摘 要：函數(shù)和方程思想是初中數(shù)學(xué)中的基本思想，在解題的過程中使用比較多。首先提出要在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，然后通過舉例分析了用函數(shù)解決方程問題和用方程解決函數(shù)問題，細(xì)致地描述了函數(shù)和方程思想間的轉(zhuǎn)化及給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來的方便之處。通過掌握函數(shù)思想和方程思想并靈活轉(zhuǎn)化使用，既可以提高初中生對數(shù)學(xué)的興趣，也可以提高其數(shù)學(xué)成績，還可以為其高中學(xué)好數(shù)學(xué)奠定良好基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想;函數(shù);方程思想

在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)思想和方程思想是常見的數(shù)學(xué)基本思想。學(xué)生在解題的過程中經(jīng)常會遇到二者之間的相互轉(zhuǎn)化問題。其中方程思想是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不等式、方程或二者混合的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決。函數(shù)思想則是將比較抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，通過利用函數(shù)的圖象及形式來分析、轉(zhuǎn)化并解決問題。二者相互聯(lián)系、相互滲透，因此掌握好函數(shù)思想和方程思想的相互轉(zhuǎn)化對于學(xué)好初中數(shù)學(xué)有十分重要的意義。

一、在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

初中數(shù)學(xué)不僅僅要求學(xué)生學(xué)習(xí)解題過程，還要求學(xué)生能對實(shí)際問題進(jìn)行分析，通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為特有的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決。這就要求在初中教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想是將實(shí)際生活中的各種空間形式和數(shù)量關(guān)系經(jīng)大腦處理后，形成對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題的結(jié)果。初中階段的數(shù)學(xué)思想有類比思想、函數(shù)與方程思想、類別思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和劃歸思想等。

其中，分類討論思想比較簡單，就是在解決問題的時候，通過變換某個量來討論其產(chǎn)生的不同結(jié)果，各個擊破學(xué)生的疑惑點(diǎn)，使其思路更加清晰。包括三角形分類、絕對值分類、有理數(shù)分類。還包括函數(shù)和方程式中由于字母的不同取值所造成的不同結(jié)果分類，通過對這些問題進(jìn)行分類討論可形成系統(tǒng)的思想，便于解題;化歸思想就是化繁為簡，將未知問題用已知的問題解決，可通過化動為靜、配方法、待定系數(shù)法和整體代入法，將抽象的問題具體化進(jìn)行解決;數(shù)形結(jié)合思想指的就是將抽象的數(shù)學(xué)公式用直觀的圖形和圖像表示出來，將幾何與代數(shù)結(jié)合起來便于理解記憶及對實(shí)際問題的解決;類比思想就是比較不同數(shù)學(xué)對象的類似之處來推斷別的相同之處，便于規(guī)律性問題的解決;函數(shù)和方程思想即是將不容易解決的方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解決。或者是將函數(shù)圖象所表達(dá)的比較抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為方程進(jìn)行解決。

二、用函數(shù)解決方程問題

在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)思想在解決實(shí)際問題中發(fā)揮著重要的作用，突出表現(xiàn)在最值問題和尋求最佳方案的問題上。在解決實(shí)際問題的時候可利用函數(shù)思想抽象出數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上建立函數(shù)解析式，則復(fù)雜的實(shí)際問題就轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚臄?shù)學(xué)問題。如果兩個二元方程的未知數(shù)存在一一對應(yīng)關(guān)系，則其可以用函數(shù)思想解決。同時，也可將一元方程兩端視為函數(shù)，將兩函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)視為方程的解。由于初中學(xué)生接觸的知識有限，在解決不等式的過程中直接進(jìn)行求解很困難，所以可將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行解決。通過將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題可利用函數(shù)的性質(zhì)以及圖象來直觀了解最值或參數(shù)的取值范圍，最終解決不等式問題。

例如，求解K值為多少時，方程x2-3x+k=0的兩個根取值分別為大于1和小于1的數(shù)？針對此種問題的求解，初中生很難直接求出K的值，可通過將函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想聯(lián)系起來，將方程左邊的x2-3x+k=0看作二次函數(shù)，其根即為函數(shù)y=x2-3x+k=0的自變量的值。通過構(gòu)建圖象可知函數(shù)y=x2-3x+k的圖象為一拋物線，其與直線y=0的焦點(diǎn)即為所求的自變量值。由x2系數(shù)為1gt;0，可知拋物線的開口朝上，若想使方程x2-3x+k=0的根分別為大于1和小于1的數(shù)，則應(yīng)保證當(dāng)x=1時，y<0。將x=1代入方程式可以得到k<2。

