王　宏，史寧中

(東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024)

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基于教師專業(yè)發(fā)展視角的數(shù)學教學內容知識研究

王宏，史寧中

(東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024)

理論界對數(shù)學教師專業(yè)知識的認識經歷了由MK向MPCK轉變的過程。MPCK是由學科教學知識理論發(fā)展來的一種數(shù)學教師的專屬知識領域，它融入了數(shù)學學科知識、數(shù)學教學法知識以及有關數(shù)學學習的知識，體現(xiàn)了數(shù)學教師的“數(shù)學專業(yè)性”和“教育專業(yè)性”，是數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展水平的重要標識。以MPCK的相關理論為鑒，數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展需要以教師對自我知識的積極拓展為前提，也需要以實踐型的教師教育為基石。

教師知識；數(shù)學教學內容知識；教師專業(yè)發(fā)展

數(shù)學教師隊伍的整體完善離不開教師個體的專業(yè)發(fā)展，而知識則在這一進程中居于基礎性的核心地位：一方面，數(shù)學教師專業(yè)知識是確證數(shù)學教師專業(yè)地位的來源和依據，彰顯著數(shù)學教師“作為教師”及“作為數(shù)學學科教師”的獨特性；另一方面，數(shù)學教師專業(yè)知識是教師從事教學活動和完善自我的先決條件，構成了“教師展開正常教學，保證基本的教學品質的必備條件。促進教師專業(yè)知識的發(fā)展需要高質量的教師教育和專業(yè)發(fā)展機會，而提供高質量的教師教育和專業(yè)發(fā)展機會，?；趯處煂I(yè)知識狀況的了解?！盵1]

數(shù)學教學內容知識(Mathematical Pedagogical Content Knowledge，簡稱MPCK)是學者們在學科教學知識(Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK)基礎上提出的一種數(shù)學教師專業(yè)知識類型，它不僅繼承了PCK對教師知識的深度整合，而且融會了數(shù)學學科和數(shù)學教學特殊性，使其成為數(shù)學教師所專有的PCK。以MPCK為切入點，對教師知識內容及結構進行優(yōu)化，不僅是深化教師專業(yè)發(fā)展的新理念，也是完善數(shù)學教師隊伍整體能力素養(yǎng)并提高數(shù)學課堂教學質量的新路徑。

一、從MK到MPCK：數(shù)學教師專業(yè)知識認識的理論嬗變

MPCK是在教師專業(yè)化理念演進的過程中提出的。教師職業(yè)的早期階段，數(shù)學教師的教師知識也僅涵蓋了數(shù)學學科知識(Mathematics Knowledge，簡稱MK)這一單一要素，它盡管表現(xiàn)出了區(qū)別于其他學科的“數(shù)學專業(yè)性”，但卻并沒有表現(xiàn)出數(shù)學教師作為區(qū)別于其他職業(yè)的“教育專業(yè)性”，以至于從根本上制約著數(shù)學教師群體專業(yè)地位的提高。

19世紀以后，隨著對教育活動認識的日漸加深以及獨立形態(tài)教育學的出現(xiàn)，“人們開始同意這樣的一個原則，即(小學)教師應當不僅知道他們所要教授的科目的知識，也要知道他們進行教學的藝術?！盵2]在這樣背景下，不僅教學方法、教學原則等“如何教”的相關問題得到了深入研究，教師必備的從業(yè)知識也就此發(fā)生了變化，一般教學法知識(Pedagogical Knowledge，簡稱PK)成為繼學科知識之后教師知識的另一項重要內容，并推動著教師隊伍整體的專業(yè)素養(yǎng)大幅提升。具體到數(shù)學教師，PK的加入也使教學教師的知識要素開始由一維向多維邁進，并提高了數(shù)學教師職業(yè)的準入標準和專業(yè)地位；當然，由MK和PK共同構成的“二元數(shù)學教師專業(yè)知識”并非沒有缺陷：“二元數(shù)學教學知識”中的知識要素缺少深層次的整合，“要教的數(shù)學知識”和“采用的教學方法”存在脫節(jié)的狀況。

