翟中生，嚴(yán)昌文，呂清花，王選擇

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北武漢430068)

無(wú)衍射光(non-diffracting beams)由于其中心光斑的大小、形狀不隨傳播距離發(fā)生變化的特性備受人們關(guān)注。無(wú)衍射光近年來(lái)已成為研究的熱點(diǎn)［1-2］，如:華中科技大學(xué)的周莉萍教授利用無(wú)衍射光實(shí)現(xiàn)了一種新型激光三角測(cè)量系統(tǒng)［3］;北京航空航天大學(xué)的王中宇教授用無(wú)衍射光代替激光作為光源，來(lái)完成表面形貌的三維測(cè)量［4］。無(wú)衍射光技術(shù)也可應(yīng)用到自由度的測(cè)量中［5］。在利用無(wú)衍射光測(cè)量多自由度運(yùn)動(dòng)誤差時(shí)，確定無(wú)衍射光中心光斑的位置成為測(cè)量的關(guān)鍵。由于莫爾條紋的放大作用，可以利用無(wú)衍射光莫爾條紋技術(shù)來(lái)定位無(wú)衍射光中心光斑。華中科技大學(xué)的趙斌教授利用無(wú)衍射光莫爾條紋法進(jìn)行空間直線度的測(cè)量［6］，同時(shí)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生數(shù)字的環(huán)形光柵與環(huán)形無(wú)衍射光產(chǎn)生莫爾條紋，通過(guò)改變數(shù)字環(huán)形光柵的相位來(lái)確定無(wú)衍射光的中心光斑位置［7］。在無(wú)衍射光莫爾條紋法定中心的應(yīng)用中，文獻(xiàn)［7］只運(yùn)用了一束無(wú)衍射光，而本文則利用兩束無(wú)衍射光得到莫爾條紋，通過(guò)莫爾條紋的條數(shù)，得到莫爾條紋數(shù)量與兩束無(wú)衍射光中心點(diǎn)距離的關(guān)系，由此來(lái)確定被測(cè)無(wú)衍射光的中心光斑位置。

1 無(wú)衍射光莫爾條紋的形成

目前得到無(wú)衍射光的方法有很多，而之所以采用軸錐鏡是因?yàn)槠淠芰坷寐矢吆椭谱鞒杀镜偷奶攸c(diǎn)，同時(shí)在測(cè)量方面，軸錐鏡又有著穩(wěn)定的線焦，產(chǎn)生的無(wú)衍射為零階本賽爾函數(shù)形式的同心圓環(huán)(圖1a)。這一族同心圓環(huán)中，中心圓是最亮的點(diǎn)。圖1a所示，當(dāng)平行光射入軸錐鏡時(shí)鏡后形成的不同區(qū)域，Zmax為光強(qiáng)的最大范圍。在Zmax范圍內(nèi)光強(qiáng)隨Z值的增大而增大。通過(guò)軸錐鏡得到合適的無(wú)衍射光，并將無(wú)衍射光作為測(cè)量光。

圖1 無(wú)衍射光的產(chǎn)生

從技術(shù)角度上來(lái)說(shuō)，莫爾條紋是兩條或者兩個(gè)物體之間以恒定的角度和頻率發(fā)生干涉的視覺(jué)結(jié)果。

為了研究無(wú)衍射光莫爾條紋的計(jì)數(shù)法，首先通過(guò)軸錐鏡得到零階貝塞爾形狀的同心圓環(huán)(即無(wú)衍射光)，然后通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的光路(圖2)得到兩束無(wú)衍射光的干涉，從而得到莫爾條紋。從圖2可見(jiàn)，He-Ne激光器發(fā)出的光經(jīng)過(guò)準(zhǔn)直擴(kuò)束后射入軸錐鏡，再由軸錐鏡射入到分光棱鏡1中，此時(shí)通過(guò)分光棱鏡1分光，得到兩束無(wú)衍射光:一束無(wú)衍射光經(jīng)過(guò)反射鏡2、分光棱鏡2后由CCD相機(jī)接收;另一束無(wú)衍射光進(jìn)過(guò)反射鏡1射入到直角棱鏡中，再由直角棱鏡反射到分光棱鏡2，最后也被CCD相機(jī)接收。這樣，CCD相機(jī)中就有兩束無(wú)衍射光，這兩束衍射光將會(huì)干涉產(chǎn)生莫爾條紋，同時(shí)產(chǎn)生的莫爾條紋圖像將被CCD相機(jī)采集。其中經(jīng)過(guò)反射鏡2、分光棱鏡2的無(wú)衍射光作為參考光束，經(jīng)過(guò)直角棱鏡、分光棱鏡2的無(wú)衍射光作為被測(cè)光束，由于直角棱鏡在豎直方向上的移動(dòng)會(huì)造成兩束無(wú)衍射光中心距離的變化，因此被測(cè)光束的中心光斑的位置也將發(fā)生變化。

