摘要：在設(shè)計(jì)最優(yōu)控制系統(tǒng)時(shí)，必須首先分析出系統(tǒng)的可控性與可觀性，利用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行分析時(shí)，必須要進(jìn)行線性代數(shù)矩陣的化簡(jiǎn)，整個(gè)過(guò)程顯得比較繁瑣，且容易出錯(cuò)，借助MATLAB軟件可以很好的解決這一問(wèn)題，基于以上思想，本文介紹了如何使用MATLAB對(duì)線性離散系統(tǒng)可控性與可觀性的分析。

關(guān)鍵詞：控制系統(tǒng) MATLAB 可控性 可觀性

中圖分類號(hào)：TB114.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2015）01-0000-00

Abstract： When designing optimal control system， we must analyze the controllability and observability of the system. And when analyzing with traditional methods， we have to simplify matrix of linear algebra. The whole process is complex and error - prone. With the help of MATLAB software， this problem is easy to solve. Therefore， based on this analysis， the paper introduces how to use the controllability and observability MATLAB linear discrete - time systems

Key words： control system；MATLAB； controllability； observability

1 引言

系統(tǒng)的可控性與可觀性分析對(duì)狀態(tài)空間分析具有十分重要的作用，系統(tǒng)的可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)是否能夠可以被控制，而系統(tǒng)的可觀性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化是否能夠由輸出檢測(cè)反應(yīng)出來(lái)。在進(jìn)行控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，必須首先要分析系統(tǒng)是否可控以及是否可觀，系統(tǒng)的可控性與可觀性分析往往是確定最優(yōu)系統(tǒng)是否有解的先決條件，可見系統(tǒng)的可控性與可觀性對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。但傳統(tǒng)的方法在分析系統(tǒng)的可控性與可觀性分析時(shí)，要進(jìn)行線性代數(shù)矩陣的化簡(jiǎn)，過(guò)程繁瑣，如果借助MATLAB軟件分析，可以簡(jiǎn)化分析過(guò)程，同時(shí)還可以進(jìn)行其他性能的分析。MATLAB是當(dāng)今最流行的數(shù)值計(jì)算軟件，MATLAB控制工具箱已經(jīng)覆蓋了控制系統(tǒng)的各個(gè)領(lǐng)域。

2 可控性分析

對(duì)于線性離散系統(tǒng)：

對(duì)于線性離散系統(tǒng)分析，狀態(tài)向量系統(tǒng)可控的充分必要條件是可控性矩陣

CO=[G FG …Fn-1G] 的秩為n，即：rank[G FG …Fn-1G]=n

傳統(tǒng)的方法是利用線性代數(shù)的知識(shí)求出可控性矩陣的秩，不但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且有可能出錯(cuò)，如果借助MATLAB軟件，只需按照MATLAB的函數(shù)命令ctrb（ ）輸入相關(guān)參數(shù)即可，函數(shù)命令ctrb（ ）的調(diào)用格式為：CO=ctrb（A，B）

式中A為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣F或者是連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A，B是離散系統(tǒng)的控制矩陣G或者是連續(xù)系統(tǒng)的控制矩陣B，CO為系統(tǒng)的可控性矩陣，其實(shí)函數(shù)命令ctrb（ ）即可用于離散系統(tǒng)也可以用于連續(xù)系統(tǒng)。

若用函數(shù)命令ctrb（ ）運(yùn)行后的可控性矩陣相同，最后計(jì)算出可控性矩陣的秩，然后根據(jù)運(yùn)行結(jié)果判斷可控性矩陣的秩是否滿足狀態(tài)完全可控的充分必要條件。

例如某離散系統(tǒng)的空間狀態(tài)方程為：

若采樣周期T=0.1s，通過(guò)MATLAB軟件來(lái)分析離散系統(tǒng)的可控性。

F=[1 0 -1；0 -2 1；3 0 2]；A=F；

G=[2；-1；1]；B=G；

C=[0 1 0]；D=0；n=3；

CAM=ctrb（A，B）

CO=[G F*G F*F*G]

