摘 要：在數(shù)學(xué)高效課堂的總結(jié)發(fā)言中，經(jīng)常聽(tīng)到一些經(jīng)驗(yàn)豐富的老教師說(shuō)：“既讓暫差生吃飽，也要讓尖子生吃好?！奔?xì)細(xì)思量，感覺(jué)這種說(shuō)法似乎不可能;因?yàn)閷W(xué)生的基礎(chǔ)是“橫看成嶺側(cè)成峰”，學(xué)生的能力也是“遠(yuǎn)近高低各不同”。當(dāng)你在講解基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，尖子生就會(huì)不耐煩，認(rèn)為這么簡(jiǎn)單的知識(shí)反復(fù)講沒(méi)什么意義。當(dāng)你講解難度較大的題目時(shí)，暫差生的眼光瞬間就會(huì)變得“癡呆”起來(lái)，覺(jué)得“蜀道之難”難不可攀！

關(guān)鍵詞：分組教學(xué);“連網(wǎng)”;橫向變式教學(xué)

著名教育家維果茨基認(rèn)為：學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)域就是學(xué)習(xí)者現(xiàn)有的水平與將要達(dá)到的潛在水平的一個(gè)過(guò)渡區(qū)域。一個(gè)人的原有水平對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)具有決定性的影響，這種影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其他任何因素的影響。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義、定理、公式、法則、解題步驟等的理解與運(yùn)用，決定了課堂教學(xué)起點(diǎn)、坡度、密度、難度和預(yù)期目標(biāo)。不同學(xué)生的“學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)”肯定不同，因此教師的教學(xué)必然存在脫節(jié)現(xiàn)象，每一塊內(nèi)容只適合特定部分的學(xué)生群體。

但是，如果我們將學(xué)生的“學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)”連成網(wǎng)，像那閃爍的霓虹燈般組成聯(lián)通電路，當(dāng)一個(gè)小燈泡亮起時(shí)，下一個(gè)小燈泡也閃亮了，那么，群燈燦爛交相輝映。

下面，筆者嘗試從理論與實(shí)踐相結(jié)合的角度來(lái)闡釋這個(gè)問(wèn)題。

一、“分組教學(xué)”讓組內(nèi)學(xué)生之間“連網(wǎng)”

在筆者的課堂教學(xué)中，一個(gè)班級(jí)被平均分成六個(gè)小組，每個(gè)小組八個(gè)人;從數(shù)學(xué)成績(jī)來(lái)看，這八個(gè)成員中既有尖子生、也有暫差生、還有中等生。當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題被提出來(lái)之后，小組成員按成績(jī)從低到高逐個(gè)對(duì)條件進(jìn)行分析，然后總結(jié)出解題方法;接下來(lái)進(jìn)行提升與拓展;最后是組與組之間進(jìn)行對(duì)比、辯論及教師點(diǎn)評(píng)。如此，一個(gè)小組里層次不同的學(xué)生，在“學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)”上就連成了一張小網(wǎng)。

在學(xué)生自主參與活動(dòng)中，層次較低的學(xué)生有充分展示的舞臺(tái)，并且在層次略高同學(xué)的幫助下得到提升，在層次最高學(xué)生的指導(dǎo)下解決整個(gè)題目。而尖子生也在老師的點(diǎn)評(píng)下得到了升華。

