趙小山，孔德富，何文章（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津　300222）

基于概念圖的微分中值定理的教學(xué)探索

趙小山，孔德富，何文章
（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

摘要：討論了概念圖的含義、基本理論、作用和制作方法，并將其運(yùn)用到微分中值定理的復(fù)習(xí)鞏固教學(xué)探索中，可以使學(xué)生很好地掌握微分中值定理的條件、表達(dá)式及其意義，教學(xué)實(shí)踐效果良好。

關(guān)鍵詞：概念圖；微分中值定理；教學(xué)探索

微分中值定理是一系列中值定理的總稱，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，主要是用來研究怎樣由導(dǎo)數(shù)f′的已知性質(zhì)來推斷函數(shù)f所應(yīng)具有的性質(zhì)[1]，是研究函數(shù)的有力工具，是碩士研究生考試中的常見題型，也是教學(xué)活動(dòng)中的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)。如何突破這個(gè)難點(diǎn)，尋找一種學(xué)生容易掌握的方法，概念圖不失為一種有力的工具。目前概念圖已經(jīng)被越來越多的人所關(guān)注，通過概念圖的學(xué)習(xí)能夠提高學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力及創(chuàng)新能力。本文討論概念圖的含義、基本理論、作用和制作方法，并將其運(yùn)用到微分中值定理的復(fù)習(xí)鞏固教學(xué)探索中，幫助學(xué)生掌握微分中值定理的條件、表達(dá)式及其意義，具有良好的教學(xué)效果。

1　概念圖

1.1概念圖的含義

概念圖的思想最早是20世紀(jì)60年代美國康奈爾大學(xué)諾瓦克（Joseph D Novak）教授等提出的，但是直到20世紀(jì)80年代概念圖這一名詞才最終被確立下來[2]。概念圖表示的是概念與概念之間相互關(guān)系的空間網(wǎng)絡(luò)關(guān)系圖，作為表示組織和表征知識(shí)的有力工具[3]，它包括節(jié)點(diǎn)、連線和連接詞3部分。節(jié)點(diǎn)表示置于方框或圓圈中的概念，連接詞則是概念與概念之間關(guān)系的標(biāo)注。概念圖的基本形式一般有3種：鏈狀圖、網(wǎng)狀圖、層級(jí)結(jié)構(gòu)圖。

1.2概念圖的基本理論

概念圖理論是基于奧蘇貝爾的有意義言語學(xué)習(xí)理論和建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論發(fā)展起來的。有意義學(xué)習(xí)是指符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)觀念建立非人為（非任意的）和實(shí)質(zhì)性的（非字面的）聯(lián)系的過程。簡而言之，就是符號(hào)或符號(hào)組合獲得心理意義的過程。概念圖可以幫助學(xué)生理清認(rèn)知脈絡(luò)，加深理解[4]。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)的是知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要性，認(rèn)為知識(shí)結(jié)構(gòu)就是某一學(xué)科領(lǐng)域的基本觀念，它不僅包括掌握一般原理，而且還包括學(xué)習(xí)的態(tài)度和方法。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是學(xué)習(xí)的主動(dòng)構(gòu)建者。而構(gòu)建概念圖的過程恰恰是學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)，積極主動(dòng)學(xué)習(xí)的過程。

1.3概念圖的作用

在西方國家，概念圖是教學(xué)活動(dòng)中常用的一種方法[5]，并且取得了良好的教學(xué)效果。但在我國，概念圖仍處于發(fā)展階段。隨著教育教學(xué)的逐步完善，概念圖法在教學(xué)活動(dòng)中取得了極大的發(fā)展，發(fā)揮了巨大的作用。

（1）概念圖是一種教與學(xué)的策略

應(yīng)用概念圖最初的目的是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的一種策略，幫助學(xué)習(xí)者進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)。奧蘇貝爾的“先行組織者”（advance organizer）策略認(rèn)為，在展現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容之前，介紹相關(guān)的引導(dǎo)性材料，這實(shí)際上是體現(xiàn)概念圖的一種方法，這樣可以使學(xué)習(xí)者在新舊知識(shí)之間建立橋梁，在已知舊知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新的知識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)其有意義的學(xué)習(xí)。同時(shí)概念圖還可以降低學(xué)習(xí)的焦慮水平，改變其認(rèn)知方式。此外，概念圖蘊(yùn)含的豐富教學(xué)功效，可以使其作為一種教學(xué)策略，切實(shí)提高教師的教學(xué)水平[6]，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。學(xué)生自己或者師生共同編制概念圖，比學(xué)生只看課本的效果要好，同時(shí)這種方式還可以培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神和增進(jìn)良好的師生關(guān)系。在概念圖的繪制過程中，需要經(jīng)過制作、修改、思考、再修改、再制作等環(huán)節(jié)往復(fù)循環(huán)來完善概念圖，這樣不僅使學(xué)生很好地掌握了知識(shí)，而且具有導(dǎo)向性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)了思考，培養(yǎng)了自學(xué)的能力。

（2）概念圖是一種交流的工具

目前，互聯(lián)網(wǎng)的交流非常普遍，但大部分以文本的形式來交流[7]，如果交流雙方以概念圖來交流，效果會(huì)很清楚和直觀。概念圖作為知識(shí)表征的一種類型，在教學(xué)活動(dòng)中，很好地詮釋了“教”與“學(xué)”的關(guān)系，體現(xiàn)了概念圖作為一種交流方式的工具性，教師用概念圖幫助學(xué)生建立整合的、系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生思維更加活躍，從而達(dá)到“教學(xué)相長”的目的。

