.在圖3中，劉徽定義線段GC為余徑，△ACB為余徑三角形，四邊形ADEB為余徑長(zhǎng)方形，（S2n－Sn）為差冪，容易證明SADEB=2SACB，設(shè)|GC|=rn，|AB|=ln（|AB|為正n邊形的邊長(zhǎng)，|AC|為正2n邊形的邊長(zhǎng)），因此有：S2n=即2n邊形的面積可由n邊形的面積加余徑三角形的面積加以修正，于是S12=S6+累加便得圓的面積另一方面，如果將圖3中的四邊形ACBO的面積加上余徑三角形ACB的面積，即得多邊形ADEBO的面積，這個(gè)面積超出扇形AOB的面積，因此有：S2n+兩端都是極易計(jì)算的，而夾在它們之間的S*則是未知逼近公式，據(jù)此可以利用偏差來(lái)估計(jì)誤差|S2n－S*|＜|S2n－Sn|，這樣對(duì)于任意精度ε＞0，只要檢查計(jì)算數(shù)據(jù)S2n，一旦發(fā)現(xiàn)某個(gè)偏差|S2n－Sn|＜ε就獲知誤差|S2n－S*|＜ε.再注意到誤差是逐步遞減的，由此可以判定當(dāng)n＞N時(shí)恒成立，從而｛Sn｝確實(shí)收斂于極限值S*.聯(lián)系19世紀(jì)中葉維爾斯特拉斯提出的ε-N說(shuō)法：如果對(duì)于任給ε＞0，總可以找到這樣的下標(biāo)N，使對(duì)一切n＞N：|xn－a|＜ε恒成立，則稱(chēng)數(shù)列｛xn｝收斂于極限a，這就是劉徽（公元263年）割圓術(shù)中的極限思想.劉徽指出：“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣.”他計(jì)算到圓內(nèi)接正192邊形的面積，從而求出圓周率π的近似值為3.14.有的學(xué)者認(rèn)為劉徽曾算到圓內(nèi)接正3072邊形的面積，得到π≈3.1416.劉徽的思想在其后南北朝時(shí)期祖沖之父子那里得以發(fā)揚(yáng)光大，他們得到π的近似值在3.1415926～3.1415927之間.在西方是由德國(guó)的奧托和荷蘭的安東尼茲在16世紀(jì)末才得到的，都比祖沖之晚了約一千一百年，使我國(guó)古代數(shù)學(xué)大放異彩.在當(dāng)時(shí)的條件下，這個(gè)計(jì)算量是相當(dāng)大的，即使在今天用紙筆計(jì)算也絕不是一件輕松的事，何況古代計(jì)算還是用算籌（小竹棍）？這需要怎樣的細(xì)心和毅力??！如今要實(shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)，正需要這種嚴(yán)謹(jǐn)不茍的治學(xué)態(tài)度和不畏艱難的毅力，是我們最需要，也是最缺失的理性精神.

以上我們聊的劉徽割圓術(shù)等，正是把抽象的極限定義，還原到形象，把極限概念回歸生活的實(shí)際.同時(shí)讓學(xué)生明理，學(xué)會(huì)聯(lián)系實(shí)際.不妨讓我們?cè)僮鲆淮卧囼?yàn).

欲知后事如何，且聽(tīng)下回分解.

1.羅增儒.教學(xué)效能的故事高效課堂的特征（續(xù)）［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（3）.

2.文衛(wèi)星.高中數(shù)學(xué)引言課［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（11）.A