一輪復(fù)習(xí)課：起點(diǎn)和終點(diǎn)都是概念
——以“相似三角形的判定與性質(zhì)”復(fù)習(xí)為例

☉江蘇省如皋市丁堰鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)陳志勇

不同階段的中考復(fù)習(xí)，在教學(xué)任務(wù)上有著較大的差異.與二輪專題復(fù)習(xí)的綜合性相對(duì)應(yīng)，一輪復(fù)習(xí)應(yīng)凸顯基礎(chǔ)性，一般以知識(shí)點(diǎn)的梳理為教學(xué)任務(wù).因此，在一輪復(fù)習(xí)課上，我們應(yīng)以概念回顧為主要教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)適量的解題訓(xùn)練幫助學(xué)生梳理初中階段所學(xué)的知識(shí)，形成較為完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).近期，筆者以“相似三角形的判定與性質(zhì)”為題開(kāi)設(shè)了一節(jié)“起點(diǎn)和終點(diǎn)都是概念”首輪復(fù)習(xí)課，取得了較好的教學(xué)效果.現(xiàn)將這節(jié)課和筆者的些許思考與您做個(gè)交流，希望能引發(fā)您的思考.

一、“相似三角形的判定與性質(zhì)”復(fù)習(xí)過(guò)程及簡(jiǎn)析

活動(dòng)1：以題理知

學(xué)生活動(dòng)：自主解答下列各題，并在小組中交流用到的知識(shí).

（1）如圖1，△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，添加一個(gè)條件：_______（寫(xiě)一個(gè)即可），使△ADE∽△ACB.

（2）如圖2，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，則AD=______.

圖1

圖4

圖2

圖3

（3）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，則∠E+∠F= ________.

（4）如圖3，△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，BC=4，有下面四個(gè)結(jié)論：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為1∶4；④△ADE的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)之比為1∶4.其中正確的有________（只填序號(hào)）.

（5）如圖4，△ABC中，BC=12cm，高AD=8cm.正方形PQMN的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上.則正方形PQMN的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.

10分鐘后，學(xué)生交流結(jié)束.

師：解答這5道題目，用到了哪些知識(shí)？

生1：“兩角判定法”判定三角形相似.

師：哪些題目中用到這種方法？

（教師板書(shū)：相似三角形，判定，兩角判定法.如圖6，下同）

生2：第1題中，圖1是兩個(gè)相似三角形組成了“A字形”，∠A是△ADE和△ACB的公共角，只要再添加一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，如∠ADE=∠ACB，就可以用“兩角判定法”證明了.

（教師板書(shū)：A字形）

生3：第4、5兩題也是“A字形”，都可以用“兩角判定法”證相似.第2題中兩個(gè)三角形組成了“8字形”（教師板書(shū)：8字形），也可以用“兩角判定法”證明相似.

師：判斷這些三角形相似，還有其他方法嗎？

（教師板書(shū)：兩邊及夾角判定法）

生5：我們還可以用“三邊判定法”來(lái)判定證明第4題中的兩個(gè)三角形相似.

師：怎么證？

（教師板書(shū)：三邊判定法）

生7：這樣太復(fù)雜了！由中位線定理得DE∥BC，所以兩個(gè)三角形相似.

師：這是什么方法？生8：平行判定法.

（教師板書(shū)：平行判定法）

師：還有什么地方用到這種方法？

生9：第5題中，PN∥BC，我們也可以用這種方法證明△APN∽△ABC.

師：非常好！那么在解答這5題時(shí)，還用到了哪些知識(shí)呢？

生10：相似三角形的性質(zhì)（教師板書(shū)：性質(zhì)）.比如，第2題用到了“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”；第3題用到了“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”；第4題用到了“相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方”；第5題用到了“相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比”.

（根據(jù)學(xué)生的敘述，教師將性質(zhì)逐一板書(shū)）

師：第5題用到哪種對(duì)應(yīng)線段呢？

師：接下來(lái)怎么做？

師：還用上方程了呢！方程是重要的數(shù)學(xué)模型.這里我們應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)，將“對(duì)應(yīng)線段的比”轉(zhuǎn)化為方程.

（教師板書(shū)：方程）

簡(jiǎn)析：“以題理知”重在理知，題目是知識(shí)的載體，在教學(xué)中，教師讓學(xué)生從題目出發(fā)交流用到的知識(shí)，整個(gè)交流側(cè)重于知識(shí)點(diǎn)的掃描和歸整.通過(guò)即時(shí)板書(shū)，這些知識(shí)點(diǎn)在黑板上及時(shí)“定格”，對(duì)接下來(lái)的應(yīng)用與建網(wǎng)十分有利.

活動(dòng)2：用知得法

學(xué)生活動(dòng)：自主解答，并在小組中交流解題思路、用到的知識(shí)和注意點(diǎn).

例如圖5，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是正方形的邊DC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，作HE⊥AE，交BC于點(diǎn)H，連接AH.

（1）求證：△ADE∽△ECH；

（2）當(dāng)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明△AEH與△ADE相似；

（3）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AHCD的面積最大？最大值是多少？

圖5

學(xué)生自主解答例題，8分鐘后，教師組織學(xué)生進(jìn)行全班交流.求出DE=CE=2，AE=2和∠AEH=∠D=90°，可得△AEH與△ADE相似.

