浙江寧波市濱海國際合作學校（315830） 段安陽

學校每周有一次教研組活動，五年級的小周老師執(zhí)教《圓的周長》。上課鈴響后，小周老師出示圓形茶杯蓋。

師：這個圓形的周長在哪里？誰能上來指一指？（一生上臺指）

師：如何知道這個圓的周長是多少？

生1：用棉線繞茶杯蓋一圈，拉直棉線在直尺上量一下就知道了。

師：很聰明的辦法。其他人還有不同辦法嗎？

生2：把茶杯蓋直接放在直尺上滾一周，就能量出周長。

師：這也是一個聰明的辦法。

生3：老師，他們的辦法書上都有，不是他們自己想出來的。

學生突如其來的“告狀”，讓老師有點尷尬，他略帶責備地說：“這說明他們課前認真預習了，要向他們學習才對?！?/p>

接著，老師讓大家拿出事先準備好的三個大小不同的圓形紙片，先量出每個圓的直徑，再用自己喜歡的方法量出每個圓的周長，用周長除以直徑，看看有什么發(fā)現(xiàn)。大家都在忙，一個學生端坐不動。集中交流時，他的手舉得最高，老師示意他回答。

生4：我發(fā)現(xiàn)圓的周長總是它直徑的3倍多一些。

生5：老師，他沒有量，更沒有算，他是照著書上說的。

老師又一次陷入尷尬……

到了評課研課環(huán)節(jié)，老師們不約而同聚焦到課上兩個尷尬場景，都說在自己的課堂上也經(jīng)歷過類似的尷尬。有的老師說從來都不要學生預習，以保留新課的神秘感。有的老師說學生自己有課本，他們自己會提前看書的，談什么神秘。最后大家聚焦到學生手里都有的課本上，有的老師說書上明明寫著“觀察上面算式，看看你有什么發(fā)現(xiàn)”，下面緊接著就是結論。有的老師說自己挖空心思設計了精美的課件，后來還是讓教材上現(xiàn)成的結論打垮了。預習是一個好的學習習慣，值得提倡，但課本上有現(xiàn)成的數(shù)學結論，學生無需動腦，無需思考，就能“發(fā)現(xiàn)”結論，這實際上還是傳統(tǒng)的“填鴨式”教育，只不過變“人填”為“書填”，學生發(fā)現(xiàn)的僅僅是書本上現(xiàn)成的數(shù)學知識。缺失了真探究，沒有了真思考，哪來的數(shù)學真發(fā)現(xiàn)？最后大家一致期盼：要是教材有疑問，有例題，不呈現(xiàn)結論就好了，那樣學生才有真探究、真思考，才能發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學，課堂才會呈現(xiàn)出更多意想不到的精彩，學生的創(chuàng)造力才能得到更好的激發(fā)與培養(yǎng)。

一、從“素材”到“教材”：教材使用現(xiàn)狀調(diào)查

學生和老師手里都有的教科書，對學生而言稱之為課本，對老師而言稱之為教材。教科書是課程領導、學科專家、教學名師圍繞課程標準精選素材，精心改編，精致打造的，對落實課程標準的教學要求起到了積極的作用。在教學中，教科書的使用情況究竟如何呢？一線老師的評價和建議是什么？筆者為此進行了一次網(wǎng)絡微調(diào)查。調(diào)查結果與筆者的預測驚人一致：80%以上的老師在教學新知時不要學生閱讀課本；90%以上的老師在展示課上從頭到尾不要學生打開課本；95%以上的老師認為數(shù)學教材編排科學嚴謹，絕大多數(shù)例題選用的素材，符合學生的年齡特點，具有啟發(fā)性，但是教材在解題思路上引導過細，局限了學生的思維，規(guī)律、法則、公式等結論赫然在目，學生無需思考。教材的探究性、結論的神秘性喪失，對培養(yǎng)學生積極自主的探究能力是不利的。主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

