鄭步春

摘要：數(shù)學(xué)觀察能力是獲取數(shù)學(xué)信息、加工數(shù)學(xué)信息的重要能力，具有目的性、有序性、取舍性等特點。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力應(yīng)落實在平時數(shù)學(xué)概念、運算法則、思維訓(xùn)練、解決問題的教學(xué)過程中，激發(fā)濃厚的觀察興趣、培養(yǎng)正確的觀察方法、錘煉良好的觀察品質(zhì)等是可行路徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)觀察能力；意義；特點；路徑

中圖分類號：G712 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094-（2015）06C-0025-04

一、數(shù)學(xué)觀察能力的意義

觀察是以感知為基礎(chǔ)，有目的、有選擇地認(rèn)識事物本質(zhì)與規(guī)律的一種方法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，觀察可為思維的展開提供感性材料，便于進一步發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。常用于形成概念、導(dǎo)出原理過程中發(fā)現(xiàn)事物的共性與規(guī)律，獲取解題過程中的有用信息。

觀察能力是構(gòu)成智力的一個重要組成部分。數(shù)學(xué)觀察能力是一種有目的、有計劃、有選擇的較持久的數(shù)學(xué)感知能力。在獲取數(shù)學(xué)信息方面表現(xiàn)為，對于數(shù)學(xué)材料形式化感知的能力，對問題形式結(jié)構(gòu)的理解能力，對數(shù)學(xué)現(xiàn)象本質(zhì)特征的洞察能力；在加工數(shù)學(xué)信息方面表現(xiàn)為，準(zhǔn)確概括數(shù)學(xué)關(guān)系和迅速進行數(shù)學(xué)運算的能力，簡化數(shù)學(xué)思維過程和簡便運算的能力，以相似的結(jié)構(gòu)和遷移的方法進行思維的能力。因此，它是關(guān)聯(lián)著理解、思考，有目的、有計劃的多種感知覺的綜合活動。

二、數(shù)學(xué)觀察能力的特點

（一）目的性。目的性是保證觀察能夠按照一定的方向和目標(biāo)進行的重要特點之一。人在沒有明確的目的感知水溫冷熱、色彩冷暖時，只是一般感知，不能稱為觀察。只有當(dāng)感知活動具有探明事物本質(zhì)特征的目的時才是觀察。

數(shù)學(xué)觀察能力的目的性是指解決數(shù)學(xué)問題。解題的第一步就是審題，審題的特質(zhì)即觀察，弄清題目已知什么條件與要求解什么結(jié)論；第二步能否實現(xiàn)概念的轉(zhuǎn)化，其條件和結(jié)論可轉(zhuǎn)化成什么，由此能否建立條件和結(jié)論之間的聯(lián)系；第三步帶著思考觀察題目，還可挖掘出一些隱含條件，看看哪些條件還未用到，未用到的條件換個說法是什么，與要解決的問題有何聯(lián)系。如此追問，確保感知題意的每個環(huán)節(jié)都有明確的目的。

（二）有序性。從局部入手，有條理地思考整體解決問題的辦法，要求觀察既要循序漸進，又要全面系統(tǒng)。例如：求1+22+33+44+…20002000的和的末位數(shù)字。

要求和的末位數(shù)字，觀察的末位數(shù)字是什么，再看有什么規(guī)律、能組成以多少為周期的循環(huán)序列。首先觀察前10個數(shù)的末位數(shù)字1、22、33、…，1010，依次為1、4、7、6、5、6、3、6、9、0；再觀察1111、1212、1313…，2020的末位數(shù)字依次為1、4、7、6、5、6、3、6、9、0。這樣所有的末位數(shù)字組成以10為周期的循環(huán)序列，而且每個循環(huán)節(jié)和的末位數(shù)字是7。因此，由1開始，1+22+33+42+…+20002000可化為200個循環(huán)節(jié)。所以，原式的末位數(shù)字和是×200，即原式末位數(shù)字是0。

（三）取舍性。感性認(rèn)識與理性思考是觀察力的主要因素。理性思考具有把握事物本質(zhì)特征的作用，它可使人們及時地把握觀察到的客體意義，增強觀察的完整性、真實性和深刻性，便于取舍與選擇。