再如，在解x2+3x-4gt;0時，如果利用方程的常規(guī)解法則初中生不會，但是如果將該不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的圖象形式進(jìn)行求解即可迎刃而解。在此題中，將方程轉(zhuǎn)化為y=x2+3x-4，根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得y=x2+3x-4的圖象拋物線，求其與y=0的交點(diǎn)，然后由圖象可知使得ygt;0的x的取值范圍即為不等式的結(jié)。在求 x2+2x-10=3的近似解時，常規(guī)解法很難得到近似解。此時，可求二次函數(shù)y=x2+2x-10所形成的拋物線與一次函數(shù)y=3形成的直線交點(diǎn)，由交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)即可近似求出。由此可知，利用函數(shù)思想來解決不等式問題直觀明了、思路獨(dú)特、方法新穎，可以使復(fù)雜的問題簡單化，提高初中生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

三、用方程思想解決函數(shù)問題

初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常會遇到解決實(shí)際問題的題型，通過現(xiàn)實(shí)生活中遇到的實(shí)際問題，使學(xué)生自動將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決。初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常會遇到有函數(shù)圖象的問題，學(xué)生在看圖的時候經(jīng)常會有不懂的地方。這時，可通過與方程結(jié)合起來，將函數(shù)圖象所表示的實(shí)際問題用方程式表達(dá)出來，將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題思考轉(zhuǎn)化為簡單的解方程問題，可大大簡化工作量。例如在行程問題中，有如下題型：甲車和乙車以每小時60千米的速度從M地出發(fā)將貨物運(yùn)到N地。但是當(dāng)甲車和乙車出發(fā)一段時間后，M地的人發(fā)現(xiàn)甲車遺漏部分貨物，然后派丙車帶著甲車遺漏的貨物追甲車，規(guī)定丙車追上甲車將貨物給甲車后原路返回，三輛車在行駛過程中距離M地的距離與時間的圖象如圖所示：

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根據(jù)圖象探究如下問題：

（1）圖中B點(diǎn)的實(shí)際意義;

（2）丙車在甲車出發(fā)多久后追上甲車？距離M地多遠(yuǎn)？

（3）乙車和丙車迎面相遇的時候距離M地有多遠(yuǎn)？

在這道題中，如果初中生根據(jù)圖象列方程式會不知如何下手，此時可根據(jù)題中描述的數(shù)量關(guān)系畫出示意圖，然后再列方程，解方程。首先對B點(diǎn)的實(shí)際意義進(jìn)行探究。途中B點(diǎn)表示丙車和乙車相遇。且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為40，表示的是40分鐘，甲車從原點(diǎn)出發(fā)，故B點(diǎn)表示丙車在甲車出發(fā)后40分鐘時追上乙車。而B點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示的是距離，由乙車的速度為每分鐘60千米，可知B點(diǎn)的坐標(biāo)為（40，30），因此，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示的是丙車追上乙車時距離M地的距離為30千米。由此整理可知，B點(diǎn)的實(shí)際意義為丙車在距離M地30千米的距離追上乙車，耗時40分鐘。然后再對第二問進(jìn)行探究。由第一問的分析可知丙車的速度為每小時90千米，此時即可列方程組：設(shè)丙車x小時后追上甲車，則方程為60x=90（x-■），得出x=1，由此可知丙車是1小時后追上甲車。距離M的距離為60千米。最后再探究第三問。由第二問知甲車行駛一個小時后丙車追上，此時，乙車行駛時間為50分鐘，其行駛的路程為50千米。而丙車距離M地的距離為60千米，既二者相距10千米。由乙車速度為每小時60千米，丙車速度為每小時90千米，且兩車會車行駛，設(shè)其會車行駛用x小時相遇，則可得（60+90）x=10，解得x=1/15小時=4分鐘，由此可知乙車從離開M地到與丙車迎面相遇的總共行駛時間為54分鐘，然后根據(jù)乙車的行駛速度和時間可得其與丙車迎面相遇時距離M地的距離為54千米。根據(jù)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程的思想進(jìn)行解決，可以避免使學(xué)生迷惑，從而輕松解決問題。

總之，函數(shù)思想和方程思想之間的相互轉(zhuǎn)化在初中數(shù)學(xué)中會有很多類型，老師和學(xué)生應(yīng)在解題的過程中應(yīng)注意對各類型問題進(jìn)行歸納。在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法意識，使其在以后的做題中靈活轉(zhuǎn)化函數(shù)和方程思想，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和提高成績都有積極的作用。初中正是打基礎(chǔ)的關(guān)鍵時刻，通過掌握方程思想和函數(shù)思想并靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化二者的用法，對以后學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)有重要意義。

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編輯 段麗君