1．方法越位，數(shù)學探究變得虛空

新穎的學習材料能激發(fā)學生強烈的學習熱情和探究欲望，促使學生積極調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，對問題作出反應與加工，從而創(chuàng)造性地解決問題。然而現(xiàn)行教材，往往在呈現(xiàn)問題后，有很多越位的鋪墊、方法的提示、解法的引導，學生無需進行獨立深入的思考，就可以按照教科書上提示的步驟進行所謂的“探究”。如學習《圓的認識》，教材上要求學生想辦法畫一個圓。但是課本緊接著出示的三幅圖，把常用的三種畫法一一呈現(xiàn)出來。（見下圖）第一種，沿著圓形物體周邊描一圈；第二種，用圖釘、細線和鉛筆，固定圖釘，拉直細線，筆尖繞一圈，可以畫出一個圓；第三種，用圓規(guī)畫圓。學生不需要動腦筋、想辦法，照著書上的提示去做就可以，學生的自主探究和獨立思考成為一紙空文。

2．結論外顯，數(shù)學發(fā)現(xiàn)流于形式

教材上現(xiàn)成的結論，讓學生的數(shù)學發(fā)現(xiàn)流于形式。學生對新知的學習是一種“復制”型的感知過程，就是理解與不理解、懂與不懂的區(qū)別，習得的是間接經(jīng)驗，是書本在灌輸。如《圓的認識》一課，“圓和以前學過的三角形、長方形等多邊形相比，有什么相同之處？有什么不同？”本來這個問題是非常具有探索性和挑戰(zhàn)性的，目的是讓學生把現(xiàn)在學習的圓與之前已學的五種平面圖形作對比。但是教材在問題下面赫然顯示的是三個結論：圓和多邊形都是平面圖形；多邊形由線段圍成，有頂點；圓由曲線圍成，沒有頂點。（見下圖）

面對課本給定的現(xiàn)成的數(shù)學結論，學生無需獨立思考，嚴重壓縮了學生的創(chuàng)新思維空間。如此，學生數(shù)學思維的獨特性、求異性和批判性如何得到積極培養(yǎng)？

3．脫離生活，數(shù)學學習變得茫然

數(shù)學抽象的規(guī)律、定理、法則等知識需要借助直觀具體、生動形象的現(xiàn)實外殼，才能落地生根，為學生理解和掌握，才能成為學生自己的數(shù)學。學生也正是在對具體形象的數(shù)學材料進行再加工、再創(chuàng)造的過程中實現(xiàn)對數(shù)學的再認識和再建構。如《圓的面積》一課中，書上呈現(xiàn)的例題是：一個自動旋轉噴水器的最遠噴水距離大約是5米，它旋轉一周噴灌的面積大約是多少平方米？

自動旋轉噴水器是什么樣子？噴出的水是線狀還是點狀？不要說學生感覺陌生，很多老師也不太清楚。這樣遠離學生生活經(jīng)驗的素材就不是一個好素材。毋庸置疑，現(xiàn)行教材在數(shù)學材料現(xiàn)實化、生活化、趣味化等方面已經(jīng)作出了積極的成功改革，但很多背離現(xiàn)實的數(shù)學材料依然大量充斥著數(shù)學教材，我們教學時需要根據(jù)地域特點和學生生活實際創(chuàng)生符合學生認知的學材，調(diào)動學生積極的認知情感。

二、從“教材”到“學材”：學材開發(fā)的教育意蘊

《數(shù)學課程標準》在實施建議中強調(diào)：“創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)和利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。”這就要求我們轉變觀念，變“教材”為“學材”，讓學習活起來。所謂“學材”，是基于兒童視角和立場，對以教材為主的教學資源進行再創(chuàng)造的材料，是教師依據(jù)自己的學科理解和教學風格，從學生已有的認知出發(fā)，對教學資源進行開掘、整合、拓展后形成的適合學生自主學習的材料。學材是人與知識對話的紐帶，是“文本課程”向“體驗課程”轉化的新媒介。

有了學材視角，就能弱化教材“法定知識”的權威，從教師“教教材”轉變?yōu)榻處煛坝媒滩摹苯?，學生“用學材”學，以學生的發(fā)展為目標，加強學材與學生世界的聯(lián)系，引導學生由“被動學”轉變?yōu)椤爸鲃忧笾?，以喚起學生學習的主動性為最終目標。那學材開發(fā)的教育意蘊何在？