在觀察過程中，運用基本的數(shù)學(xué)方法，有效地比較、分類、分析、歸納、綜合，考察問題的各部分及整體特性，就會使人們易于把握問題的整體和部分。例：計算1+2+3+…+100的和。

求和問題，將數(shù)一個一個累加，當(dāng)然能夠算出結(jié)果，由于加數(shù)多就麻煩了。在觀察和式加數(shù)特點的同時，將不同加數(shù)轉(zhuǎn)化為相同加數(shù)相加，再將加法化為乘法可簡便地解決問題。按100+99+98+…+1結(jié)果，與原式是相等的；將此式與原式相加，再觀察其部分的特點，1+100、2+99、3+98、…、100+1都相等。這就是倒序相加法。

（四）敏銳性。觀察的敏銳性指善于發(fā)現(xiàn)易被忽略的信息。有些問題直接求解不易入手，可間接解決。如從數(shù)形結(jié)合的角度，將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系，借助幾何圖形，可使問題得到巧妙解決。

（五）全面性。要獲得觀察對象的全部信息，在觀察過程中，不僅要注意到事物比較明顯的特征，更要考察事物比較隱蔽的特征。許多數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的背景設(shè)置與求解工具是不一致的，因而全面觀察命題的構(gòu)成是很重要的。

觀察力的各種特點在學(xué)習(xí)活動中有各自不同的體現(xiàn)。觀察的目的性是學(xué)習(xí)目的性的一個有機組成部分，它保證學(xué)習(xí)能夠按照一定的方向和目標(biāo)進行；觀察的計劃性，是循序漸進地學(xué)習(xí)不可缺少的心理條件，有助于學(xué)習(xí)者獲得系統(tǒng)化的知識；觀察的取舍性有助于學(xué)習(xí)者對知識的理解；觀察的敏銳性有助于學(xué)習(xí)者學(xué)會善于發(fā)現(xiàn)易被忽略的信息；觀察的全面性有助于學(xué)習(xí)者能全面深刻準(zhǔn)確地領(lǐng)會獲得的知識。在學(xué)習(xí)中，必須把觀察力的各種品質(zhì)結(jié)合起來，按照預(yù)定的目標(biāo)去獲得系統(tǒng)的、深刻的、真實可靠的感性知識。

三、數(shù)學(xué)觀察能力的培養(yǎng)路徑

（一）注重在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中建立正確的觀察目的

數(shù)學(xué)概念教學(xué)常常采用溫故知新、直接啟發(fā)、巧設(shè)懸念、實驗演示、類比引導(dǎo)、情景創(chuàng)設(shè)等教學(xué)方法，目的是引導(dǎo)學(xué)生主動地、自覺地、有意識地觀察認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征。這樣不僅使學(xué)生明確學(xué)習(xí)新知識的必要性，而且還能引起學(xué)生認(rèn)知沖突，啟動思維機制，甚至激發(fā)積極愉快的情緒，從而產(chǎn)生積極的思考活動。如在角的概念推廣教學(xué)中，運動員擲鏈球時，觀察旋轉(zhuǎn)方向可以是逆時針也可以是順時針，旋轉(zhuǎn)量也不止一個平角，那如何來度量角的大小呢？在函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)中，可提出問題，引導(dǎo)學(xué)生：觀察圖象的變化趨勢概括出當(dāng)自變量增大時函數(shù)值的變化規(guī)律。

問題驅(qū)動，使學(xué)生感知活動帶著問題、帶著任務(wù)按預(yù)定的方向和目標(biāo)進行觀察，既激發(fā)了學(xué)生觀察的興趣，又使學(xué)生意識到有效觀察離不開正確的觀察目的。

