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        關(guān)于三角函數(shù)最值問題的研究

        2015-04-29 00:00:00宋曉明
        新課程學(xué)習(xí)·中 2015年1期

        摘 要:對三角函數(shù)最值的出現(xiàn)類型以及結(jié)合公式的解決方法進(jìn)行了分析、歸納和總結(jié),整理出一些簡單的思路以供參考。

        關(guān)鍵詞:三角函數(shù)最值;輔助角;反函數(shù)法;配方法;換元法

        三角函數(shù)最值的題目千變?nèi)f化,學(xué)生要能夠快速辨別一些基本類型,然后找到合適的解題思路,在解題時要特別注意題目設(shè)定的區(qū)間,復(fù)合函數(shù)也要注意代數(shù)換元和三角變換等問題。

        一、引入輔助角,適用于一元二次函數(shù)

        適用類型:y=asinx+bcosx+c,在求解這個類型的三角函數(shù)最值時,就需要引入一個輔助角?漬,化解為y=■sin(x+?漬)+c的公式,tan?漬=■。

        這一類為含正余弦的一次函數(shù),用公式將正余弦函數(shù)化為一種單一的三角函數(shù)來計算。

        例1.求函數(shù)y=2■sin2x-2sinxcosx+1的最值。

        解:函數(shù)可化為y=■(1-cos2x)-sin2x+1

        =-(sin2x+■cos2x)+■+1,

        即y=-2sin(2x+■)+■+1,

        ∵-1≤sin(2x+■)≤1,

        ∴當(dāng)sin(2x+■)=-1時,即x=kπ-■時,函數(shù)ymax=3+■

        當(dāng)sin(2x+■)=1時,即x=kπ-■時,函數(shù)ymin=■-1

        二、反函數(shù)法

        適用類型:比如y=■,在求最值時,首先要解出cosx,反解cosx得到一個關(guān)于y的函數(shù),再利用函數(shù)的有界性|cosx|≤1來求解。在解題過程中,要注意由于a的符號不同,對三角函數(shù)最值所產(chǎn)生的影響。

        例2.求函數(shù)y=■的最值。

        分析:此三角函數(shù)分子和分母的函數(shù)同名、同角,一般先轉(zhuǎn)化為部分分式,再用有界性去接。

        解:原函數(shù)變形為(2-y)cosx=3y+1,即cosx=■,

        ∵|cosx|≤1,

        ∴|■|≤1

        解得,-■≤y≤■,∴ymax=■ ymin=-■。

        三、配方化為二次函數(shù),適用于二次或可以轉(zhuǎn)化為二次的函數(shù)

        適用類型:二次三角函數(shù),比如y=asin2x+bcosx+c。

        此類為含正余弦且其中之一是二次函數(shù),利用公式sin2x+cos2x=1, 化為一元二次函數(shù)來求得值域問題。

        例3.求函數(shù)y=2cos2x+5sinx-4的最值。

        解:將此函數(shù)化為y=-2sin2x+5sinx-2,

        配方得y=-2(sinx-■)2+■

        當(dāng)sinx=1時,ymax=1,

        當(dāng)sinx=-1時,ymin=-9。

        四、換元法

        適用類型:可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的三角函數(shù),比如出現(xiàn)sinxcosx與sinxcosx的函數(shù)。設(shè)sinxcosx=t,|t|≤■,再將sinxcosx轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系公式。

        此類為含正余弦之和差、正余弦之積的函數(shù),利用公式:

        (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx。

        例4.求y=sinx-cosx+sinxcosx的最值。

        分析:sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx存在不可分割的聯(lián)系。一般設(shè)t=sinx-cosx,換元后根據(jù)題意可以靈活使用多種方法綜合求解。

        解:設(shè)t=sinx-cosx=■sin(x-■),

        則-■≤t≤■,且sinxcosx=■。

        由于y=t+■=-■(t-1)2+1,

        所以當(dāng)t=1時,ymax=1;當(dāng)t=-■時,ymin=-■-■。

        三角函數(shù)最值的問題是數(shù)學(xué)考試的重點,在數(shù)學(xué)知識的各個領(lǐng)域也有著廣泛應(yīng)用。出現(xiàn)在試卷中的關(guān)于三角函數(shù)最值問題的類型有很多,題型也變化多樣,同時還具有很強(qiáng)的綜合性,解題也非常靈活。大部分學(xué)生在遇到這類題型時還不能在第一時間理清思路,抓住求解的本質(zhì),迅速找到合適的方法。

        參考文獻(xiàn):

        許靜.例談三角函數(shù)最值的基本解法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí),2014(9):10.

        ?誗編輯 楊兆東

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