叢 正,袁基瑜

(1.東北財經(jīng)大學 金融學院,遼寧 大連 116025；2.黑龍江工程學院 經(jīng)濟管理學院，黑龍江 哈爾濱 150050)

基于ARMA模型的上證指數(shù)月度數(shù)據(jù)實證分析

叢 正1,袁基瑜2

(1.東北財經(jīng)大學 金融學院,遼寧 大連 116025；2.黑龍江工程學院 經(jīng)濟管理學院，黑龍江 哈爾濱 150050)

上證指數(shù)是由上海證券交易所編制，反映上海證券交易市場的總體走勢，為投資者提供新的投資尺標。根據(jù)美國統(tǒng)計學家Box Gep和英國統(tǒng)計學家Jenkins G M提出的Box-Jenkins方法，即時間序列分析法，以2009年1月至2013年2月上證指數(shù)的月收盤價格為研究樣本，由不平穩(wěn)的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過變換形成新的平穩(wěn)時間序列，建立ARMA模型進行定量分析，得出相鄰6個月收盤價之間的關系模型。

上證指數(shù)；月度數(shù)據(jù)；ARMA模型

上證綜指即上海證券綜合指數(shù)(Shanghai composite index),簡稱上證綜指，它是上海證券交易所編制的，以上海證券交易所掛牌上市的全部股票為計算范圍，以發(fā)行量為權數(shù)綜合，反映了上海證券交易市場的總體走勢。上證所將選擇已完成股權分置改革的滬市上市公司組成樣本，發(fā)布新上證綜指，以反映這批股票的市場走勢，為投資者提供新的投資尺標。

新上證綜指發(fā)布以2005-12-30為基日，以當日所有樣本股票的市價總值為基期，基點為1 000點。新上證綜指簡稱“新綜指”，指數(shù)代碼為000017。新綜指當前由滬市所有G股組成。此后，實施股權分置改革的股票在方案實施后的第二個交易日納入指數(shù)，指數(shù)以總股本加權計算。據(jù)統(tǒng)計，以2005-12-15收盤價計算，新綜指市價總值為3 927億元，流通市值為1 425億元，占市場的比重分別為18%及22%。隨著股權分置改革的不斷深入，新綜指占市場比重將逐漸增大。2005-12-15新綜指市盈率為12.14倍，比上證綜指低23.47%。新上證綜指是中國證券市場由權威機構發(fā)布的反映股權分置改革實施后公司概況的指數(shù)，隨著股權分置改革的全面推進，將不斷有新的樣本加入新上證綜指。

1 ARMA基本原理及建模步驟

1.1 ARMA模型的基本原理

ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是研究時間序列的重要方法，由自回歸模型(AR型)與滑動平均模型(MA型)混合構成。由美國統(tǒng)計學家BOX GEP和英國統(tǒng)計學家Jenkins G M在20世紀70年代提出的時間序列分析模型。建立ARMA模型的前提條件是，建立模型的時間序列是由零均值平穩(wěn)隨機過程產(chǎn)生的，其過程的隨機性質(zhì)不變，表現(xiàn)為序列的均值、方差不隨時間T變化，在圖形上表示為所有樣本點都在某一水平線上下隨機地波動。一般的ARMA(p,q)模型可表示為

時間序列yt服從(p,q)階自回歸移動平均模型，或者記為

式中:εt為白噪聲序列，p和q都是非負整數(shù)。q=0，模型即為AR(P);p=0，模型即為MA(q)。ARMA模型是AR(P)模型和MA(q)模型的結(jié)合，其主要研究變量當期值與若干滯后期值及誤差項之間的關系，并在此基礎上對后期數(shù)據(jù)進行預測，是時間序列分析中經(jīng)常要用到的模型。下面就以上證指數(shù)為例進行實證分析。ARMA分析對象是隨機特性不變的平穩(wěn)序列，對于非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)，不能直接用ARMA模型處理，只有轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，才可以用ARMA(p,q)。

1.2 時間序列的分析工具和方法

1)ARMA的定階方法。對新生成的平穩(wěn)時間序列進行相關系數(shù)檢驗，觀察自相關系數(shù)AC圖和偏自相關系數(shù)PAC圖，看有多少個自相關系數(shù)(偏自相關系數(shù))落在5%的置信區(qū)間之外，其余的落在區(qū)間之內(nèi)，表明該平穩(wěn)序列的移動平均過程階數(shù)(自回歸過程的階數(shù))就為多少。若AC和PAC都沒有明顯的截尾性，則試試ARMA模型，通過反復的嘗試，有可能存在不止一組的(p,q)值都能通過識別檢驗，這時比較它們的AIC值，選擇AIC值越小的那個模型。

2)ADF檢驗方法。ADF檢驗也稱為單位根檢驗，即檢驗時間序列是否存在單位根。一般進行ADF檢驗的步驟如下：①對原始時間序列進行檢驗，此時第二項選level。如果ADF檢驗值(t值)大于某顯著水平值(一般是5%)，則不通過檢驗，即存在單位根，說明原始時間序列不平穩(wěn)；②對原始時間序列進行一階差分后再檢驗，即第二項選1st difference，若仍然未通過檢驗，則需要進行二次差分變換；③二次差分序列的檢驗，即第二項選擇2nd difference，如果ADF檢驗值(t值)小于某顯著水平值(一般是5%)，則通過檢驗，即不存在單位根，一般到此時間序列就平穩(wěn)了。

1.3 建模步驟

ARMA模型要求時間序列必須平穩(wěn)，在確定的時間內(nèi)數(shù)據(jù)受到的影響必須大致相同。若所給序列是非平穩(wěn)的，BOXJIN提出了具有廣泛影響的建模思路，可分為以下幾步：

