☉江蘇省張家港市教育局教研室 羅建宇

·江蘇省張家港市高中數(shù)學特級教師工作室·

可參考答案，但不迷信答案*
——對一道習題解答的勘誤

☉江蘇省張家港市教育局教研室 羅建宇

近日，筆者在高三第二輪復習的調研聽課中遇到一道錯解的習題，通過百度搜索，發(fā)現(xiàn)類似問題還有其他形式的錯解現(xiàn)象，為“撥亂反正”，撰此短文，供同行們教學參考.

題目已知函數(shù)f（x）=－x3+ax2+b（a，b∈R），若函數(shù)y=f（x）的圖像上任意不同兩點的連線的斜率都小于2，求實數(shù)a的取值范圍.

配套教師用書答案：設函數(shù)y=f（x）的圖像上任意不同的兩點為P1（x1，y1），P2（x2，y2），不妨設x1＞x2，

于是，上述教師用書上的答案為錯解.那么，看似推理嚴密的解答中，錯誤在哪兒呢？原來，（錯解中所設x1＞x2，其實只需x1≠x2），ax2+2＞0對x1≠x2恒成立，因而此處擴大了x1的范圍導致了錯誤.在對二（多）元函數(shù)、不等式或方程處理時，我們須特別留意其隱含的限制條件，即各元之間的相互制約，以免出錯.下面給出本題的兩種正確解答.

上述兩種解法中，解法1是借助原題錯解的提示，利用變量分離和構造不等式解得，此法的意義：一是其采用變量分離的辦法給出此類問題的一種一般算法，即求分離出的二元函數(shù)f（x1，x2）的值域；二是這種構造不等式的技巧在競賽數(shù)學中常用.解法2構造函數(shù)利用導數(shù)解答，過程簡潔明了，也是實際教學中常用的優(yōu)選方法.事實上，由于此習題中涉及的是三次函數(shù)，因此參考答案中大費周章地用了判別式，由于變量x1≠x2致使原解答錯誤，如若換成類似的一個問題：已知f（x）=alnx-x2，若對區(qū)間（0，1）內任取兩個不等的實數(shù)p，q，＞1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.筆者想，此時教師用書給出的答案一定用到解法2的思想.F

*本文是蘇州市教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度重點立項課題《基于數(shù)學素養(yǎng)生成的教學實踐與校本課程開發(fā)研究》（課題編號：130801243）的研究成果之一．