【摘要】 開方是數(shù)學的一種基本運算. 本文闡明了二次方根、三次方根以及算術根的本質，指出了根式運算或化簡的要點，并介紹了復合二次根式化簡的方法.

【關鍵詞】 方根；算術根；開方；根式；復合二次根式

為了解決某些實際問題，比如已知直角三角形的兩條邊，求第三條邊，就要用到二次根式. 為引入一元二次方程的求根公式作準備，同樣需要學習二次根式. 它也是今后學習無理方程和函數(shù)等內容的基礎.

本文都是在實數(shù)集上討論的.

一、正確理解方根和算術根的概念

1.方根和算術根的定義及其性質

定義1 若x2 = a（a ≥ 0），則稱x為a的平方根，或稱為二次方根.

注意 定義1中的a ≥ 0不是外加的限制條件，而是式子本身固有的約束條件. 因為對于任意實數(shù)x，恒有x2 ≥ 0，所以a不可能為負數(shù).

平方根的三條性質：

（1）若a > 0，則a的平方根有兩個，即 與- ；

（2）若a = 0，則a的平方根為0，即 = 0；

（3）若a < 0，則a沒有平方根，或者說 沒有意義.

定義2 非負數(shù)a的非負平方根，稱為a的算術平方根，或稱為二次算術根.

定義2’ 當a > 0時，a的算術平方根為 ；

當a = 0時，a的算術平方根為 = 0.

注意 定義2和定義2’是等價的. 由上可知，算術平方根的概念是建立在平方根的概念基礎上的. 當a ≥ 0時，a的算術平方根存在而且唯一，即為 ；當a < 0時，a沒有平方根，當然也就沒有算術平方根.

定義3 若x3 = a，則稱x為a的立方根，或稱為三次方根，記為 .

立方根的三條性質：

（1）若a > 0，則 是一個正數(shù)；

（2）若a = 0，則 = 0；

（3）若a < 0，則 是一個負數(shù).

由上可知，任一數(shù)和它的立方根是相互唯一決定的.

定義4 當a ≥ 0時，a的立方根稱為a的算術立方根，或稱為三次算術根.

2. 方根與算術根的聯(lián)系與區(qū)別

方根與算術根的關系，可用如下示意圖來表示：

a的平方根a > 0時， - a = 0時， = 0a < 0時， = 0 a的算術平方根 （a ≥ 0）

a的立方根a > 0時， a = 0時， = 0a < 0時， a的算術平方根 （a ≥ 0）

由上可知，算術根是方根，方根未必是算術根.

3. 算術根的本質及其作用

（1）算術根的概念確定了算術根的唯一性（單值性），任一非負數(shù)和它的算術根是相互唯一決定的.

（2）任一方根都可用算術根的形式來表示.

例如，正數(shù)a的另一平方根表示為它的算術平方根的相反數(shù)- .又如-a（a > 0），的立方根 = - ，即表示成a的三次算術根的相反數(shù).

（3）算術根有許多簡便易行的運算性質，稍加處理，就可運用到一般的根式運算和化簡中去.

（4）避免在根式運算或化簡中容易發(fā)生的錯誤.

（5）求解某些實際問題，由于其結果為方根且是非負數(shù)，用算術根來表述會更直接、簡便，也更明確.

4. 方根學習中常見的錯誤

（1）說 = ±3，這是錯誤的！因為 只表示9的算術平方根，所以 = 3.

（2）說25的平方根是5，這是不全面的！因為25的平方根是± = ±5，而5只是25的算術平方根.

（3）說（ ）2 = -3，這是不對的！因為 無意義，所以（ ）2也就沒有意義.

（4）說 = -3，這也是錯誤的！應該是（ ）= = 3.

（5）說一個數(shù)，若其方根只有一個，就是算術根，這是不對的！例如， = -3，但這顯然不是算術根.

（6）說 = - ，錯了！

正確做法是 = = - .

5. 求方根的常用方法

（1）依據(jù)開方與乘方互為逆運算的關系，利用乘方運算求一些數(shù)的方根，但不要停留在這種方法上.