這里介紹一個(gè)“分組教學(xué)”學(xué)習(xí)片段：

例1.如圖1，△ABC中，OA=OB=OC，求"·"=

圖1

學(xué)生1：這道題條件不夠，沒(méi)有與"，"相關(guān)的條件。

（本道題從表面上看，確實(shí)相關(guān)條件不足）

學(xué)生2："·"="·"·cos<"，">，給的條件用不上。

（比“學(xué)生1”有進(jìn)步，能把相關(guān)的知識(shí)羅列出來(lái)）

學(xué)生3：如果OA=OB=OC=1，對(duì)解題有沒(méi)有幫助呢？

（雖然還不能解決問(wèn)題，但把一般條件特殊化，如果可以找出規(guī)律，也不失為一種好方法，比前面層次略高）

學(xué)生4："="+"，"="+"，代入"·"有沒(méi)用呢？

（貌似把簡(jiǎn)單式子復(fù)雜化，但卻與題目條件產(chǎn)生聯(lián)系了！）

學(xué)生5："·"=（"+"）·（"+"）="2+"·（"+"）+"·"=1+"·"+（-1）=0

（運(yùn)算能力不錯(cuò)，借助前面特殊值解決了問(wèn)題）

學(xué)生6：如果OA=OB=OC=a，

那么"·"=（"+"）·（"+"）="2+"·（"+"）+"·"=a2+"·"+（-a2）=0

（再由特殊到一般，本道題終于圓滿解決了）

學(xué)生7：如果"·"=0，那么"⊥"，∠ACB=90°嗎？以點(diǎn)O為圓心，OA、OB、OC恰好是半徑，直徑AB所對(duì)的圓周角是直角，果然如此！

（呵呵，不愧是數(shù)學(xué)尖子生，能把所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)分析問(wèn)題）

學(xué)生8：如果把條件改為：OA=OB=2，OC=1，結(jié)果如何？亦或改為：OA=2，OB=3，OC=1，結(jié)果又是什么呢？

（糟糕，搶老師的飯碗來(lái)了——能對(duì)題目進(jìn)行拓展了?。?/p>

老師：學(xué)生的合作學(xué)習(xí)異常精彩，從一般到特殊，再?gòu)奶厥獾揭话悖詈筮€能對(duì)題目進(jìn)行總結(jié)、拓展與提升，我見(jiàn)證了學(xué)生的成長(zhǎng)。在學(xué)生8所改的條件（OA=2，OB=3，OC=1）下，各組討論看看，把答案算出來(lái);若不能，還需附加什么條件，附加條件后把答案算出來(lái);然后，對(duì)這類題型進(jìn)行總結(jié)。

在“分組教學(xué)”中，學(xué)生的“學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)”就像一張張互相銜接的“多米諾骨牌”，隨著“發(fā)展區(qū)”層次的遞升，一個(gè)個(gè)問(wèn)題被順利解決，不同層次的學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中都有了提高。

二、“橫向變式教學(xué)”讓學(xué)生的不同知識(shí)塊之間“連網(wǎng)”

不同層次的學(xué)生在同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)上有認(rèn)知差異，需要把學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)“連網(wǎng)”，讓學(xué)生之間知識(shí)與能力共享、提高。同一個(gè)學(xué)生在不同的知識(shí)點(diǎn)也會(huì)存在深深的溝塹，使學(xué)生不能從整體上對(duì)知識(shí)進(jìn)行綜合運(yùn)用;通過(guò)“橫向變式教學(xué)”可以把學(xué)生不同知識(shí)塊中的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行“連網(wǎng)”，從而完善知識(shí)體系。

例2.如圖2，設(shè)F1、F2是橢圓"+"=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（6，4），求PM+PF1的最大值。

圖2

（通過(guò)“分組教學(xué)”，各組同學(xué)很快就完成本道題的解答，如下）

PM+PF1=PM+2a-PF2=PM-PF2+2a，

所以，只需求出PM-PF2的最大值，

如圖（PM-PF2）max=MF2，

所以，（PM-PF2）max=MF2+2a=15。

老師：同學(xué)們，如果我們把橢圓改為雙曲線，試試看，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果。

學(xué)生：如圖3，設(shè)F1、F2是橢圓"-"=1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（6，4），求PM+PF1的最小值。

老師：題目雖然改成功了，但解題卻沒(méi)有挑戰(zhàn)性;若把點(diǎn)M坐標(biāo)改為（2，4），試試看，有什么結(jié)果？

學(xué)生：此時(shí)，PM+PF1=PM+2a+PF2=PM+PF2+2a

只需求出PM+PF2的最小值即可。

老師：如果我們把題目改為拋物線，又會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？

學(xué)生：設(shè)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，P為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（6，4），求PM+PF的最小值。