程序運(yùn)行后的結(jié)果：

CAM =

2 1 -7

-1 3 2

1 8 19

CO =

2 1 -7

-1 3 2

1 8 19

從運(yùn)行的結(jié)果可以看出，可控性矩陣CO=CAM?，F(xiàn)以MATLAB程序來(lái)確定離散系統(tǒng)的可控性。

F=[1 0 -1；0 -2 1；3 0 2]；A=F；

G=[2；-1；1]；B=G；

C=[0 1 0]；D=0；N=size（F）；n=N（1）；

CAM=ctrb（A，B）；

rcam=rank（CAM）；

if rcam==n

disp（'system is controlled'）

elseif rcam

disp（'system is no controlled'）

end

程序運(yùn)行結(jié)果為：

system is controlled

程序運(yùn)行的結(jié)果可以看出系統(tǒng)時(shí)完全可控的。

3 可觀性分析

設(shè)離散系統(tǒng)的為

在對(duì)初始時(shí)刻l∈Tk的任一非零初始時(shí)刻x（l）=x0，都存在有限時(shí)刻m∈Tk，m>l，并且可以由[l，m]上的輸出y（k）唯一的確定x0，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻l是完全可觀測(cè)的。系統(tǒng)完全可觀測(cè)的條件是下列矩陣的秩等于n。

其中rank（0B1）=n

MATLAB中用函數(shù)命令obsv（ ）來(lái)求可觀性矩陣函數(shù)，函數(shù)obsv（ ）的格式為：

OB=obsv（A，C）

其中參數(shù)A即為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣F或者連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A，參數(shù)C為離散系統(tǒng)的觀測(cè)矩陣或者是連續(xù)系統(tǒng)的觀測(cè)矩陣，OB為返回的系統(tǒng)可觀性矩陣。同樣以上面的空間狀態(tài)方程來(lái)分析系統(tǒng)的可觀性。

F=[1 0 -1；0 -2 1；3 0 2]；

G=[2；-1；1]；

C=[0 1 0]；

D=0；

OB=obsv（F，C）

OB1=[C；C*F；C*F*F]

OB2=[C' F'*C' F'*F'*C']'

程序運(yùn)行的結(jié)果為：

OB =

0 1 0

0 -2 1

3 4 0

OB1 =

0 1 0

0 -2 1

3 4 0

OB2 =

0 1 0

0 -2 1

3 4 0

從運(yùn)行結(jié)果可以看出OB=OB1=OB2?，F(xiàn)以程序來(lái)分析系統(tǒng)的可觀性。

F=[1 0 -1；0 -2 1；3 0 2]；

G=[2；-1；1]；

C=[0 1 0]；D=0；N=size（F）；n=N（1）；

OB=obsv（F，C）；

rob=rank（OB）；

if rob==n

disp（'system is observable'）

elseif rob～=n

diap（'system is no observable'）

end

system is observable

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)上述具體實(shí)例的分析，借助MATLAB軟件分析線性離散系統(tǒng)的可控性與可觀性是可行的，與傳統(tǒng)的線性代數(shù)矩陣化簡(jiǎn)相比，只需要輸入對(duì)應(yīng)的矩陣和簡(jiǎn)單的兩個(gè)函數(shù)命令即可對(duì)其進(jìn)行分析，這樣的分析簡(jiǎn)潔明了，不容易出錯(cuò)。在系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)中具有較強(qiáng)的實(shí)用性，MATLAB軟件已經(jīng)成為當(dāng)今控制領(lǐng)域內(nèi)最廣泛應(yīng)用在控制系統(tǒng)的計(jì)算、仿真與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的軟件。

參考文獻(xiàn)

[1] 胡壽松.自動(dòng)控制原理第四版[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2005年.

[2] 黃忠霖.控制系統(tǒng)MATLAB計(jì)算及仿真[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2004，9.

收稿日期：2015-01-16

作者簡(jiǎn)介：蒲永卓（1976—），男，甘肅臨洮人，碩士，研究方向：計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制。