數(shù)學(xué)應(yīng)用是國際數(shù)學(xué)教育的熱點與焦點，涉及實際情境的問題設(shè)置和解法，是檢測、評估數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、觀點、方法處理實際問題的能力的有效舉措。筆者從現(xiàn)行教材出發(fā)，研習(xí)數(shù)學(xué)建模與求解方法，以構(gòu)建數(shù)模教與學(xué)的和諧與統(tǒng)一，促進課堂教學(xué)改革與發(fā)展，充實數(shù)學(xué)校本教研內(nèi)涵，提升教學(xué)效果。

函數(shù)模型及解法

借助數(shù)學(xué)探求科學(xué)認(rèn)知和刻畫自然規(guī)律的過程中，往往出現(xiàn)最值（最大或最小、最高或最低、最費或最省、最優(yōu)或最劣）等問題。如普通高中數(shù)學(xué)教材5中P112頁，“一段長36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個菜園的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？”

解法1：設(shè)矩形的一邊長為xm，另一邊為ym，則菜園周長為2（x+y）=36，菜園面積為xy.由算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)間的關(guān)系得知：≤（x+y）/2=9，xy≤81.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9m時，Smax=81m2。

解法2：設(shè)矩形的長為xm，則寬為（18-x）m，面積S=x（18-x）=18x-x2 （0∠x∠18）.由二次函數(shù)的幾何性質(zhì)可知：當(dāng)x=9m時，Smax=81m2。

從數(shù)學(xué)情境中可以抽象出數(shù)學(xué)模型，利用模型的方法解決實際問題是個人知識的內(nèi)化、能力的提升、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高和拓展，也是數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點和歸宿。

幾何模型及解法

人對客觀世界規(guī)律的認(rèn)識是由感性到理性，又由理性回到感性的定勢，思維方式從而趨于直觀和形象化。定向思維、發(fā)散思維、創(chuàng)造思維都以這種形象思維作為基礎(chǔ)，幾何模型表述數(shù)形思想是形象思維的具體途徑。

如新課標(biāo)人教版（數(shù)學(xué)A）中，“已知⊿ABC中，a、b、c是角A、B、C的對邊，S是⊿ABC的面積，若a=4，b=5，S=5，求c邊的長度”。

解法1：三角形面積公式模型其中p=（a+b+c）/2，化簡得，c4-82c2+1281=0，c1=，c2=。所以⊿ABC的c邊的長度是或。

解法2：三角形面積模型 S=bh=absinC，作任意三角形⊿ABC，即5=×5h=×5×4sinc，sinC=/2，即角C=600或1200。由余弦定理或Rt⊿勾股定理知，c1=，c2=.故⊿ABC的c邊的長度是或。

幾何解析模型可以設(shè)置體積、面積、質(zhì)量、重力等情境，利用空間、平面或數(shù)軸的維度進行幾何定位，確定幾何關(guān)系，建立幾何模型，解決相關(guān)數(shù)學(xué)實際問題。此類問題可以設(shè)置測繪等背景材料來展示。

三角模型及解法

數(shù)學(xué)語言既是數(shù)學(xué)思維的工具，又是數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，把自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)，并用專業(yè)的數(shù)學(xué)語言進行交流、思維，解決實際問題，三角模型就是最佳的例證。向量溝通了代數(shù)、幾何與三角，具有極其豐富的背景與內(nèi)涵，在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中有著廣泛的運用空間。如普通高中數(shù)學(xué)4中P100頁，“已知任意兩個非零向量a、b，試作=a+b， =a+2b， =a+3b。判斷A、B、C三點間的位置關(guān)系”。

解析：如果把b和a看作平面直角坐標(biāo)第一象限正半軸的兩個坐標(biāo)，則A點坐標(biāo)為A（b，a）;B點坐標(biāo)為B（2b，a）;C點坐標(biāo)為C（3b，a）.則AB、BC、AC三條直線的斜率KAB=（yB-yA）/（xB-xA）=0，KBC=（yC-yB）/（xC-xB）=0，KAC=（yC-yA）/（xC-xA）=0。同理證明A、B、C三點在同一條直線上。

數(shù)學(xué)語言與自然語言相互轉(zhuǎn)化的過程中，襯托出諸多背景材料（源于生活），振動方程所構(gòu)建的三角關(guān)系源于自然，并將為人類社會和改造大自然服務(wù)，這也是我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所獲得的感悟。

數(shù)理模型及解法

數(shù)理模型用于描述客觀世界中許多事物發(fā)生變化規(guī)律的數(shù)理思想，具有較強的現(xiàn)實意義和傳承功效，也是中學(xué)數(shù)學(xué)建模的重要內(nèi)容，是對數(shù)理活動的描白、拓展和特寫。如普通高中數(shù)學(xué)1中P63頁，“截止1999年底，我國人口約13億，如果今后能將人口平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多能為多少？我國人口數(shù)達18億的年份是？”

解析：列舉法分析。經(jīng)1年人口數(shù)為13（1+1%）;經(jīng)兩年人口數(shù)為13（1+1%）2;… 經(jīng)過x年人口數(shù)模型y=13（1+1%）x。當(dāng)x=20時，y=13×1.0120≈16億。由模型y=13×1.01x變形為x=㏒1.01y/13，當(dāng)y=18時，x=㏒1.01y/13==㏒1.0118/13≈33（年）。即經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多能為16億，2032年人口數(shù)可達到18億。

函數(shù)模型是一個統(tǒng)計量模式，受其定義域的限制和約束并賦意。教學(xué)中利用函數(shù)間的關(guān)系進行變形，既彰顯了函數(shù)間的內(nèi)在規(guī)律，起到事半功倍的效果，也搭建了模型間互為因果的鵲橋，使學(xué)習(xí)者茅塞頓開，受到啟發(fā)。

不等式的建模

在浩瀚的數(shù)學(xué)長河中，等量關(guān)系并不能窮盡所有的數(shù)量關(guān)系，不等式彌補了這一缺陷，并用簡潔的數(shù)形關(guān)系反映了現(xiàn)實生活中的不等量關(guān)系。不同的不等量關(guān)系，需要建構(gòu)不同的不等式模型來表述。如貼近生活的競賽游戲、個人收入與納稅、購物過程中的優(yōu)惠與打折等，廣泛的不等量背景演繹出相應(yīng)的不等量模型。

總之，探究數(shù)學(xué)模型就是把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的結(jié)果，并用之實現(xiàn)舉一反三、觸類旁通的神奇效果。如樹木的分杈、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列、星辰的運轉(zhuǎn)、日夜的更替，都遵循了某些自然規(guī)律，我們把這些自然規(guī)律歸納成數(shù)形語言，抽象為由特殊到一般的數(shù)學(xué)模型，就可以充分利用自然規(guī)律，并對自然規(guī)律加以推演、評估，人為地加以控制和改造，造福于社會。按其規(guī)律確立數(shù)理模型，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合量綱等對其賦意，就能實現(xiàn)我們數(shù)學(xué)建模的初衷。

（作者單位： 寧夏隆德縣職業(yè)中學(xué)）