【摘要】 “預(yù)學(xué)后教”是體現(xiàn)自主學(xué)習(xí)的教學(xué)策略. “預(yù)學(xué)”是兒童在預(yù)習(xí)單的指導(dǎo)下，對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行自主學(xué)習(xí)；“后教”是教師根據(jù)學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，有針對性地組織教學(xué). 本文以“認(rèn)識比”為例，談以概念學(xué)習(xí)為主的新授課，如何以“預(yù)習(xí)單”為載體，落實(shí)“預(yù)學(xué)后教”.

【關(guān)鍵詞】 預(yù)學(xué)后教；概念解構(gòu)；概念形成；概念精致

一、課堂直擊

【片段1】對“認(rèn)識比”一課，根據(jù)本課的知識點(diǎn)，我們設(shè)計(jì)了如下“預(yù)習(xí)單”.

“認(rèn)識比”預(yù)習(xí)單

（一）你聽說過“比”嗎？生活中哪些地方看到過“比”？在你的身邊尋找一個(gè)“比”，舉例說明.

（二）自學(xué)例1，完成下面填空

例1 2比3記作（ ），2是比的（ ）項(xiàng)，3是比的（ ）項(xiàng).

（三）填一填，想一想

3 ∶ 5 = （ ） ÷ （ ） = ■.

請大家觀察等式，交流一下比、除法和分?jǐn)?shù)之間有什么聯(lián)系和區(qū)別，完成表格.

還有什么疑問：

【設(shè)計(jì)意圖：“預(yù)習(xí)單”一方面指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，另一方面也是檢測學(xué)生預(yù)習(xí)質(zhì)量的材料. 根據(jù)高年級學(xué)生的閱讀理解能力讓學(xué)生帶著問題向課本學(xué)習(xí)，閱讀數(shù)學(xué)書本的過程也是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的過程，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 】

【片段2】交流預(yù)習(xí)單，再次認(rèn)識比.

在小組分享收獲交流疑問的基礎(chǔ)上，全班交流.

今天我們圍繞這三個(gè)問題一起來研究，相信同學(xué)們的疑問會在討論交流中迎刃而解. （1）任意寫一個(gè)比，說說它的各部分名稱；（2）用自己的話說說什么是比；（3）比、除法和分?jǐn)?shù)之間有什么聯(lián)系和區(qū)別 .

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生自主閱讀教材、嘗試解答習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行反饋交流，教師根據(jù)反饋交流得到的信息合理調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，有效調(diào)控教學(xué)進(jìn)程和活動，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，激活學(xué)生思維的“深”度和調(diào)動學(xué)習(xí)主動性的“廣”度，使每一名學(xué)生都自始至終地參與到知識的形成過程中來. 】

【片段3】深入理解比，完成下列探索題.

下面的信息中兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系也能用比來表示嗎？怎樣表示？

1. 某水果攤位打出香蕉便宜賣的招牌.

2. 工程隊(duì)鋪路5千米，用了4天.

【設(shè)計(jì)意圖：多樣化的情境抽象出“概念”的過程，符合數(shù)學(xué)概念的發(fā)展順序，更加符合兒童概念學(xué)習(xí)和理解的認(rèn)知規(guī)律. 在對“比”有了豐富的感性認(rèn)識后，再通過觀察、比較、分析概括比的意義，有利于學(xué)生真正理解比的意義. 】

【片段4】聯(lián)系生活，區(qū)分“比”與“比分”.

出示：“在我校乒乓球決賽中，王勇同學(xué)以4∶0大勝李明獲得冠軍. ”根據(jù)這則消息，小紅認(rèn)為比的后項(xiàng)可以是0. 你對此有什么看法？

師：它跟我們剛才學(xué)的比的意義一樣嗎？不一樣在哪里？

【設(shè)計(jì)意圖：關(guān)注外延深化本質(zhì)認(rèn)識，該習(xí)題的設(shè)置著眼于對比的概念內(nèi)涵和外延的理解和把握. 】

【片段5】滲透數(shù)學(xué)文化，提升“比的認(rèn)識”.