20世紀80年代，教師知識理論的發(fā)展迎來了另一個高峰。美國學者李·S·舒爾曼(Shulman，L.S.)通過對美國教師資格認證過程的研究，發(fā)現(xiàn)“在許多州的師資檢證過程中”，本應一體化的教師知識“卻被割裂為學科知識和教學知識這兩個相互分離的部分”，以至于“教育知識完全沒有學科方面的內容”[3]。針對這一“缺失的范式”(Missing Paradigm)的現(xiàn)象，舒爾曼提出為了更好地完成課堂教學任務，教師應保證個人知識能夠與課堂教學緊密聯(lián)系，他們既需要“有學科的理論知識，也有實踐性知識，這些知識既對他們的教學產生影響，也受到教學行為的影響，對教師知識的任何描述都應該包括這兩個方面”[4]，從而確保教師有足夠的能力來承擔起學科專家和教育專家的雙重職責。

循著這樣的思路，舒爾曼提出了“學科教學知識”的概念，并認為它是一種學科知識中的有關課堂教學的知識，是教師對“個人教學經驗、教師學科內容知識和教學法的整合”[5]。之后，在1987年，舒爾曼提出了包括PCK在內的構成教師基本知識素養(yǎng)的7項內容，分別是學科內容知識(Content Knowledge)、一般教學法知識(General Pedagogical Knowledge)、課程知識(Curriculum Knowledge)、學科教學知識(Pedagogical Content Knowledge)、受教育者的關聯(lián)性知識(Knowledge of Learners and Their Characteristics)、教學的環(huán)境性知識(Knowledge of Educational Contexts)以及教育目標與價值的知識(Knowledge of Educational ends，purposes and values)[6]。

在舒爾曼觀點的啟示下，很多與具體學科相融合的PCK研究如雨后春筍般地涌現(xiàn)出來，而MPCK便是學者們對PCK理論的“數(shù)學學科化”，它可被界定為“數(shù)學教師從事專業(yè)教學所應具備的核心知識，”是數(shù)學學科知識、一般教學法知識以及“有關數(shù)學學習的知識(Content Knowledge，簡稱 CK，包括學生、學習背景、學習環(huán)境、教育宗旨等方面的知識)”這三種知識要素的集合，“教師往往需要綜合運用這3類知識，才能夠把科學形態(tài)的數(shù)學有效地轉化為教育形態(tài)的數(shù)學知識，才能夠達到幫助學生理解數(shù)學的目的?！盵7]6與PCK相類似，MPCK的生成需要以MK、PK和CK為前提，然而，MPCK一經出現(xiàn)，就會成為數(shù)學教師專業(yè)知識的核心要素，進而對MK、PK、CK的完善起到統(tǒng)領作用，所以，雖然同為數(shù)學教師的知識要素，但MPCK與MK、PK、CK實則并非并列的同級關系，它在數(shù)學教師專業(yè)知識中更具影響力。此外，MPCK不僅是“區(qū)別數(shù)學學科專家與數(shù)學教師的重要特征”，也是教師個人專業(yè)發(fā)展水平的重要標示，體現(xiàn)了專家型教師和新手型教師的差別[8]，一個有著豐富MPCK的教師，即便MK、PK、CK不一定完備，但都往往數(shù)學教學法知識靈活、數(shù)學內容知識豐富、教學內容知識多樣[7]6。