（二）注重在運算法則教學(xué)中培養(yǎng)正確的觀察方法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是圖形的識別、數(shù)據(jù)之間關(guān)系的把握，還是基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、綜合分析能力的提高等都離不開認(rèn)真、仔細(xì)的觀察。如學(xué)生在運算中的許多差錯，不善解題意、不善于對公式進行“等價變形”，通常與觀察能力不足分不開。運算是指根據(jù)運算法則與公式對具體對象進行變形的演繹過程。數(shù)學(xué)運算通常包括數(shù)值計算、式的恒等變形、方程與不等式的求解，函數(shù)的初等運算、超越運算、微分、積分運算，各種幾何量的測算，概率統(tǒng)計的初步計算等。因此，運算法則教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會觀察的重要載體之一。在教學(xué)中，要針對大多數(shù)學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗和獨立、系統(tǒng)的觀察能力，在觀察事物時，往往抓不住事物的本質(zhì)，或者看得粗心、籠統(tǒng)，或者缺乏運用已有知識經(jīng)驗觀察，甚至觀察無序等問題。可采用問題導(dǎo)向、任務(wù)驅(qū)動等教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察、欣賞地進行恒等變形與圖形的變換，保證觀察的正確性，進而培養(yǎng)正確的觀察方法。

如培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會解剖觀察方法時，可把觀察對象分解成兩個以上的部分進行觀察。引導(dǎo)學(xué)生明確整體是由部分構(gòu)成的，在觀察整體的同時，還應(yīng)觀察其部分的特性，從部分中把握整體，這樣，就能抓住解決問題的關(guān)鍵，使解題過程簡化。像“利用樣本估計總體”就是統(tǒng)計的核心思想。

（三）注重在思維訓(xùn)練教學(xué)中錘煉良好的觀察品質(zhì)

觀察能力的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在觀察品質(zhì)中，它包括觀察的變通性、批判性、嚴(yán)密性、發(fā)散性等品質(zhì)。應(yīng)從創(chuàng)設(shè)問題教學(xué)情境、優(yōu)化教學(xué)方法、挖掘教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計教學(xué)過程、強化思維訓(xùn)練等方面培養(yǎng)學(xué)生的觀察品質(zhì)。

1.數(shù)學(xué)觀察的變通性。觀察的變通性是指觀察角度調(diào)整的及時性以及觀察中思維的發(fā)散性、就是引導(dǎo)學(xué)生善于從習(xí)慣的思維模式或通常的題型求解套路中擺脫出來。根據(jù)數(shù)學(xué)觀察變通性的主要表現(xiàn)，應(yīng)從以下幾個方面訓(xùn)練。

透過現(xiàn)象看本質(zhì)。變通首要的是抓住問題關(guān)鍵、抓住問題本質(zhì)。心理學(xué)告訴我們，感覺和知覺是認(rèn)識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺。持久的知覺要達成有效的目的，離不開透過現(xiàn)象看本質(zhì)。任何一道數(shù)學(xué)題，都是由一定的數(shù)學(xué)命題構(gòu)成的。要想解決它，就必須觀察題目所給的具體條件與關(guān)系，對其進行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察與思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

把握特征聯(lián)想。聯(lián)想的過程就是變通的過程，聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。有一定難度的數(shù)學(xué)問題，其中所隱含的解決辦法都是不明顯的、間接的。因此，解題的方法如何選擇，取決于能否從觀察對象本質(zhì)特征出發(fā)，靈活運用有關(guān)知識與方法，從相同、相近、相似角度聯(lián)想或揣想，尋找問題解決的突破口。

換個說法轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的一種十分重要的思維方法。其本質(zhì)特征就是換個說法。具體地講，轉(zhuǎn)化就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成等價簡單明了的問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時應(yīng)善于將題目中的關(guān)鍵詞、語段或觀察到的具體特征換個說法，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的。

2.數(shù)學(xué)觀察的批判性。數(shù)學(xué)觀察的批判性表現(xiàn)在觀察活動中就是指不盲從、善于發(fā)表獨立見解。當(dāng)所要解決的數(shù)學(xué)問題較為復(fù)雜即面對數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系時，直接觀察一般難以入手，這就要思考從其他角度觀察，從而在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設(shè)，獲得獨特的解決問題的方法。根據(jù)數(shù)學(xué)觀察批判性的特點，可從以下幾個方面訓(xùn)練。