1．凸顯開放性的學材觀

學生的學習材料應該是開放的，是學生實踐的直接經(jīng)驗和書本的間接經(jīng)驗整合的結果。隨著科學技術的發(fā)展，教學手段日趨現(xiàn)代化，教學內(nèi)容也日新月異，所以學材不僅包括現(xiàn)有的教科書，還包括各種配套視聽教材，各類指導書和補充讀物，以及其他教學輔助用具及教學程序軟件包等。

2．凸顯發(fā)現(xiàn)式的教學觀

弗賴登塔爾曾說：“泄露一個可以由學生自己發(fā)現(xiàn)的‘秘密’，那是‘壞’的教學方法，甚至是罪惡?！睆谋举|上講，當前大多數(shù)版本的教材編寫基調(diào)還是“接受式學習”，而不是“發(fā)現(xiàn)式學習”。體現(xiàn)探究性發(fā)現(xiàn)學習的學材，應該有大量留白，用開放的呈現(xiàn)方式，讓學生在互動對話中做數(shù)學，用數(shù)學。所有的結論性的規(guī)律、法則、定理、性質、公式，以及探究解決問題的方法，不在學材上呈現(xiàn)，給學生留有100%的思考、探究空間。這些數(shù)學結論在教師使用的教材上呈現(xiàn)。學材上輔助一些認知框架提示語，如“對于××，我已經(jīng)知道了什么？”“在生活中，哪些地方我曾經(jīng)見過？”“我的設想”“我的發(fā)現(xiàn)”“我的解題過程”等，課本上沒有方法暗示，沒有現(xiàn)成答案，其過程要求學生自己來完成，因而課本既是預設的，又是生成的，是把課本與學生的筆記合二為一的個性化的產(chǎn)品，讓學生在預習過程中或學習過程中“DIY”，生成個性化的課本。

3．凸顯主體化的學生觀

學生是真正的學習主體，一節(jié)課的優(yōu)劣不是看教師教得多精彩，而是看學生是否得到了充分的發(fā)展，如果學生不想學、不會學、學不好，那么無論多好的教材，無論教師講得多精彩都是徒勞。建構主義理論認為，學習不是教師把知識簡單地傳授給學生的過程，而是學生自己主動建構的過程，即每個學習者都以自己原有的知識經(jīng)驗為基礎，對新信息重新認識、理解和編碼，建構自己的知識結構。所以，開發(fā)學材時，要注意落實學生的主體地位，考慮學生原有知識與新知識的銜接與組織，尋求學生舊知與新知之間最佳發(fā)展的中間地帶，力求把新知識的教學按學生的認知規(guī)律與特點組織嫁接到學生原有的經(jīng)驗中。

三、從“學材”到“學堂”：學材開發(fā)的實踐建構

提起教室，大家就會想起，臺上教師滔滔不絕，臺下學生正襟危坐，課堂成為教師的講堂。如今，教室正發(fā)生著悄然的變化：教師不再口若懸河，學生也不再唯唯諾諾，教師成為學生學習的組織者、引導者、合作者，學生善學善問，敢說敢為，課堂上經(jīng)?？吹綄W生積極展示自我，表達觀點，發(fā)表見解。以兒童視角審視內(nèi)容，積極與內(nèi)容對話，抓其本質，掘其思想，能將學習內(nèi)容以最適合學生進行主動探究學習的方式進行重組，將“以知識為中心的課本”轉化為“以學習為中心的學堂”，讓預設的“學材”走進現(xiàn)實的“學堂”。筆者結合自己的實踐探索，略談以下幾種“學材”開發(fā)與“學堂”實施的方式。

1．生活型學材——返回生活世界，探尋數(shù)學本源

“學生的數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的，有意義的，富有挑戰(zhàn)的?！睂W習內(nèi)容的現(xiàn)實性要求數(shù)學來源于生活，取材于現(xiàn)實，讓數(shù)學學習內(nèi)容有現(xiàn)實意義，生活根基。我們要努力開掘那些發(fā)生在學生身邊的，學生非常熟悉的，同時暗含著某種數(shù)學現(xiàn)象或數(shù)學規(guī)律的實際問題，以此為突破口進行學材設計。如《四則混合運算》一課，筆者舍棄了教材中的“純數(shù)學”，選擇游樂園活動這一方式展開學習情境。以學生熟悉喜愛的生活情景作為背景，提出一系列的實際問題，從計算游玩時的費用，引出四則混合運算題就水到渠成了。學生圍繞這一問題深入展開探討與分析，以兩積之和為載體，主動探索發(fā)現(xiàn)可以簡化計算步驟，實現(xiàn)生活與數(shù)學的緊密聯(lián)系，擺脫傳統(tǒng)計算課的教學模式。顯而易見，當學習內(nèi)容從“科學世界”的概念狀態(tài)進入“生活世界”的經(jīng)驗狀態(tài)后，不僅能有效地激活學生思維，還能促進新信息與已有經(jīng)驗的整合，實現(xiàn)思維內(nèi)化。