以MPCK為核心的“多要素的數(shù)學教師專業(yè)知識”較之以數(shù)學學科知識和一般教學法知識疊加而成“二元數(shù)學教師專業(yè)知識”有了更多的新進展：其一，它改變了數(shù)學教師專業(yè)知識要素相對單一的局面，大大拓寬了數(shù)學教師專業(yè)知識要素的內容，對教師在教學過程中可能會涉及的知識要素考慮得更加全面和完整；其二，作為“多要素的數(shù)學教師專業(yè)知識”重要組成部分的MPCK與數(shù)學教師的教學行為密不可分，它依托于數(shù)學教學、服務于數(shù)學教學，必然不會為教師職業(yè)之外的個體所享有，所以，“多要素的數(shù)學教師專業(yè)知識”進一步強化了數(shù)學教師職業(yè)的專業(yè)地位和數(shù)學教師專業(yè)知識的“教育性”；其三，它以MPCK為橋梁，使不同知識要素間形成了相互融合、相互促進的緊密聯(lián)系，改變了數(shù)學教師專業(yè)知識內部MK和PK簡單疊加的局面，也為數(shù)學教師加快自身的專業(yè)發(fā)展提供了有效途徑。

二、MPCK較之傳統(tǒng)數(shù)學教師專業(yè)知識的新特性

(一)MPCK是數(shù)學教師的專屬知識領域

MPCK主要是由數(shù)學學科知識、數(shù)學教學法知識以及有關數(shù)學學習的知識整合而成的，盡管其中的某一個或某幾個知識要素可能并不為數(shù)學教師所獨有，但MPCK卻有著相對于其他行業(yè)從事者和其他科目教師知識要素的特殊性。一方面，MPCK作為數(shù)學教師的專屬知識領域首先體現(xiàn)在教師行業(yè)與其他行業(yè)的比較中。由于MPCK是一種依托于教學的知識類型，其生成離不開數(shù)學教師長期的教學實踐、深入的教學反思以及豐富的教學經驗，這就導致個體即便熟練地掌握了數(shù)學學科知識和一般教學法知識也并不意味著MPCK在他的知識結構內部會自動出現(xiàn)。所以，MPCK的產生與完善，必須經歷一個長期的數(shù)學教學實踐過程，而縱覽社會各行各業(yè)，也只有數(shù)學教師才會如此長時間地與數(shù)學教學發(fā)生聯(lián)系；因此，MPCK不會為教師職業(yè)之外的其他行業(yè)從事者所有。

另一方面，MPCK作為數(shù)學專屬知識領域還體現(xiàn)在教師行業(yè)內部的比較中。MPCK是在數(shù)學學科知識和數(shù)學教學活動基礎上發(fā)展來的教師知識類型，其中，數(shù)學學科知識標明它的來源，數(shù)學教學活動標明它的生成途徑。MPCK這種與數(shù)學學科的高相關性決定了它在帶有區(qū)別于其他行業(yè)從事者“教育性”的同時，必然還會表現(xiàn)出區(qū)別于其他學科教師的“數(shù)學性”；因此，MPCK只能是依托于數(shù)學學科的教師知識，需要數(shù)學教師在數(shù)學課程的教授過程中對數(shù)學知識、數(shù)學教學法知識進行反復運用和深度整合，它不會為數(shù)學教師之外的其他學科教師所有。

(二)MPCK是多要素整合成的知識領域

MPCK并非一個完全獨立的知識領域，它由MK、PK、CK等知識要素轉化而來，并最終推動數(shù)學教師專業(yè)知識以一個有機整體的形式發(fā)揮作用。對MPCK而言，MK、PK、CK都是不可或缺的，這些知識要素可以不豐富，但卻不能不“在場”，缺少其中任何一個要素，MPCK的生成都會受到阻礙。與此同時，MPCK也不是上述知識要素的簡單疊加和隨機組合，它是不同知識要素交匯融合的產物，在這一融合過程中，各知識要素早已改變了自身的形態(tài)和彼此間的關系：一方面，MK、PK、CK本是三種互不不同的知識要素，隨著從教時間的推移，教師知識結構中知識要素在相互作用中逐漸發(fā)生了融合，而MK、PK、CK的存在形態(tài)也由此發(fā)生了改變，分別形成了經MK與PK融合成的數(shù)學教學法知識，經MK與CK融合成的數(shù)學內容知識，經PK與CK融合成的教學內容知識，進而在三類已經發(fā)生融合知識的基礎上最終生成MPCK。由此可見，MPCK盡管融入了MK、PK、CK，但它們早已不是原初的形態(tài)。