學(xué)會質(zhì)疑。學(xué)貴有疑。朱熹說“讀書無疑者，須教有疑，乃能驟進?！眮喞锸慷嗟抡f過：“思維從疑問和驚奇開始”。當(dāng)問題較為復(fù)雜，思路、方法不夠明確時，可設(shè)疑——問題能否再簡單一些或特殊一些，通過觀察具體的、特殊的情況，與原命題進行比較，從而探求解題思路和方法。當(dāng)然，只有牢固掌握基礎(chǔ)知識，才能簡化問題。同時，在解題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，也是批判性的體現(xiàn)。

善于反思。當(dāng)問題較為抽象，題意不夠明顯，思路、方法難尋時，一般可反思問題能否具體些；一些從正面觀察難于解決的問題，可反思——能否從其反面觀察，使題意明確，思路清晰，方法便捷。同時也要養(yǎng)成在觀察過程中反問自己：觀察所得結(jié)論有根據(jù)嗎？觀察正確嗎？這是最終結(jié)果嗎？只有步步為營，穩(wěn)打穩(wěn)扎，才能確保觀察正確無誤。

勇于思考。認(rèn)真思考是批判性思維的基本要素之一。在觀察中思考，就是要尋找更好的觀察點、決定或者判斷。有時往往受思維定勢或別人提示的影響，觀察時盲目附和，不能提出自己的看法、發(fā)表不同見解，就不利于提高思維品質(zhì)。因此，在解決問題時，應(yīng)積極地獨立思考，有自己獨到的見解，才能將感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識。如對于一般函數(shù)的定值、定點等問題，直接求解一般難于解決，這時，可根據(jù)題設(shè)要求仔細(xì)觀察思考特殊狀態(tài)下呈現(xiàn)出來的性質(zhì)和規(guī)律，然后類比解決。

3.數(shù)學(xué)觀察的縝密性。周密、細(xì)致是觀察者能真實、全面反映觀察對象具體特征的內(nèi)在要求。由于數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性和論證具有嚴(yán)密邏輯性的特點。要求獲取與加工數(shù)學(xué)信息的觀察過程，既要明確觀察目的，又要遵循嚴(yán)格的邏輯規(guī)則。但是，由于學(xué)生已有知識經(jīng)驗的差異以及精益求精心理品質(zhì)的差異，學(xué)生的觀察過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，應(yīng)教導(dǎo)學(xué)生明確觀察目的、全面考察內(nèi)容，養(yǎng)成細(xì)心的、一絲不茍的觀察習(xí)慣。

4.數(shù)學(xué)觀察的發(fā)散性。數(shù)學(xué)觀察發(fā)散性指的是對一個對象能從多種角度觀察。在教學(xué)中可采用舉一反三、觸類旁通辦法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如有些數(shù)學(xué)題，教師可對例題進行有目的、多角度的演變，調(diào)換命題的題設(shè)和結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過一題多變的觀察和思考，在解題過程中開闊思路，尋求多種方法解決問題，使學(xué)生認(rèn)識到“辦法總比問題多”。等差數(shù)列通項公式、前n項和公式的應(yīng)用，通過變式可使學(xué)生明白“知三求二”的道理。

題型變式可從不同角度調(diào)換問題的題設(shè)和結(jié)論，解法不盡相同，但是它們都依據(jù)了公式。這樣教學(xué)為學(xué)生從不同角度去觀察問題、思考問題，用不同方法解決問題提供了豐富的材料，使學(xué)生的知識在更廣闊的領(lǐng)域內(nèi)循環(huán)，觀察的敏銳性得以培養(yǎng)和練習(xí)，在突破學(xué)生聚合思維模式上具有一定的意義。