生活型學材取材范圍廣泛，教師要有效嫁接數(shù)學與生活，有效對接兒童與數(shù)學，因地制宜，因人而異，積極嘗試，大膽探索，給學生源于生活的綠色環(huán)保的新鮮的數(shù)學。

2．游戲型學材——激發(fā)學習興趣，感知數(shù)學的趣味性

馬丁·加德納說：“喚醒學生的最好方法是向他們提供有吸引力的數(shù)學游戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西?！眱和曈螒驗樯?，游戲也是成人不可或缺的生活方式。數(shù)學游戲為學生學習數(shù)學提供了感性材料和愉悅的平臺，符合兒童的年齡特征。創(chuàng)生開掘游戲型學材，在兒童具體形象思維和抽象數(shù)學知識之間架起一座橋梁，為他們感知數(shù)學的趣味做積極的鋪墊。如一年級學習“分類”時，我創(chuàng)生設計了“整理書包”的游戲，讓學生在整理書包的過程中，探索解決問題的思路：先把書包里的文具分類放好，初步感知簡單的分類——把一樣的東西放在一起。學生在操作中，自主探索發(fā)現(xiàn)，可按顏色分類，也可以按照形狀分類，發(fā)現(xiàn)分類標準不一樣，分類結果也不一樣。在教學“圓的認識”時創(chuàng)生設計“投籃比賽”，課前帶領學生圍成長方形、正方形、等邊三角形進行投籃游戲，并拍視頻，課上播放視頻，引發(fā)學生思考：如何設計公平公正的投籃比賽？讓學生在游戲中、情境中深入思考，優(yōu)化調(diào)整，解決問題。通過游戲活動，學生自主發(fā)現(xiàn)只有圍成圓形投籃才最公平，同時學生還能感受到數(shù)學其實蠻好玩的，從而培養(yǎng)數(shù)學學習興趣。

再如，學習“有余數(shù)的除法”時設計6人搶5張凳子的“搶凳子”游戲，學習“四則混合計算”時開展“巧算24點”游戲。這些都是很好的游戲型學材。

3．探究型學材——經(jīng)歷探究過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律

把學過的內(nèi)容作適當拓展，突出探究性、挑戰(zhàn)性，可以開拓學生思維，激發(fā)學習情感。如在學習了“大數(shù)的認識”后，開發(fā)數(shù)學探究課“對折的力量”。上課時，出示一張普通的A4紙，告知前提條件為“一張普通A4紙的厚度大約為0．01毫米”。接著，拋出大問題：如果把一張足夠大的A4紙對折30次，它的高度有多少？先讓學生猜一猜，寫下自己的估算結果，再讓學生動手折一折，從簡單中找規(guī)律，推理發(fā)現(xiàn)結果。學生紛紛動手對折，發(fā)現(xiàn)當紙對折到第8次時，就折不動了。這時，教師啟發(fā)學生回過頭去，從對折次數(shù)與紙張層數(shù)之間找規(guī)律，學生探索發(fā)現(xiàn)，每對折一次，紙的層數(shù)是原來層數(shù)的2倍，再通過推算，發(fā)現(xiàn)對折30次時，所達到的高度遠遠超過了珠穆朗瑪峰的高度，這讓全班同學不敢相信。學生在一系列的數(shù)學活動中，綜合應用所學知識解決數(shù)學問題，培養(yǎng)了數(shù)感。學生紛紛感嘆道：“想不到一張白紙經(jīng)過若干次對折，竟比珠穆朗瑪峰還高！”“對折的力量可真大呀！”這節(jié)課讓我們看到了學生對數(shù)學探究的興趣，看到了學生在探究中的快樂，更重要的是讓學生感受體驗到科學的探究方法和探究精神。探究型學材開發(fā)案例還有很多，比如：（1）在平面上畫20條直線，這些直線最多能形成多少個交點？（2）南京到北京之間有15個高鐵站，需要印制多少種火車票？（3）有一張紙形狀是長方形的，第1次把這個長方形剪開成5個長方形；第2次在5個剪成的長方形中任取一個，也剪成5個長方形；第3次再在第2次剪成的5個長方形中任取一個，也剪成5個長方形……照這樣剪20次，一共有多少個長方形？（4）50邊形的內(nèi)角和是多少度？