1)對原序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗，如果為非平穩(wěn)序列，可以通過差分法或?qū)?shù)變換使序列滿足平穩(wěn)條件。

2)求出觀察時間序列的樣本自相關系數(shù)AC和樣本偏自相關系數(shù)PAC等統(tǒng)計量，根據(jù)AIC(赤池準則)和SC(施瓦茨準則)確定ARMA模型的階數(shù)p和q。

3)利用最小二乘法進行參數(shù)估計，并進行參數(shù)顯著性檢驗，檢驗模型本身的合理性。

4)檢驗模型的有效性，即殘差的白噪音檢驗，如果擬合模型沒有通過檢驗，轉(zhuǎn)向步驟2)，重新選擇模型再擬合；如果通過檢驗，可以確定模型。

5)利用擬合模型，選擇預測數(shù)據(jù)序列的未來走勢。

2 對上證指數(shù)月收盤價的實證分析和預測

基于以上的建模步驟和理論介紹，選取實證研究數(shù)據(jù)。由于2008年上市公司數(shù)量的增加，上證指數(shù)收盤明顯變化，選取2009年1月至2013年12月的月上證指數(shù)收盤價格為研究樣本，對各月收盤時上證指數(shù)的變化進行分析。

2.1 平穩(wěn)化處理

圖1 上證指數(shù)原始序列的單位根檢驗

由圖1的單位根檢驗可知，上證指數(shù)月收盤價原始序列Y的ADF檢驗t統(tǒng)計量檢驗值為-2.328，均大于1%、5%、10%置信水平下的t檢驗值，且其Prob.值為0.167 5,遠遠大于0.05，序列Y顯著接受存在一個單位根的假設，所以原始序列不平穩(wěn)，需要對原始序列進行二次差分，使其平穩(wěn)化。先對Y一階差分得：di=yi+1-yi，再一階差分得：zi=di+1-di=yi+2-2yi+1+yi。于是由不平穩(wěn)序列Y經(jīng)過變換得到了平穩(wěn)的序列Z。

2.2 序列的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)

從圖2可看出，序列Z在0.05的顯著性水平下顯著拒絕存在單位根的原假設，所以認為Z是平穩(wěn)的，可以對其建立ARMA模型。由圖3可知，平穩(wěn)時間序列Z的自相關系數(shù)呈現(xiàn)出拖尾特征，逐漸減小，偏自相關系數(shù)的前面三階不在5%的置信區(qū)間內(nèi)，所以平穩(wěn)時間序列Z為AR(3)模型。

圖2 Z的單位根檢驗

圖3 平穩(wěn)時間序列Z的相關分析

由圖4的回歸結(jié)果可知序列Z的AR(3)模型為

(1)

圖4 Z的AR(3)模型的估計結(jié)果

圖5 AR(3)模型的殘差相關

圖6 AR(3)模型的擬合

2.3 殘差檢驗

通過圖5可知，回歸方程的殘差序列基本上是一個0均值的平穩(wěn)序列，從圖5的回歸方程殘差序列的相關系數(shù)可以看出不存在序列相關，且模型的各項統(tǒng)計量也很好。從圖6的擬合也可以看出，模型擬合效果非常好。

將zi=di+1-di=yi+2-2yi+1+yi代入式(1)，有

yt=1.177yt-1-0.062yt-2+0.215yt-3+

0.048yt-4-0.378yt-5+εt.

同時還預測出2014年1月、2月、3月和2013年12月份的上證指數(shù)收盤價情況，見表1。

表1 2013年12月和2014年1月～3月

3結(jié)束語

本文利用Box-Jenkins思想，對上證指數(shù)的月度收盤價這一時間序列進行建模和分析，了解了金融市場指數(shù)變化的基本特點。

通過對上證指數(shù)的時間序列分析，以2009年1月至2013年12月的月上證指數(shù)收盤價為研究數(shù)據(jù)樣本，對各月收盤時上證指數(shù)的變化進行實證分析，得出相鄰幾個月收盤價之間的關系模型：yt=1.177yt-1-0.062yt-2+0.215yt-3+0.048yt-4-0.378yt-5+εt。

ARMA模型很好地處理了非平穩(wěn)時間序列的建模問題，在時間序列預測上表現(xiàn)良好。借助EVIEWS 6.0軟件，將模型用于股票指數(shù)等時間序列的研究和預測，為趨勢預測和指導提供幫助和支撐。當然，因為指數(shù)變化的復雜性，模擬和預測還需要進一步的研究。

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[責任編輯：郝麗英]

Empirical analysis of monthly data of the Shanghai composite index based on ARMA mdel

CONG Zheng1，YUAN Ji-yu2

(1.College of Finance； Dongbei University of Finance and Economics， Dalian 116025，China； 2. College of Economics and Management， Heilongjiang Institute of Technology， Harbin 150050，China)

The Shanghai index is compiled by the Shanghai Stock Exchange，reflecting the overall trend of stock market in Shanghai，providing investors with a new investment scale.According to the American statistician Box Gep and British statistician Jenkins G M，who put up with the BOX-Jenkins method that is the time series analysis method，combining the Shanghai composite index of month closing price as the research sample from January 2009 to February 2013，not smooth of raw data through transformation to form new stationary time series，and set up ARMA model to quantitative analysis.Finally it obtains the adjacent relationship model between the closing price of 6 months.

Shanghai index；monthly data；ARMA model

2014-10-26

沈陽市科技局軟科學研究專項(F14-230-5-16)

叢 正(1973-)，男，博士研究生，研究方向：資本市場.

F8

A

1671-4679(2015)02-0052-03