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        初探數列遞推公式求通項公式

        2015-04-29 00:00:00王慶二
        新課程學習·中 2015年1期

        遞推是中學數學中一個非常重要的概念和方法,遞推數列問題內在聯(lián)系密切,蘊含著不少精妙的數學思想和數學方法。新教材將數列放在高一講授,并明確給出“遞推公式”的概念:如果已知數列{an}的第1項(或前幾項),且任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示,那么這個公式叫做數列的遞推公式。對于由遞推式所確定的數列通項公式問題,往往將遞推關系式變形轉化為我們熟知的等差數列或等比數列,從而使問題簡單明了。這類問題是高考數列命題的熱點題型,下面介紹常見遞推數列求通項公式的基本求法。

        案例一:若數列{an}滿足下列條件,求{an}的通項公式。

        例1.若a1=1,an+1=2an+3,求{an}的通項公式。

        分析:拼湊法(構造法)an+1=2an+3?圯(an+1+3)=2(an+3)

        所以數列{an+1+3}是以4為首項,2為公比的等比數列?圯an+3=4×2n-1?圯an=2n+1-3

        歸納:通過前兩小題解法中,我們容易看出解題的關鍵是怎么去拼湊,那么可不可以歸納出一般形式的結論呢?

        形如:Aan+1=Ban+C,A、B、C均為非零常數(A≠B)

        令:A(an+1+x)=B(an+x)?圯Aan+1+Ax=Ban+Bx

        ?圯x(B-A)?圯x=■?圯A(an+1+■)=B(an+■)

        所以數列{an+1+■}是以a1+■為首項,■為公比的等比數列

        案例二:若數列{an}滿足下列條件,求{an}的通項公式。

        例2.a1=2,an+1=an+n+1,

        分析:此題n+1是一個變量,而前幾題均是常量,這時該怎么辦呢?可不可以把變量變?yōu)槌A磕兀吭诘仁絻蛇呁瑫r除以2n+1,即可使變量為常量了。

        an+1=an+n+1?圯an+1-an=n+1?圯an-an-1=n…?圯a3-a2=3?圯a2-a1=2

        可利用累加法將上式左邊所有項相加,右邊所有項相加得:

        ?圯an-a1=2+3+4+…+n?圯an=■,(n≥2)

        當n=1時,代入上式得:a1=2即:an=■,(n≥1)

        注意在應用累加法求出an時,還要驗證n=1的情況,看是否可以合在一起寫。反思:此題應運了累加法,那么是否也存在累積法或累和或累除法呢?

        案例三:若數列{an}滿足下列條件,記Sn為{an}的前n項和,求{an}的通項公式。

        例3.若Sn=2an+2n,求數列{an}的通項公式

        分析:此題中有Sn又有an,似乎有點區(qū)別,怎么辦?那么,可不可以建立一個橋梁把它們聯(lián)系到一起?由此可聯(lián)想到an=Sn-Sn-1,則有:an=Sn-Sn-1=2(an-an-1)+2,即an=2an-1-2 "①

        令an+?姿=2(an-1+?姿)則an=2an-1+?姿,與①比較得?姿=-2,

        {an-2}是以a1-2=-4為首項,以2為公比的等比數列。

        an-2=(-4)·2n-1=-2n+1,故an=-2n+1+2

        此時是否需要驗證n=1呢?

        在高三的復習過程中,注重培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,抓住易錯點、關鍵點,讓學生學會多角度看待問題,習慣歸納總結,把所學知識構成一個或多個知識網絡,由淺入深,層層深入,去發(fā)現(xiàn)其本質規(guī)律。

        編輯 楊兆東

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