（3）概念圖是動(dòng)手動(dòng)腦、促進(jìn)全面發(fā)展的一種手段

動(dòng)手動(dòng)腦體現(xiàn)手腦并用、知行統(tǒng)一、身心和諧發(fā)展的教育思想。動(dòng)手強(qiáng)調(diào)職業(yè)、技能、實(shí)踐，動(dòng)腦強(qiáng)調(diào)學(xué)術(shù)、創(chuàng)新、認(rèn)識(shí)。全面發(fā)展是中國教育方針一貫的根本要求，師范生更需樹立全面發(fā)展的意識(shí)，具備德、智、體、美全面發(fā)展的素質(zhì)。概念圖法恰恰能夠體現(xiàn)學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦思想。學(xué)生通過思考所學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵概念，總結(jié)、歸納出各個(gè)概念之間的聯(lián)系，然后用具體的知識(shí)或事實(shí)充實(shí)相應(yīng)的概念，最后自己動(dòng)手畫出概念圖。這樣新知識(shí)獲得了意義，舊知識(shí)得到了復(fù)習(xí)，豐富了學(xué)生的知識(shí)體系，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展了學(xué)生的思維，進(jìn)而使學(xué)生得到全面發(fā)展。

1.4概念圖的制作方法

概念圖的制作一般需要以下5個(gè)步驟完成：①選取某一知識(shí)領(lǐng)域；②確定關(guān)鍵概念并排序；③擬定概念的層級(jí)布局；④進(jìn)行各級(jí)連接；⑤反思與完善[8-9]。

2　基于概念圖法復(fù)習(xí)微分中值定理

由于微分中值定理內(nèi)容復(fù)雜，理論性強(qiáng)，通常教師講解完以后，學(xué)生們依然一頭霧水，不知道各個(gè)定理之間有什么關(guān)系，因此可以嘗試應(yīng)用概念圖法來復(fù)習(xí)鞏固微分中值定理。主要采取的教學(xué)方式是小組合作，共同編制這一領(lǐng)域的概念圖，最后教師和學(xué)生共同修改完善。具體過程如下：

（1）學(xué)生自己瀏覽課本，復(fù)習(xí)各個(gè)定理的條件結(jié)論。

（2）學(xué)生根據(jù)自己所學(xué)的內(nèi)容和教師所講的內(nèi)容，進(jìn)行小組討論，畫出概念圖。

（3）選取2個(gè)小組展示本組畫的概念圖。2個(gè)小組畫出的微分中值概念圖如圖1和圖2所示。從這2個(gè)圖中可以看出，學(xué)生基本掌握了微分中值定理的條件和結(jié)論，并對(duì)各個(gè)定理之間的關(guān)系有一定的了解，但同時(shí)也反映出2組同學(xué)對(duì)這4個(gè)基本定理的理解還比較淺顯，并沒有深入挖掘其中的內(nèi)在聯(lián)系。

圖1　微分中值定理概念圖之一

圖2　微分中值定理概念圖之二

（4）師生合作，共同完善概念圖。這些定理有著不同的表達(dá)式，看上去各個(gè)定理之間沒有關(guān)系，但仔細(xì)思考會(huì)發(fā)現(xiàn)其中存在很多關(guān)聯(lián)，學(xué)生們也正是忽略了這些細(xì)微的、深入的聯(lián)系。比如拉格朗日定理也是泰勒定理的一種特殊情況，即拉格朗日定理是泰勒定理在n=1的情形。同時(shí)，學(xué)生們的概念圖不是很完善，沒有詳細(xì)地介紹每一個(gè)定理的條件、結(jié)論、意義及其應(yīng)用。學(xué)生們應(yīng)該學(xué)會(huì)運(yùn)用概念圖建構(gòu)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)[10]，使概念圖達(dá)到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化和完善化。由教師和學(xué)生共同完善的概念圖如圖3所示。通過與學(xué)生互動(dòng)交流，教師觀察發(fā)現(xiàn)學(xué)生們反映良好，學(xué)生們一致表示運(yùn)用概念圖法復(fù)習(xí)鞏固微分中值定理能夠很好地掌握各個(gè)定理之間的關(guān)系，并表示要自覺將此方法運(yùn)用到其他章節(jié)的復(fù)習(xí)中。

圖3　微分中值定理概念圖

3　結(jié)束語

本文討論了概念圖的含義、基本理論、作用及其制作方法，并將其運(yùn)用到微分中值定理的復(fù)習(xí)鞏固教學(xué)探索中。先讓學(xué)生自己構(gòu)建概念圖，然后針對(duì)學(xué)生的不足，師生共同完善概念圖，這種方法可以使學(xué)生有效地掌握微分中值定理的條件、結(jié)論及其意義；通過觀察學(xué)生反應(yīng)發(fā)現(xiàn)，教學(xué)實(shí)踐效果良好。

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Teaching exploration on differential mean value theorem with concept map

ZHAO Xiao-shan，KONG De-fu，HE Wen-zhang
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：The conception，the theoretical foundation，the function and the construction method of the concept map are discussed in this paper. Differential mean value theorem can be reviewed using the concept map. The conditions，expressions and significance could be mastered better by the students. The teaching effect is good.

Key words：concept map；differential mean value theorem；teaching exploration

作者簡介：趙小山（1967—），男，副教授，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力系統(tǒng)分析.

基金項(xiàng)目：天津市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目（VE2016）.

收稿日期：2015-05-29

中圖分類號(hào)：O172.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：G712

文章編號(hào)：2095－0926（2015）03－0068－03