李 晶

（陜西省西安中學(xué)）

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是三角函數(shù)一章中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。這節(jié)課如果只采用傳統(tǒng)的板書教學(xué)，不僅作圖量大，而且要在同一坐標(biāo)系中作出多個(gè)精確的圖像比較困難，不利于引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)知快速準(zhǔn)確地上升為理性認(rèn)知。為了提高課堂效率，一些老師采用幾何畫板輔助教學(xué)，變靜為動(dòng)，變抽象為直觀，這樣比單純板書作圖效果好，容易突破學(xué)生理解上的難關(guān)。但是，在實(shí)際教學(xué)中，很多教師并沒有采取這種先進(jìn)的手段，除了教學(xué)觀念、態(tài)度等的原因外，有一個(gè)關(guān)鍵原因是不能熟練應(yīng)用幾何畫板，所以筆者想借助另一種更易上手的軟件——微軟Math3.0 來設(shè)計(jì)本節(jié)課。

微軟Math3.0 是微軟公司近些年發(fā)布的一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，比起幾何畫板，它更易上手，一般試用一兩次就會(huì)使用，不僅能給老師們帶來便捷，還能成為輔導(dǎo)學(xué)生課后研究的好幫手。

對(duì)于《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課，利用微軟Math3.0 可以輔助提高教學(xué)效率。下面就教學(xué)方法和主要教學(xué)過程作以詳細(xì)闡述。

一、教學(xué)方法

采用探究發(fā)現(xiàn)法，以物理中的實(shí)例為切入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，將信息技術(shù)融入整個(gè)教學(xué)過程中，將函數(shù)圖像的變化過程直觀動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)給學(xué)生，通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考、猜想、驗(yàn)證、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、分析問題的能力以及抽象概括的能力。函數(shù)y=Asin（ωx+φ）涉及3 個(gè)參數(shù)，先逐一探究各參數(shù)的作用，然后再將三個(gè)參數(shù)綜合起來，使學(xué)生體會(huì)先局部后整體以及由特殊到一般的思想方法。

二、教學(xué)過程

1.設(shè)置情境，引入課題

教師：在物理和工程技術(shù)的許多問題中，經(jīng)常會(huì)遇到形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，例如，在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位移與時(shí)間表示的函數(shù)關(guān)系就是形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)。那么，這個(gè)函數(shù)和正弦函數(shù)y=sinx 有什么關(guān)系？換句話說，參數(shù)A、ω、φ 對(duì)y=Asin（ωx+φ）的圖像有什么影響？

學(xué)生討論交流并回答：先分別考查A、ω、φ 對(duì)y=Asin（ωx+φ）的圖像的影響，然后再綜合分析y=Asin（ωx+φ）和y=sinx 的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生先局部后整體的思想。

2.啟發(fā)思考，探究新知

探究1：A 對(duì)y=Asinx 的圖像的影響

設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生自己作圖，復(fù)習(xí)“五點(diǎn)作圖法”并尋找圖像間的關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)研究三角函數(shù)問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和分析問題的能力。

教師引導(dǎo)學(xué)生分析特殊點(diǎn)的坐標(biāo)變化和以上三個(gè)函數(shù)的聯(lián)系，不難得出：y=Asinx，x∈R（A＞0，A≠1）的圖像可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（A＞1）或縮短（0＜A＜1）到原來的A 倍得到的。

學(xué)生探究y=Asinx（A＞0，A≠1）的性質(zhì)：與y=sinx 作比較，定義域、奇偶性、單調(diào)區(qū)間、周期性均沒有發(fā)生變化；值域和最值發(fā)生了變化，y=Asinx 的值域?yàn)椋?A，A］，最大值為A，最小值為-A。

教師：由以上討論可以看出，在函數(shù)y=Asinx（A＞0）中，A 決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值，通常稱A 為振幅。

探究2：φ 對(duì)y=sin（x+φ）的圖像的影響

圖1

教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察特殊點(diǎn)坐標(biāo)的變化（點(diǎn)擊trace 開始按鈕