介紹黃金比，領(lǐng)略數(shù)學(xué)美妙.

【設(shè)計(jì)意圖：人體上的比，國旗上長與寬的比，黃金分割比等，通過介紹比，使學(xué)生從不同的角度加深對比的認(rèn)識，拓寬知識面，滲透數(shù)學(xué)文化，提升認(rèn)識. 】

二、教學(xué)思考

（一）“比的認(rèn)識”的教材解讀

比的概念是建立在除法的意義基礎(chǔ)之上的，揭示了比與除法之間的本質(zhì)聯(lián)系，是一種以“倍比”為基礎(chǔ)的比較關(guān)系. “比的意義”一般劃分兩層：一是刻畫同類兩個(gè)量之間的關(guān)系；二是刻畫異類兩個(gè)量之間的關(guān)系，第二層含義是學(xué)生理解的難點(diǎn). 基于上述考慮，我們把重點(diǎn)放在感悟比的意義，理解同類量的比與不同類量的比之間的相通點(diǎn)以及掌握“比”與“除法”聯(lián)系兩者的關(guān)系上.

基于上述思考，我們采用了“預(yù)學(xué)后教”的方式，努力探尋適合概念教學(xué)方式. 預(yù)習(xí)單的設(shè)計(jì)有利于衡量學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平和最近發(fā)展水平，便于教師收集來自于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題，有利于以學(xué)定教. “預(yù)學(xué)后教”，改變結(jié)構(gòu)，意味著教師的“講”要讓位于學(xué)生的“學(xué)”，被動的“學(xué)”要變?yōu)橹鲃拥膶W(xué)習(xí)“增值”. 盡可能暴露學(xué)生的潛意識，尤其要關(guān)注學(xué)生的“異見”.

（二）思索概念教學(xué)的理想途徑

數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，它是客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，也是兒童思維的基本單位. 數(shù)學(xué)概念具有過程性、表象性與結(jié)構(gòu)性特質(zhì). 通過對小學(xué)“比”這一概念的教學(xué)的分析可以看出，數(shù)學(xué)概念的形成是一個(gè)抽象的過程，“概念”需揭示事物的本質(zhì)特征. 小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)要讓學(xué)生認(rèn)同該概念產(chǎn)生的價(jià)值，要關(guān)注概念的本質(zhì)特征，要有具體材料支撐，還應(yīng)該是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程.

（1）概念解構(gòu)，聚集概念厘清屬性

概念解構(gòu)，包含“概念核心的理解”“概念內(nèi)涵外延的把握”“思想方法的滲透”“教學(xué)目標(biāo)的要求”等. 課前教師需要從一般的、間接的學(xué)習(xí)角度深入分析教學(xué)意圖，追問這項(xiàng)內(nèi)容除了讓學(xué)生能夠感知、記憶、理解之外，還試圖讓學(xué)生在概念理解、問題解決、策略應(yīng)用、價(jià)值選擇等方面有怎樣的變化. 對照教師用書或相關(guān)數(shù)學(xué)資料判斷、分析自己在教學(xué)及設(shè)計(jì)中對概念的核心的理解是否正確？概念的內(nèi)涵、外延是否明確？判斷、分析自己在教學(xué)中是否為思想方法的滲透提供了合理的問題背景，是否只停留在預(yù)設(shè)的層面上？對照課程標(biāo)準(zhǔn)與教師用書（或目標(biāo)測試的方式）判斷、分析自己的教學(xué)達(dá)到了要求中的哪個(gè)層次？

（2）巧借“預(yù)習(xí)單”， 立足現(xiàn)有發(fā)展區(qū)