（2）依據(jù)方根、算術根的定義及其根號表示形式進行.

（3）從幾類具體例子的求解中歸納概括出一般形式，可作為公式（根式的運算性質）使用. 例如：

（ ）2 = a（a ≥ 0） = a（a ≥ 0） = -a（a < 0） （ ）3 = a = a = - = -

6. 關于方根概念的推廣

以上嚴謹?shù)財⑹龊蛯W習平方根、立方根以及算術根的定義、性質、內在聯(lián)系，便于以后平行地推廣到n次方根以及算術根情形. 從平方根推廣到偶次方根，從立方根推廣到奇次方根，相關算術根的概念也完全是平行的.

二、方根、開方、根式的聯(lián)系與區(qū)別

求一個數(shù)的方根的運算，叫做開方. 方根是開方運算的結果. 從記號上看，有時候有雙重理解. 例如，當a > 0時， 既表示對a進行開平方運算，且取正值，也表示a的算術平方根. 或者說， 不僅是開平方的運算符號，而且是運算結果取正根的性質符號.

含有開方運算的代數(shù)式叫做根式. 或者說，帶有根號的式子叫做根式. 例如， （a ≥ 0）是二次根式， 是三次根式， 是復合二次根式. 一方面可以說，表示方根的代數(shù)式叫根式；另一方面也可以說，根式是比方根更為廣泛的概念.

三、根式的運算和化簡要點

1. 正確應用根式的運算性質，對于公式有時需要逆向使用，要善于靈活應用. 以有意義為前提，應該是恒等變形.

2. 注意到是算術根的運算，還是要分情況加以討論.

例如， = = |a| = a（a ≥ 0）-a（a < 0）

3. 根式化簡的目標是最簡根式.

4. 根式加減運算的實質是合并同類根式，而前提是將各個根式分別化成最簡根式.

5. 根式運算或化簡的結果，式子里如果分母中含有根號，通常還要將分母有理化，即化去分母中的根號，關鍵是找其共軛根式.

6. 為解決某些問題，有時需要將分子有理化.

7. 整式和分式的運算性質、運算法則，包括公式（如乘法公式等），都可以借助于類比的思想方法，靈活運用.

8. 利用根式與分數(shù)指數(shù)冪的關系，使運算簡便、快捷、有效.

四、復合二次根式的化簡

定義 若A > 0，B > 0，且A2 - B > 0，則稱形如 的根式為復合二次根式.

定理1 若a，b為兩個不等的非負有理數(shù)， ， 為無理數(shù)，則 ± 為無理數(shù).

證明 設 - = c，假設c為有理數(shù)，則 + = = 也為有理數(shù)，于是有 = ， = 都是有理數(shù)，矛盾！所以 - 為無理數(shù). 同理可證 + 也為無理數(shù).

定理2 設a，b，c，d是非負有理數(shù)， ， 是無理數(shù)，若a ± = c ± ，則a = c，b = d.

證明 由a ± = c ± 得a - c = ± （ - ）.假設 ≠ ，則 - 是無理數(shù)，這與a - c是有理數(shù)相矛盾！所以 = ，即b = d，從而有a = c.

現(xiàn)在來看 （a > 0，b > 0，且a2 - 4b > 0）的化簡方法，令 = ± （x > y > 0），兩邊平方得a ± 2 = x + y ± 2 ，根據(jù)定理2可得x + y = axy = b，解這個二元一次方程組，即可求出x與y的值.

如果a，b是比較簡單的正整數(shù)，可用觀察法直接寫出結果.

定理3 復合二次根式 （A > 0，B > 0，且A2 - B > 0）可化簡的充要條件是A2 - B為完全平方數(shù). （證略）

推論 復合二次根式 （a > 0，b > 0，且a2 - 4b > 0）可化簡的充要條件是a2 - 4b為完全平方數(shù).

【參考文獻】

[1]李長明，周煥山.初等代數(shù)研究.北京：高等教育出版社，2001.

[2]江蘇省高師數(shù)學教育研究組.初等代數(shù)研究.江蘇教育出版社，1988.