教師將φ 的值調(diào)回到0（此時(shí)y=sin（x+φ）即為y=sinx），點(diǎn)擊拖動(dòng)滑塊向右滑動(dòng)，讓學(xué)生觀察當(dāng)φ＞0 時(shí)，y=sinx 的圖像怎樣移動(dòng)；再將φ 的值調(diào)回到0，拖動(dòng)滑塊向左滑動(dòng)，讓學(xué)生觀察φ＜0時(shí)，y=sinx 的圖像怎樣移動(dòng)。

學(xué)生討論交流φ 對(duì)y=sin（x+φ）圖像的影響，并歸納：函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像可以看作把正數(shù)曲線上所有的點(diǎn)向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移個(gè)單位長度得到的。

學(xué)生探究y=sin（x+φ）的性質(zhì)：與y=sinx 作比較，定義域、值域、最值、周期均沒有發(fā)生變化；奇偶性和單調(diào)區(qū)間發(fā)生了變化。

教師：在函數(shù)y=sin（x+φ）中，φ 決定了x=0 時(shí)的函數(shù)值，通常稱φ 為初相，x+φ 為相位。

探究3：ω 對(duì)y=sinωx 的圖像的影響

探究方法類似探究2，此處不作詳細(xì)說明。注意在探究過程中指導(dǎo)學(xué)生思考“為什么ω 變大，圖像反而橫向收縮；ω 變小，圖像反而橫向拉長了？”

探究4：如何由y=sinx 的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖像

對(duì)于這個(gè)問題，學(xué)生容易在平移和橫向伸縮變換上出現(xiàn)問題，分不清先左右平移后橫向伸縮和先橫向伸縮后左右平移有什么區(qū)別，例如，有的學(xué)生選擇了先進(jìn)行橫向伸縮變換，然后理所當(dāng)然地認(rèn)為接下來把圖像“左移個(gè)單位長度”。為了糾正學(xué)生認(rèn)識(shí)上的錯(cuò)誤，教師可以利用Math3.0 作如下演示：

（1）利用Math3.0 的Graphing 功能在兩個(gè)函數(shù)輸入框中輸入y=sinx（作為對(duì)比圖）和y=Asin（ωx+φ），作出它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的圖像（此時(shí)A=1，ω=1，φ=0，并將A 的取值范圍設(shè)置為［0，3］）；

（2）將ω 的值由1 調(diào)為2，可以看到函數(shù)圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，函數(shù)圖像動(dòng)態(tài)地變?yōu)閥=sin2x 的圖像；（3）將φ 的值由0 調(diào)為0.52（的近似值），可以看到y(tǒng)=sin2x的圖像向左平移了0.26（的近似值）個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=的圖像；

教師：剛才演示的變換過程是先橫向伸縮變換后左右平移變換，再縱向伸縮變換（說明：縱向伸縮變換也可以放在最前面或者中間進(jìn)行，不影響最終結(jié)果），現(xiàn)在我們把橫向伸縮和左右平移這兩步變換的順序倒過來，同學(xué)們注意觀察圖像的變化。

圖2

教師用Math3.0 演示如下：

（1）同前一種變換第1 步；

（4）同前一種變換第4 步。

在觀察圖像變化的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“對(duì)比前一種變換，它們有什么不同？為什么會(huì)產(chǎn)生這種不同？”

學(xué)生不難得出：如果先橫向伸縮后左右平移，則平移的長度不再是個(gè)單位長度，而是個(gè)單位長度。但是，有些學(xué)生對(duì)這其中的原因不理解，所以教師可以補(bǔ)充說明：如果記（fx）=sin2x，則，我們學(xué)過由（fx）的圖像得到的圖像，只需把（fx）的圖像向左平移個(gè)單位長度，所以要得到的圖像，應(yīng)該把sin2x 的圖像向左平移個(gè)單位長度。

最后，教師引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，總結(jié)由y=sinx 的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖像的兩種變換方法。

以上是對(duì)《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課的主要內(nèi)容的設(shè)計(jì)。Math3.0 軟件是一種便捷的數(shù)學(xué)教學(xué)工具，合理地使用它可以給我們的數(shù)學(xué)課堂帶來活力，提高教學(xué)效率。