預(yù)習(xí)重在解決學(xué)生現(xiàn)有的知識和能力水平. 不僅如此，教師還要通過預(yù)習(xí)，了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，即學(xué)生自己不能獨(dú)立解決，需要通過教師或同學(xué)的幫助才能解決的問題. 預(yù)習(xí)單的設(shè)計(jì)就成為非常重要的一環(huán)，任務(wù)設(shè)計(jì)太籠統(tǒng)、太簡單，教師則收集不到來自于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題，以學(xué)定教也就失去了問題的支撐；任務(wù)設(shè)計(jì)太難，則容易忽視學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，難以衡量學(xué)生現(xiàn)有的發(fā)展水平，從而造成預(yù)習(xí)的假象，不利于教師把最近發(fā)展區(qū)轉(zhuǎn)化為現(xiàn)有發(fā)展區(qū). （3）以學(xué)定教，關(guān)注概念形成過程

“先學(xué)”就是解決現(xiàn)有發(fā)展區(qū)的問題，“后教”就是解決最近發(fā)展區(qū)的問題，就是在教學(xué)中教師和學(xué)生各司其職、各負(fù)其責(zé). 概念的形成需要提供數(shù)量恰當(dāng)?shù)恼?，從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程，這是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程.

通過預(yù)習(xí)學(xué)生能讀懂一部分，同時(shí)會存在對一些內(nèi)容的理解上偏差，可能會比較膚淺甚至錯(cuò)誤. 因此，后教的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握預(yù)習(xí)效果，集中討論重難點(diǎn)，更有針對性地練習(xí)鞏固，方法可以進(jìn)行適當(dāng)細(xì)分，但操作性和實(shí)用性一定要強(qiáng)，重點(diǎn)要抓好反饋交流和鞏固提高兩個(gè)環(huán)節(jié).

（4）詳細(xì)“深加工”，實(shí)現(xiàn)概念精致

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“精致”的實(shí)質(zhì)是對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行盡量詳細(xì)的“深加工”，對“概念要素”進(jìn)行具體界定，以使學(xué)生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，對概念的細(xì)節(jié)把握更加準(zhǔn)確，理解概念的各個(gè)方面，獲得概念的某些限制條件等. （1）剖析各種可能的特例；（2）分析概念的理解錯(cuò)誤；（3）理解概念的各種變式.

其實(shí)，學(xué)生掌握一個(gè)數(shù)學(xué)概念，有時(shí)需要一段時(shí)間，才能真正掌握. 學(xué)生在本節(jié)課“比的認(rèn)識”的學(xué)習(xí)時(shí)，能夠理解“比”所能夠表示的多種情境處于概念理解的“具體期”，而在下節(jié)課“比的應(yīng)用”的學(xué)習(xí)中，仍然是對“比”的概念的再認(rèn)識和確認(rèn)，在后續(xù)的教學(xué)中教師請學(xué)生根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，在分析的過程中，學(xué)生可以采取多種途徑和策略在這一過程中繼續(xù)深化對“比”這一概念的理解. 概念學(xué)習(xí)是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的，也是一個(gè)漸進(jìn)的過程，只有當(dāng)學(xué)生多角度、多層面地理解了概念，才能夠順利向“形式化定義”的階段過渡.

三、對小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考

概念是思維的基本單位. 概念的形成可以幫助學(xué)生了解事物之間的從屬與相對關(guān)系. 小學(xué)階段學(xué)生要掌握的數(shù)學(xué)概念，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)有五百多個(gè). 如何把握這些概念最核心、最本質(zhì)的特征，并以最有效的方式引發(fā)學(xué)生思考，促進(jìn)思維力的提升，必須是小學(xué)數(shù)學(xué)教師尤其要關(guān)注的問題.

（一）概念教學(xué)要關(guān)注本質(zhì)特征

教師應(yīng)當(dāng)從概念的多種背景、多重層次、多個(gè)側(cè)面、多維結(jié)構(gòu)去揭示概念的內(nèi)涵.