圖3

通過(guò)“橫向變式教學(xué)”，讓學(xué)生把“橢圓、雙曲線、拋物線”三塊知識(shí)中的一些共同性質(zhì)“連網(wǎng)”，對(duì)“圓錐曲線”的統(tǒng)一性質(zhì)有了更深刻的認(rèn)識(shí)。這對(duì)學(xué)生類比、分析、歸納能力的提高有莫大的幫助，應(yīng)用到實(shí)際生活當(dāng)中，能輕易地發(fā)現(xiàn)一些現(xiàn)象之間的共同本質(zhì)。

三、“縱向變式教學(xué)”讓學(xué)生在進(jìn)階道路上的關(guān)鍵點(diǎn)“連網(wǎng)”

在攀登數(shù)學(xué)高峰的過(guò)程中，學(xué)生時(shí)常會(huì)遇到不可跨越的鴻溝，找不到合適的落腳點(diǎn);此時(shí)，老師應(yīng)在鴻溝上架設(shè)橋梁，在險(xiǎn)峰處建立“腳手架”，讓學(xué)生有立足之地，從而讓不同層級(jí)的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)“連網(wǎng)”，順利登上進(jìn)階之路。

例3.如圖4，已知橢圓"+"=1上一點(diǎn)M，直線l1與l2都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，若l1與l2的斜率分別為1和-1;求kAB=？

圖4

（本題雖然運(yùn)算過(guò)程有點(diǎn)復(fù)雜，但解題思路還是比較清晰的，故在學(xué)生的努力下，還是算出了正確答案）

老師：只要同學(xué)們有足夠的耐心和細(xì)心，本道題還是能求出正確答案的。如果我們把條件一般化，看看中原逐鹿，鹿死誰(shuí)手。

變式一：已知橢圓"+nbsp;=1上一點(diǎn)M（2"，1），直線l1與l2都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，若l1與l2的斜率分別為k、-k;求kAB=？

（把兩條直線的斜率改變?yōu)閗和-k之后，運(yùn)算難度顯然有些加大，從學(xué)生那凝重的眼神可以看出，要給出正確的解答不是那么容易）

老師：千山萬(wàn)水腳下過(guò)，一道道難關(guān)被攻克，當(dāng)你費(fèi)盡艱辛征服后，是否有種感覺(jué)“天下英雄誰(shuí)敵手”？下面舉一反三，我們?cè)倏匆粋€(gè)變式。

變式二：如圖5，橢圓"+"=1上一點(diǎn)M（2，1），直線l∥OM，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，MA、MB分別交x軸于C、D;求證：△MCD是等腰三角形。

圖5

在老師的鼓勵(lì)下，學(xué)生從最初的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)上升到了新的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)，然后以之為基礎(chǔ)，再攀升到更高的一個(gè)學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū);如此循環(huán)往復(fù)，不斷深化學(xué)生的思維層次。讓學(xué)生產(chǎn)生一種“會(huì)當(dāng)臨絕頂，一覽眾山小”的豪邁。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)“多重連網(wǎng)”，不僅能讓暫差生吃飽，也能讓尖子生吃好，實(shí)現(xiàn)不同層次學(xué)生的共同提升;同時(shí)可以拓展學(xué)生的知識(shí)面，使學(xué)生多角度、全方位地審視問(wèn)題，在處理綜合性問(wèn)題上更加游刃有余;還可以提高學(xué)生的思維層次，讓學(xué)生跳一跳就能摘到桃子，享受到征服數(shù)學(xué)高峰的樂(lè)趣，在面對(duì)難題時(shí)，養(yǎng)成一個(gè)自設(shè)臺(tái)階、獨(dú)立探索、勇于創(chuàng)新的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

編輯 楊兆東