（四）注重在解決問題教學(xué)中提煉靈動的觀察策略

觀察策略就是為了實現(xiàn)觀察目標(biāo)，事先制定的觀察預(yù)案，并且，在實現(xiàn)目標(biāo)的過程中，根據(jù)對觀察對象理解的變化來制定出新的方案，或者根據(jù)對觀察對象理解的變化選擇相應(yīng)的方案。由此可見，靈動的觀察策略體現(xiàn)的是生成性學(xué)習(xí)水平。在解決問題教學(xué)中要善于站在哲學(xué)的高度，用聯(lián)系的觀點、矛盾的觀點、運動的觀點，指導(dǎo)學(xué)生有目的地、全面地、精確地、深刻地、有序地觀察數(shù)理、空間、結(jié)構(gòu)等，引導(dǎo)學(xué)生把握靈動的觀察策略，從而學(xué)會科學(xué)地思維，發(fā)展智力。

1.問題設(shè)計要精選素材，體現(xiàn)觀察策略特征。

策略本質(zhì)特征就是在一個大的“過程”中進行的一系列行動、思考、選擇。解決問題的策略有一般策略和特殊策略之分。一般策略用于解決常規(guī)問題，如分析法和綜合法；特殊策略適用于解決非常規(guī)實際問題。由于一些問題本身數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)特點的不同，適用的觀察策略也就有所不同。如一些問題，僅從文字條件理解數(shù)量關(guān)系較為困難，但通過畫圖采用數(shù)形結(jié)合的方法等，可很快觀察出數(shù)量之間的關(guān)系。

2.問題解決要掌握方法，體驗觀察策略價值

策略和方法是有區(qū)別的。方法主要指怎樣做，如計算的方法、畫圖的方法等，它屬于程序性知識。從本質(zhì)而言，方法是對外辦事的能力。策略是怎樣做好，是對可能多的方法做出選擇，需要對方法本質(zhì)內(nèi)容有清晰的認(rèn)識，它是個體對內(nèi)控制的能力。因此，觀察策略的形成需要學(xué)生體驗其價值。觀察策略是建立在對方法本質(zhì)內(nèi)容有清晰的認(rèn)識基礎(chǔ)上的。因此在教學(xué)時，教師應(yīng)注重讓學(xué)生大膽嘗試，多采用實踐探究、合作交流等學(xué)習(xí)方式解決問題，從中體會觀察策略；同時教師要重視恰當(dāng)?shù)狞c撥與引導(dǎo)，以幫助學(xué)生形成解題方法和體驗策略價值。

3.問題總結(jié)要提升認(rèn)識，體會觀察策略內(nèi)涵。

策略也是決策。如何決策，還要認(rèn)識到策略和方法也是有聯(lián)系的。策略的形成首先要以學(xué)生學(xué)會并掌握方法為前提，因此體會策略內(nèi)涵，要從學(xué)習(xí)方法開始，沒有方法的習(xí)得，就沒有策略形成的條件。當(dāng)然學(xué)生形成了觀察策略，就能更加自主、合理、靈活地應(yīng)用方法，進而提高解決問題的能力，兩者相輔相成。學(xué)生運用歸納與演繹、綜合與分析等方法，能夠洞察對象本質(zhì)以及揭示對象間的相互關(guān)系，把握問題的本質(zhì)和規(guī)律，深入細(xì)致的分析問題。由此可見，數(shù)學(xué)觀察活動需要一定的抽象程度和邏輯水平；尤其發(fā)掘觀察對象隱含條件時，更能體會觀察始終與思維緊密在一起的特點。學(xué)生在解決問題過程中的感受和體驗是零散的、無意識的，因此，解題后教師要幫助學(xué)生整理、歸納解決問題過程中的體驗，最終內(nèi)化成自己的策略。如何學(xué)會觀察，一般地應(yīng)按照由整體到部分或由部分到整體等一定的順序，捕捉題目的特征，同時，邊觀察邊思考，使觀察與思維互相滲透，提取解題策略。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)具有數(shù)學(xué)本身的特點，在教學(xué)中要通過利用數(shù)學(xué)內(nèi)容中蘊含的豐富數(shù)學(xué)思想方法，采用多種手段，對學(xué)生進行長期的、有目的的訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的觀察愛好，把握觀察的基本方法，形成良好的觀察品質(zhì)，養(yǎng)成主動觀察、善于觀察的習(xí)慣，逐步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。

（責(zé)任編輯：張志剛）