4．文化型學材——滲透數(shù)學文化，感悟數(shù)學思想

學材的開發(fā)還可以結合學習內(nèi)容介紹有關數(shù)學家的故事、數(shù)學趣聞與數(shù)學史料，使學生了解數(shù)學發(fā)展的歷史，滲透數(shù)學文化，開闊視野，啟迪思維。如結合五年級學習內(nèi)容，我們開發(fā)了數(shù)學文化課——“數(shù)字黑洞”：任選三個不同的數(shù)字，分別組成一個最大數(shù)和最小數(shù)，求出兩數(shù)之差（如果差不夠三位數(shù)，用0補足），并照上面的方法不斷重復運算。學生舉例試算后發(fā)現(xiàn)一個神奇而有趣的現(xiàn)象：三個不同的數(shù)字，按照以上規(guī)則進行運算，最后結果都是495，無論是哪三個數(shù)字，結果都如此，仿佛掉進了495這個數(shù)字黑洞一樣。接著，教師引發(fā)學生猜想：四個不同的數(shù)字，照這樣的規(guī)則運算，是不是也會掉進數(shù)字黑洞呢？還是495嗎？學生躍躍欲試，個個動筆舉例驗證，連平時聽課睡覺、作業(yè)不交的人也在埋頭算運。大家經(jīng)歷猜想和驗證，發(fā)現(xiàn)：四個不同數(shù)字的黑洞是6174。最后，教師補充拓展：數(shù)學家們還發(fā)現(xiàn)了其他數(shù)字黑洞，如數(shù)字黑洞123、數(shù)字黑洞153等，讓學生了解設定不同的規(guī)則，可以得出不同的數(shù)字黑洞，拓展學生的數(shù)學視野，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

文化型學材案例，如：兔子繁殖與斐波那契數(shù)列、吝嗇財主與智慧長工的翻倍問題、韓信點兵與中國剩余定理、劉徽與割圓術、祖沖之與圓周率、李白喝酒與倒推策略、印度河內(nèi)塔與世界末日、高斯速算與配對求和、哥德巴赫猜想與陳景潤、九宮格與洛書、楊輝三角中的規(guī)律、畢達哥拉斯定理、莫比烏斯圈等，都可以配合教學內(nèi)容，開掘為學生喜愛的數(shù)學文化型學材，用以拓展學生的數(shù)學視野，幫助學生感悟數(shù)學思想和數(shù)學文化。

總之，我們要正確樹立兒童立場研究兒童，用兒童視角研究數(shù)學，研究教法，努力尋找數(shù)學與兒童的最佳結合點開發(fā)學材，尋找數(shù)學知識結構和認知規(guī)律的中間地帶發(fā)展兒童，體現(xiàn)基于兒童、為了兒童和發(fā)展兒童的生命教育哲學，給兒童既“好吃”又有“營養(yǎng)”的數(shù)學學材和生命化的學堂，讓兒童發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學，讓兒童體驗好玩的數(shù)學，讓兒童培植自己生長的數(shù)學，使兒童的數(shù)學學習成為他們快樂童年的重要組成部分。

［1］ 教育部．數(shù)學課程標準（2011版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2012（1）．

［2］ 李星云．論小學數(shù)學學材的開發(fā)與運用［J］．教育評論，2008（1）．

［3］ 米山國藏．數(shù)學的精神、思想和方法［M］．成都四川教育出版社，1986．

［4］ 蔣玉琴．創(chuàng)生學材的實踐與思考［J］．江蘇教育，2004（7）．

［5］ 波利亞．數(shù)學的發(fā)現(xiàn)［M］．北京：科學出版社，2006．