王彥偉，黃 翼，張 琪，王 琰

(武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 湖北 武漢 430073)

三維殼體等幾何分析方法研究

王彥偉，黃 翼，張 琪，王 琰

(武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 湖北 武漢 430073)

以NURBS基函數(shù)離散位移場實現(xiàn)了三維空間殼體的等幾何分析。首先給出了基于NURBS基函數(shù)的殼體單元形狀和位移場的表示，而后推導(dǎo)了單元剛度陣的表達(dá)形式；并通過數(shù)值實例表明了文中等幾何殼體分析方法的有效性與正確性。

等幾何分析; NURBS; 板殼; 有限元

等幾何分析(Isogeometric analysis, IGA)基于樣條基函數(shù)進(jìn)行物理場分析[1]，目前在工程中得到了愈來愈廣泛的應(yīng)用。在殼體分析方面，文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]分別運用等幾何方法完成了柯西霍夫薄板和大變形厚板殼的分析； 文獻(xiàn)[4]實現(xiàn)了Kirchhoff-Love板殼的k網(wǎng)格細(xì)化；文獻(xiàn)[5]通過實驗證明了殼體等幾何分析的可靠性。與殼體傳統(tǒng)有限元方法相比，等幾何方法表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢：1)IGA采用節(jié)點向量作為網(wǎng)格，避免傳統(tǒng)意義上的網(wǎng)格劃分過程；2) IGA能夠避免經(jīng)典有限元使用Lagrange多項式帶來的誤差，能精確地表示自由曲面薄殼。

殼體分析基本方法有基于柯西霍夫假定和基于空間單元退化的厚板理論。其中，柯西霍夫理論要求殼體單元之間具有C1連續(xù)性，而厚板理論只要求殼體單元之間具有C0連續(xù)性。第二種板殼理論的單元連續(xù)性條件更容易滿足，相對而言在工程中應(yīng)用也較為廣泛。在此，本文基于厚板理論進(jìn)行殼體等幾何分析，所采用的基函數(shù)為三次B樣條基函數(shù)。

1 單元形狀與位移的離散表示

單元內(nèi)任意點的坐標(biāo)可由殼體中面上的點法向插值得到。

假定ζ∈[-1,1]，殼體厚度為h，對殼體中面沿法向插值得到殼體內(nèi)任意點

(1)

根據(jù)等參單元概念，單元位移場通過NURBS基函數(shù)表示為

(2)

2 單剛矩陣

單剛矩陣數(shù)學(xué)表達(dá)通式為

(3)

其中，B、D分別為應(yīng)變陣和材料屬性陣；J為雅克比變換，將單元節(jié)點坐標(biāo)變換至全局坐標(biāo)系。

坐標(biāo)變換由兩部分構(gòu)成，首先由標(biāo)準(zhǔn)積分域變換到單元控制頂點所影響的參數(shù)域；然后，由參數(shù)域變換到全局坐標(biāo)系。

由標(biāo)準(zhǔn)高斯積分域中[-1,1]×[-1,1]變換到參數(shù)域[ui,ui+1]×[vi,vi+1]的變換如下

L：{ξ,η}→{u,v}

(4)

式中Nj為二維拉格朗日線性基函數(shù)。

由參數(shù)域變換到全局坐標(biāo)系的變換由式(1)實現(xiàn)。以上兩個變換偏導(dǎo)的乘積便是雅克比矩陣J。單元應(yīng)變矩陣B由單元位移函數(shù)對單元坐標(biāo)求偏導(dǎo)得到。

將B與D代入式(3)可得單元剛度矩陣為

(5)

其中[Tε]為變換矩陣，由物理空間坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系間的方向余弦決定。

基于單元剛度陣形成總剛后，形成分析模型，確定邊界條件后求解，板殼等幾何分析便可完成。

3 分析實例

實例中曲面殼體為NURBS曲面，NURBS基函數(shù)的控制頂點的權(quán)重為1；圖1a給出了型值線和控制頂點的分布。殼體材料參數(shù)如下：彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.25，板殼厚度h=0.94mm。邊界條件如圖1b：左邊界型值曲線分布力沿Z向，5N/mm；右邊界型值曲線固定。

(a)板殼控制點與型值線

(b)板殼上的邊界條件

為驗證文中基于NURBS基函數(shù)的等幾何板殼分析的有效性，本文將文中分析結(jié)果與商業(yè)有限元軟件COMSOL的分析結(jié)果進(jìn)行比對。圖2顯示的是COMSOL與殼體等幾何方法計算得到的Z向位移云圖。

(a)COMSOL

(b)IGA

圖2a為該板殼在COMSOL中的分析結(jié)果，為保證分析精度，殼體采用線性三角單元進(jìn)行了高密度網(wǎng)格劃分。由圖2可見，二者最大位移數(shù)值與分布位置均非常相似。本文計算得到的最大位移為0.056mm，COMSOL計算的最大位移為0.055mm，二者誤差為1.8%。

4 總結(jié)

本文建立殼體等幾何分析框架，以Reissner-Mindlin殼體為理論基礎(chǔ)，將基于NURBS的等幾何方法應(yīng)用到殼體分析中實現(xiàn)了殼體的等幾何分析。工程應(yīng)用中殼體結(jié)構(gòu)幾何外形一般較為復(fù)雜，往往由多個曲面組合而成，今后的研究工作是：進(jìn)行多曲面復(fù)雜殼體的等幾何分析。

[1]HughesTJR,CottrellJA,BazilevsY.Isogeometric:CAD,finiteelements,NURBS,exactgeometryandmeshrefinement[J].Comput.MethodAppl.Mech.Engrg. 2005,194: 4 135-4 195.

[2]KiendlJ,BazilevsY,HsuMC,etal.Bletzinger.ThebendingstripmethodforisogeometricanalysisofKirchhoff-Loveshellstructurescomprisedofmultiplepatches[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsandEngineering2010,199: 2 403-2 416.

[3]BensonDJ,BazilevsY,HsuMC,etal.Alargedeformation,rotation-free,isogeometricshell[J].Comput.MethodAppl.Mech.Engrg. 2011,200:1 367-1 378.

[4]KiendlJ,BletzingerKU,LinhardJ,etal.IsogeometricshellanalysiswithKirchhoff-Loveelements[J].Comput.MethodAppl.Mech.Engrg, 2009, 198: 3 902-3 914.

[5]BensonDJ,BazilevsY,HsuMC,etal.Hughes.Isogeometricshellanalysis:TheReissner-Mindlinshell[J].Comput.MethodAppl.Mech.Engrg, 2010, 199: 276-289.

[責(zé)任編校： 張巖芳]

Research on 3D Shell Isogeometric Analysis Method

WANG Yanwei, HUANG Yi, ZHANG Qi, WANG Yan

(SchoolofMechanical&ElectricalEngin.,WuhanInstituteofTech.,Wuhan430073,China)

Based on Reissner-Mindlin theory, an isogeometric analysis for 3D shell was proposed. First the element shape and displacement were represented with the NURBS basis functions, and then the element stiffness matrix was deduced. The validity of the proposed isogeometric shell analysis was verified with a numerical example of a 3D shell analysis method.

isogeometric analysis; NURBS; shell，finite element

2015-04-20

國家自然科學(xué)基金(51375186)

王彥偉(1975-)，男，河南開封人，工學(xué)博士，武漢工程大學(xué)特聘教授，研究方向為CAD/CAE，機(jī)電產(chǎn)品設(shè)計

1003-4684(2015)04-0086-03

O242 .21

A