如教學(xué)“平移和旋轉(zhuǎn)”時(shí)，教師可選取鉛筆作為揭示概念的典型素材. 其次是各種反例和變式（如呈現(xiàn)形態(tài)、表達(dá)材料、敘述方式）的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生透過概念紛繁多變的非本質(zhì)表層，捕捉概念內(nèi)在不變的本質(zhì)屬性. 在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，教師適時(shí)讓學(xué)生作兩條平行線之間的垂線，作三角形、平行四邊形和梯形的高等，使學(xué)生多角度、全方位地認(rèn)識垂線. 通過多向化厘析，凸顯了“垂線”概念的本質(zhì)內(nèi)涵.

（二）概念教學(xué)的策略

1. 使用“概念多元聯(lián)系表示”技術(shù)有效理解概念

在問題的情境中，為提取概念所提供的線索越多，就越容易使概念得到檢索和應(yīng)用. 給抽象的概念建立起具體模型，更有利于概念的掌握. 概念的“多元聯(lián)系表示”是理解和掌握概念的金鑰匙. 例如，如果給“認(rèn)識小數(shù)”配以不同的模型解釋或?qū)嶋H情境解釋，學(xué)生將比較容易而且牢固地掌握小數(shù)的概念. （1）借助米尺找到0.1；（2）利用一條線段表示0.1；（3）借助一個(gè)正方形創(chuàng)造一個(gè)0.1.

2. 提供恰當(dāng)組合的正反例教學(xué)情境促進(jìn)概念形成

學(xué)生理解和掌握概念的過程實(shí)際上是掌握同類事物的共同、關(guān)鍵屬性的過程. 在概念形成教學(xué)中，必須注意：（1）向?qū)W生提供適當(dāng)數(shù)量、適當(dāng)強(qiáng)度的刺激模式，以便于學(xué)生分析、比較；（2）要讓學(xué)生進(jìn)行充分的自主活動，使他們有機(jī)會經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，并從共同屬性中抽象出本質(zhì)屬性；（3）概括成概念后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的新舊概念進(jìn)行分化，并將新概念納入到已有的概念系統(tǒng)中去.

3. 突出關(guān)鍵屬性減少無關(guān)屬性數(shù)量有利于概念習(xí)得

瑞典哥德堡大學(xué)馬飛龍教授提出的變異理論：學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開對事物差異的感知，對具體學(xué)習(xí)內(nèi)容在屬性、特征等方面的變化會引導(dǎo)學(xué)習(xí)者關(guān)注同一事物的不同方面，從而學(xué)會從不同的角度來認(rèn)識同一事物.

4. 在概念的系統(tǒng)中教學(xué)概念注意建立之間聯(lián)系

數(shù)學(xué)概念具有層次性特點(diǎn)，由此帶來概念學(xué)習(xí)中概括活動的層次性. 抽象程度低的概念成為高層次概括活動的具體素材，隨著概括活動層次的提高，學(xué)生掌握的概念的抽象程度也隨之提高，也逐漸形成概念的體系.

在概念學(xué)習(xí)中，只有按照數(shù)學(xué)概念的層次結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)不斷深入地抽象概括，形成結(jié)構(gòu)功能良好的概念體系，才能使學(xué)生準(zhǔn)確地掌握概念的本質(zhì)，形成比較完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu). （三）概念教學(xué)需關(guān)注能力的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)該重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的兩種能力：（1）概括能力：首先引導(dǎo)學(xué)生對問題情境的各種屬性進(jìn)行分化，再類化，最后把它納入到新的概念系統(tǒng)中去；（2）數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力：語言表達(dá)是概念學(xué)習(xí)過程中一個(gè)很重要的環(huán)節(jié)，因此，概念的得出盡量由學(xué)生來表達(dá)、描述，并由學(xué)生不斷補(bǔ)充、完善，這也是學(xué)生深刻理解概念與否的一個(gè)重要標(biāo)志.