另一方面，MK、PK、CK本處于分離狀態(tài)，但MPCK產生后，MK、PK、CK間的關系發(fā)生了徹底改變，它們不再呈現(xiàn)若即若離的松散關系，也不再獨立地發(fā)揮作用，而是一起融入到了MPCK中，形成了極為密切且兼具條理性和常態(tài)化的深層次聯(lián)系，并通過MPCK對教師的教學行為施以整體性影響。

(三)MPCK是持續(xù)生成中的知識領域

持續(xù)生成意味著從少到多、從簡單到豐富的漸變過程。舒爾曼提出的PCK理論是一種靜態(tài)知識觀。從20世紀90年代開始，受建構主義思潮的影響，科克倫(Cochran)等人提出了一個重在體現(xiàn)教師知識發(fā)展的動態(tài)性的“學科教學認知”(Pedagogical Content Knowing，簡稱PCKg)概念作為對PCK的補充，并將其界定為“教師對一般教學法、學科內容、學生特征和學習情境等知識的綜合理解”[9]263-272。PCKg的理論認為，教師的學科教學認知是不斷發(fā)展的，隨著教師的其他類型知識的不斷豐富以及教師教學能力的不斷增強，教師的PCKg就會得到發(fā)展，從而能夠引導他們更好地組織教學內容、選擇教學策略。當然，PCK與PCKg并沒有本質上的區(qū)別，因為“PCKg只是在更高的層面上強調了PCK形成過程的動態(tài)性和建構性，它意味著PCK不會隨著學科知識和一般教學法知識的獲得而自然形成，相反它帶有明顯的個體性、情境性和建構性的特征”[10]。

MPCK應將PCKg對教師知識論的合理創(chuàng)見納入其中。MPCK的動態(tài)生成性主要表現(xiàn)為：MK與PK是數(shù)學教師主要在職前教育階段接觸的兩種知識類型，它們一旦被習得，就會相對穩(wěn)定下來，呈現(xiàn)出較為緩慢的更新速度。MPCK卻與之相反，一方面，它不是數(shù)學教師在教師教育中習得的知識，而是教師在教學實踐中歷經長時間的運用和反思建構起來的知識；另一方面，MPCK并非封閉的教師知識類型，它不會一經出現(xiàn)便停滯下來，而是會在MK、PK、CK相互作用中經常性地融入新的要素和新的內容，以致總處于動態(tài)變化的過程中，并隨著教師專業(yè)發(fā)展水平的提高而日漸完善。

(四)MPCK是處于緘默狀態(tài)的知識領域

英國學者邁克爾·波蘭尼(Michael Polanyi)曾將人的知識劃分為顯現(xiàn)知識(Explicit Knowledge)和緘默知識(Tacit Knowledge)兩類，前者可以“用書面文字或地圖、數(shù)學公式來表述”，后者則是“不能系統(tǒng)表述的，例如我們有關自己行為的某種知識”[11]。MPCK便屬于緘默知識。首先，MPCK作為緘默知識表現(xiàn)為它具有默會性。MPCK雖然是在教師的教學實踐中生成的，研究者也可以對MPCK給出一個概括性的定義，但作為MPCK建構者和使用者的教師卻很難對自身知識結構中MPCK的內容、存在狀態(tài)及作用機制予以清晰描述；因此，MPCK對數(shù)學教師而言是一種只可意會卻難以言傳的默會知識。