圖2 無(wú)衍射光莫爾條紋的產(chǎn)生

2 無(wú)衍射光莫爾條紋的數(shù)學(xué)模型

圖2中，軸錐鏡后產(chǎn)生的無(wú)衍射光束經(jīng)過(guò)分光棱鏡分成兩束無(wú)衍射光，設(shè)兩束光程分別為無(wú)衍射光的產(chǎn)生Z1和Z2，C1和C2為CCD相機(jī)上兩束無(wú)衍射光的中心點(diǎn)，在CCD面上的極半徑分別為r1和r2，可得到兩束無(wú)衍射光在CCD上的光強(qiáng)近似值

產(chǎn)生的減莫爾條紋的序列有

為了分析方便，設(shè)C1、C2在y軸上(C1x=C2x=0)，原點(diǎn)在中心線上(|C2y－C1y|=2Δ)，由式(2)、(3)和(4)可計(jì)算出莫爾條紋的暗條紋軌跡為

從上式可看出，莫爾條紋的暗條紋軌跡為橢圓族或雙曲線族。

3 莫爾條紋計(jì)數(shù)方法

兩束無(wú)衍射光形成的莫爾條紋的形狀和條紋數(shù)受中心位置影響，因此確定無(wú)衍射光莫爾條紋的數(shù)量是關(guān)鍵。

等間距的無(wú)衍射光束的明暗條紋的間距可看成光柵常數(shù)d。為了便于分析，假設(shè)測(cè)量光束的中心點(diǎn)C2在y方向上有一偏移量C2y(圖3)。中心間距用光柵常數(shù)d表示

式中N為正整數(shù)，l=1，2，3…。

圖3 兩束無(wú)衍射光產(chǎn)生的莫爾條紋原理圖

由式(5)可得

式中，β為直線族與y軸的夾角。在xy坐標(biāo)系中，莫爾條紋沿坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱分布，所以研究莫爾條紋變化規(guī)律時(shí)，取β從豎直方向上0°～180°范圍即可。

由式(7)可知，s=0時(shí)，tanβ= ∞，β =90°;s=時(shí)，tanβ=0，β=0°，因此可以得到在第一象限內(nèi)有條莫爾條紋，那么在360°范圍內(nèi)總莫爾條紋數(shù)S=。a

4 仿真及圖像處理

通過(guò)對(duì)圖2的光路進(jìn)行仿真，得到如圖4所示的無(wú)衍射光莫爾條紋圖像。由于直角棱鏡在豎直方向上的位移導(dǎo)致兩束無(wú)衍射光中心光斑距離的變化。從圖6中可明顯看出，兩束無(wú)衍射光中心距的改變會(huì)引起莫爾條紋數(shù)量的變化。

通過(guò)圖4的仿真結(jié)果可以看到，莫爾條紋的頻率要小于無(wú)衍射光的頻率，因此對(duì)圖4中仿真得到的圖進(jìn)行頻域空間的增強(qiáng)。在Matlab中首先對(duì)圖4進(jìn)行傅立葉變化得到頻域空間，然后選擇高斯低通濾波器，最后將增強(qiáng)的圖像通過(guò)傅立葉逆變換轉(zhuǎn)換回圖像空間，得到的圖像如圖5所示。

為了進(jìn)一步得到莫爾條紋數(shù)，將圖5進(jìn)行二值化處理，得到二值化圖像，定義在圖像中的一個(gè)內(nèi)乘圓，統(tǒng)計(jì)在該內(nèi)圓上，圖像灰度值變化的次數(shù)，讓計(jì)算機(jī)自動(dòng)記錄圖像中由黑到白的變換次數(shù)，則變化的次數(shù)就是莫爾條紋數(shù)。圖6為二值化后的莫爾條紋圖，表1為通過(guò)程序統(tǒng)計(jì)得出的莫爾條紋數(shù)量。

圖4 兩束無(wú)衍射光產(chǎn)生的莫爾條紋仿真結(jié)果

圖5 高斯濾波后的傅立葉逆變換圖

圖6 二值化后的莫爾條紋圖

表1 莫爾條紋數(shù)結(jié)果

5 結(jié)論

本文用一種無(wú)衍射光莫爾條紋的計(jì)數(shù)方法來(lái)定位無(wú)衍射光中心光斑的位置。本方法的特點(diǎn)是通過(guò)兩束無(wú)衍射光的干涉產(chǎn)生了莫爾條紋，由莫爾條紋的數(shù)量關(guān)系得到兩束無(wú)衍射光的中心距，由此進(jìn)一步確定被測(cè)無(wú)衍射光的中心光斑位置。本文中莫爾條紋數(shù)學(xué)模型的兩束無(wú)衍射光中心點(diǎn)在y軸上保持一致，同樣如果中心點(diǎn)在x軸上也適用本文的結(jié)論。通過(guò)確定的無(wú)衍射光中心光斑位置，可以進(jìn)一步對(duì)多自由度在二維角度上的測(cè)量進(jìn)行研究，因此本文對(duì)無(wú)衍射光莫爾條紋在精密測(cè)量的應(yīng)用中有一定借鑒意義。

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