【摘要】 旋轉(zhuǎn)是指一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)中很常用的一種全等變換，即旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等圖形，且旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角. 利用旋轉(zhuǎn)可以將復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)單化，讓數(shù)學(xué)難點(diǎn)輕易解答.

【關(guān)鍵詞】 旋轉(zhuǎn)；幾何計(jì)算與證明；妙用

利用旋轉(zhuǎn)變換改變圖形的位置，再借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可以將復(fù)雜的幾何計(jì)算與證明變得迎刃而解，它充分發(fā)揮了“變分散為集中”的思想，使某些數(shù)學(xué)問題較好地找到解決的思路和方法，且達(dá)到事半功倍的效果. 下面就以幾個(gè)實(shí)例讓你體會(huì)旋轉(zhuǎn)的妙用，希望你能從中受到啟發(fā).

例1 正△ABC中，P為其內(nèi)部一點(diǎn)，且PB ∶ PA ∶ PC = 3 ∶ 4 ∶ 5，求∠APB的大小.

分析 PB ∶ PA ∶ PC = 3 ∶ 4 ∶ 5，則PA，PB，PC三邊可構(gòu)成直角三角形，由此可想能否通過旋轉(zhuǎn)，將PA，PB，PC轉(zhuǎn)換到一個(gè)三角形中，可能此題就找到了切入點(diǎn)，而△ABC為正三角形，為旋轉(zhuǎn)提供了先決條件，可想將△ABP繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACP′，則∠APB = ∠AP′C， AP = AP′， CP′ = BP，連接PP′， △APP′為正三角形，PA = P′A = PP′，則CP′ ∶ P′P ∶ PC = 3 ∶ 4 ∶ 5， △PCP′為直角三角形，∠PP′C = 90°，故∠AP′C = 60° + 90° = 150° = ∠APB.

例2 正方形ABCD中，M，N分別在邊BC，CD上運(yùn)動(dòng)，∠MAN = 45°.試證：MN = BM + ND.

分析 要證MN = BM + ND，可想BM，ND能否轉(zhuǎn)換到一條直線上，若將△ABM繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，△ABM至△ADM′位置，∠ADM′ = ∠ABM = 90°，顯然D M′在CD延長(zhǎng)線上，BM + ND = NM′，現(xiàn)需證MN = M′N即可，連接MN，不難發(fā)現(xiàn)△AMN ≌ △AM′N，此題得解.

例3 任意△ABC，在BC邊同側(cè)分別以AB，BC，AC為邊作等邊△ABD，△BCE， △ACF，連接DE，EF，試判斷四邊形ADEF的形狀，說明△ABC對(duì)四邊形ADEF形狀的影響.

分析 當(dāng)圖形出現(xiàn)有公共點(diǎn)的不同正三角形時(shí)，圖中一定蘊(yùn)含有全等三角形且它們一定可以通過旋轉(zhuǎn)重合. 在此題中以△ABC為基本圖形將其繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△ECF，從而EF = BA = DA.而將△ABC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即得△DBE，則有DE = AC = AF，進(jìn)而很易作出判斷四邊形ADEF是有兩組對(duì)邊分別相等的四邊形，它是平行四邊形. 而當(dāng)△ABC中，AB = AC時(shí)，即有AD = AF，四邊形ADEF為菱形，若∠BAC = 150°時(shí)，∠DAF = 90°，四邊形ADEF為矩形，兩者同時(shí)成立則四邊形ADEF為正方形. 而當(dāng)∠BAC = 60°時(shí)，D， A ，F(xiàn)三點(diǎn)共線，四邊形ADEF不存在.

例4 正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D是劣弧BC上任意一點(diǎn)，AD = 8，求四邊形ABDC的面積.

分析 四邊形ABDC的形狀隨著D點(diǎn)位置的變化而改變，且題中條件單一，該如何思考呢？可想由題中出現(xiàn)的正三角形條件怎么用得上，由此不難想到旋轉(zhuǎn). 利用旋轉(zhuǎn)變換將△ADC繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AEB的位置，則△AED是正三角形，因?yàn)椤螦DB = ∠ACB = 60°，故E，B，D在一條線上，四邊形ABDC的面積即轉(zhuǎn)換為正△AED的面積，求出邊長(zhǎng)為8的正三角形面積即得四邊形ABDC的面積. 以上四例的解答，均借助了旋轉(zhuǎn)，而此四例的共同特點(diǎn)則是題中分別涉及了正三角形、正方形，有些題目中也可能出現(xiàn)的是等腰三角形或等腰直角三角形，它往往為我們提供了圖形旋轉(zhuǎn)的基本條件，這也是旋轉(zhuǎn)變換會(huì)涉及的一些基本圖形. 旋轉(zhuǎn)變換思想在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，這種數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)了思維的多向性，也是學(xué)習(xí)幾何的一個(gè)可循的規(guī)律. 平時(shí)多注意培養(yǎng)學(xué)生用旋轉(zhuǎn)變換思想解題，也可減少幾何計(jì)算與證明的一些難點(diǎn)，使學(xué)生體會(huì)幾何添加輔助線的一些可循性規(guī)律. 我們需要合理地啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，活學(xué)巧用，對(duì)有些圖形巧用旋轉(zhuǎn)變換，不僅可以減少解題的盲目性，還可以使解題的速度和質(zhì)量大大提高. 利用旋轉(zhuǎn)變換思想解題是解決圖形問題的一個(gè)思維亮點(diǎn)，希望本文關(guān)于旋轉(zhuǎn)的妙用可以給學(xué)生以啟迪和借鑒.