其次，MPCK作為緘默知識表現(xiàn)為它具有個體性。MPCK是被數(shù)學教師普遍享有的知識類型，只要經過一定時段的教學實踐活動，數(shù)學教師都會生成MPCK。但是，MPCK畢竟是一種生成而非習得的教師知識類型，它雖然在理論研究中表現(xiàn)出名稱和定義上的一致性，卻在教學實踐中表現(xiàn)出內容和存在方式上的差別性：一方面，就個人專業(yè)發(fā)展水平居于相近水平的數(shù)學教師來看，由于不同教師對MK、PK、CK的掌握和理解程度不同，加之個人經歷、興趣及思維方式的差異，他們生成的MPCK往往有明顯不同；另一方面，就處于不同專業(yè)發(fā)展階段的數(shù)學教師而言，由于MPCK會受到教師個人教學經驗、主觀能動性以及對知識領悟程度的影響，那些專業(yè)發(fā)展水平較高的熟手型或專家型教師，其個人的MPCK往往有著更廣的有覆蓋面和更高的整合度；反之，那些專業(yè)發(fā)展水平較低的新手型教師，其個人的MPCK總會存在這樣或那樣的缺陷，亟須教師去完善。MPCK的個體性，決定了每位數(shù)學教師的MPCK會很難被他人所理解，也很難用言說的方式傳遞給他人。

三、MPCK對促進數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的啟示

(一)數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展需要以教師對自我知識的積極拓展為前提

教師的專業(yè)發(fā)展是教師知識、教學技能、教育理念的一體化發(fā)展，但在此之中，只有知識與教師的專業(yè)化以及教師的專業(yè)發(fā)展是最密不可分的。恰如科克倫所言：“教師區(qū)別于生物學家、歷史學家、作家和教育研究者不在于他們掌握專業(yè)知識的質量和數(shù)量，而在于他們如何組織和使用知識上。例如有經驗的教師的科學知識是從教學的角度組織起來的，并成為幫助學生理解具體概念的基礎。而一位科學家的知識則是從研究的角度來組織的，是作為建構本領域新知識的基礎。”[9]263-272數(shù)學教師專業(yè)知識對數(shù)學教師而言同樣如此，以MPCK為核心要素的數(shù)學教師專業(yè)知識不僅是衡量數(shù)學教師隊伍專業(yè)化程度的顯著標志，也是數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展的主要內容，它們從根本上制約著數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展水平。以此為鑒，數(shù)學教師應將對自身知識的完善作為實現(xiàn)專業(yè)發(fā)展的前提，重視對MK、PK、CK、MPCK的拓展：一方面，數(shù)學教師要針對個人MK、PK、CK中存在的不足進行添補、充實，積極學習新出現(xiàn)的數(shù)學內容知識、教學方法、教育理念，并將他們內化到自己的認知結構中去，形成對已有知識的有益補充；另一方面，數(shù)學教師要努力發(fā)展自己的MPCK，既要擴充它的內容，推動它的持續(xù)地動態(tài)發(fā)展，又要提高MK、PK、CK在其中的融入程度，使它成為一個整合性更高的知識領域。

此外，MPCK是一種個體化的緘默知識，它的生成離不開教師本人的積極參與，教師只有充分調動知識、運用知識、整合知識，才能推動MPCK得到更多、更好的發(fā)展。因此，數(shù)學教師在知識建構過程中要表現(xiàn)出高度的自覺性和能動性，既要善于利用外部條件，通過職后培訓、校內交流、集體備課等途徑，尋找及彌補自身知識結構中存在的不足，并吸納有關數(shù)學教育的新觀念、新知識和新方法，實現(xiàn)對既有知識的改進和更新，數(shù)學教師還要認識到知識完善對個人專業(yè)發(fā)展的重要價值，對MPCK的建構以及各知識要素的充實抱有高度的責任心，在教學過程中善于總結、勤于反思，有目的、有意識地提高自身的專業(yè)知識水平，優(yōu)化MPCK的內容和整合度。

(二)數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展需要以實踐型的教師教育為基石

教師教育是以培養(yǎng)高水平師資力量為目標的專業(yè)性教育，科學有效的教師教育是形成并拓展教師知識的最主要和最直接的途徑，它需要自覺為教師個人知識的完善服務。通過上文已知，數(shù)學教師專業(yè)知識的本質是一種實踐性知識，而在其中起統(tǒng)領性作用的MPCK更是與數(shù)學教學實踐緊密地聯(lián)系在一起，這就需要我國的數(shù)學教師教育堅持以數(shù)學教學實踐為導向設置課程內容、以教學實踐為途徑完善培養(yǎng)模式、以教學實踐為平臺優(yōu)化職后培訓。

首先，在數(shù)學教師的職前教育中應秉持“從數(shù)學教學出發(fā)”和“服務數(shù)學教學”的理念。數(shù)學教師的職前教育要改變“師范性”與“學術性”相對立的觀念，認識到數(shù)學教師也一樣需要有著扎實、全面的數(shù)學學科知識和較強的研究能力，因此要一如既往地保持MK相關課程的教學質量，為學生奠定良好的數(shù)學專業(yè)知識基礎。此外，數(shù)學教師的師資培養(yǎng)機構還要提高PK和實踐類課程的比重，不僅要增加教育類、心理類課程的課時量，確保學生在入職前能夠掌握足夠的PK和CK方面的相關知識，還要在做好案例教學和微格教學，訓練學生教育技能的同時，與中小學建立互惠的協(xié)作關系，延長學生在中小學中見習和實習的時間，提高一線教師對實習學生的重視程度和指導質量，為學生在實際教學中應用專業(yè)知識，盡早生成MPCK提供更多的機會和平臺。

其次，在數(shù)學教師的職后培訓中應堅持“回歸數(shù)學學科”和“優(yōu)化教學能力”的理念。職后培訓的實效性和職后培訓的內容、方式息息相關。以往對教師的職后培訓往往更注重普適性，注重對一般教育理念、教學方法的傳遞，然而，要提高職后培訓的質量，就要由一般回歸特殊，與具體學科的特質聯(lián)系起來。因此，專門針對數(shù)學教師的職后培訓就應當突出“數(shù)學性”，在培訓中既要向數(shù)學教師傳遞一般性的新理念和新思想，又要從數(shù)學學科的視角來設置培訓內容，注重對參訓教師數(shù)學學科知識、數(shù)學教學法知識的更新。同時，在數(shù)學教師的職后培訓中，還要組建由數(shù)學專家、教育專家及優(yōu)秀數(shù)學教師構成的培訓團隊，并為參訓教師盡可能地提供與培訓者交流的機會，從而為彌補他們在專業(yè)知識和數(shù)學教學中存在的不足提供機會。

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On the Pedagogical Content Knowledge of Mathematics from the Perspective of Teacher Professional Development

WANG Hong,SHI Ning-zhong

(Faculty of Educational Science，Northeast Normal University,Chang chun 130024,China)

The theory of mathematics teachers’ professional knowledge has been reconstructed through an expansion of the MK to MPCK among academics. MPCK, originally developed on the theory of knowledge of pedagogy, refers to an exclusive domain of knowledge on the part of mathematics teachers, incorporating knowledge of mathematics, of mathematics pedagogy, and of mathematics learning. It is an important indicator of mathematics teachers’ professional development, reflecting mathematics teachers’ proficiency in both “mathematics” and “mathematics pedagogy”. Drawing on theories related to MPCK, the present paper argues that an active enhancement of technical knowledge on the part of math teachers is a prerequisite for the success of math teachers’ professional development, of which, a practice-oriented teacher education serves as the cornerstone.

Teacher Knowledge;Technical Knowledge for Mathematics Teaching;Teacher Professional Development

[DOI]10.16164/j.cnki.22-1062/c.2015.06.048

2015-05-15

全國教育科學規(guī)劃教育部重點項目(DHA110237)。

王宏(1968-)，男，黑龍江五常人，東北師范大學教育學部博士研究生，北京師范大學附屬實驗中學高級教師；史寧中(1950-)，男，江蘇宜興人，東北師范大學教授，博士生導師。

G650

A

1001-6201(2015)06-0244-05

[責任編輯：何宏儉]