師：第三問(wèn)怎么解？

生2：設(shè)DE的長(zhǎng)為x，則CE=4-x.根據(jù)第一問(wèn)中的“△ADE∽△ECH”，可得.所以

師：這道例題怎么解？

生1：△ADE和△ECH組成的是“K字形”（教師板書(shū)：K字形），用“兩角判定法”就可證明相似.對(duì)于第二問(wèn)，先10.所以當(dāng)DE=2時(shí)，四邊形AHCD的面積為10.

師：非常棒！這么規(guī)范的解題過(guò)程，你是怎么想到的？

生3：我先想到了函數(shù).

師：為什么？

生4：“四邊形AHCD的面積最大”，直覺(jué)告訴我與二次函數(shù)有關(guān).

師：非常棒！在化解與相似三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，在得到兩個(gè)相似三角形后，我們常利用其性質(zhì)得到方程或函數(shù)，用代數(shù)的方法求出答案.

（教師板書(shū)：函數(shù)）

簡(jiǎn)析：知識(shí)梳理是復(fù)習(xí)課的重要任務(wù)，在教學(xué)過(guò)程中，核心知識(shí)應(yīng)隨著例題的解答與交流不斷呈現(xiàn)，使之相互關(guān)聯(lián)融合.活動(dòng)2中，教師引導(dǎo)學(xué)生從相似三角形的性質(zhì)出發(fā)，生成函數(shù)模型，將相似三角形與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，讓本節(jié)課的知識(shí)與已有知識(shí)“結(jié)網(wǎng)聯(lián)通”，拓寬了學(xué)生思路分析時(shí)“聯(lián)想”的寬度.

活動(dòng)3：課堂小結(jié)

教師用追問(wèn)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)，在學(xué)生陳述的時(shí)候，教師將原來(lái)的板書(shū)用“虛線框圖”和“箭頭”鏈接起來(lái)，形成圖6.

圖6

簡(jiǎn)析：前兩個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生和教師的努力達(dá)成了預(yù)期的教學(xué)成效.即時(shí)板書(shū)，夯實(shí)了課堂小結(jié)的基礎(chǔ).課堂小結(jié)，指向了知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu)，教師將圖6中原本“孤立”的板書(shū)通過(guò)“框圖”和“箭頭”鏈接在一起，讓知識(shí)、方法及數(shù)學(xué)思想實(shí)現(xiàn)了關(guān)聯(lián)，這種網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu)為學(xué)生解題時(shí)知識(shí)的提取與應(yīng)用提供了便利.

二、三點(diǎn)感悟

1.全面梳理概念，精準(zhǔn)鏈接成網(wǎng)

在中考首輪的任何一節(jié)復(fù)習(xí)課上，我們應(yīng)密切關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的成效與中考成效之間的同比增值，在概念的梳理與網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)中實(shí)現(xiàn)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的提升.復(fù)習(xí)課從“以題理知”出發(fā)，以簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題讓基本概念全部“現(xiàn)身”.在學(xué)生的自主解答中，在組內(nèi)的交流辨析中，在全班的互動(dòng)共享中，基本的概念隨著教師的板書(shū)逐步呈現(xiàn).為了凸顯數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，板書(shū)單一知識(shí)要注意“布局”，以便知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu).在上面這節(jié)課中，教者通過(guò)活動(dòng)1、2將“相似三角形的判定與性質(zhì)”及其相關(guān)概念逐一板書(shū)在黑板上，并將與這一板塊關(guān)聯(lián)密切的“方程、函數(shù)”也呈現(xiàn)在學(xué)生眼前.活動(dòng)3中，箭頭和框圖的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu).這樣的全面梳理和網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，不僅能夠讓學(xué)生感知到“相似三角形”知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，還能讓他們深刻體會(huì)到相似三角形的應(yīng)用不只局限于幾何.在與相似三角形相關(guān)的問(wèn)題解答中，不僅要從幾何角度進(jìn)行思路分析，還應(yīng)學(xué)會(huì)從圖形中找尋化解問(wèn)題的代數(shù)方法.這樣的復(fù)習(xí)課，不僅梳理了板塊知識(shí)，還實(shí)現(xiàn)了學(xué)段關(guān)聯(lián)，有益于中考，服務(wù)于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

2.立足已有網(wǎng)絡(luò)，適度延伸拓展

在新授課學(xué)習(xí)階段，學(xué)生建構(gòu)出的相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)散布在學(xué)生的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，與其他板塊少有關(guān)聯(lián).為了讓不同板塊“鏈接”起來(lái)，我們有必要通過(guò)題組將課時(shí)知識(shí)適度延伸與拓展，形成不同板塊知識(shí)的“銜接點(diǎn)”，從而讓不同的知識(shí)有序“入網(wǎng)”.基于這樣的教學(xué)需求，在一輪復(fù)習(xí)課上，我們應(yīng)在梳理本節(jié)課的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)之上，通過(guò)對(duì)預(yù)設(shè)題組“解題套路”的歸納形成知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖.以本文中的案例為例，“相似三角形”在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒(méi)有太多的外延，僅局限在相似的判定和性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用之上，然而在中考中，這一段的知識(shí)應(yīng)用卻成為了解題的難點(diǎn)，導(dǎo)致很多失分.細(xì)細(xì)分析，很多非本板塊的知識(shí)的融入是主要原因，如方程、函數(shù)等知識(shí).在初中階段，這些知識(shí)的應(yīng)用本身就很難，與相似三角形整合作為新的考點(diǎn)時(shí)，命題者會(huì)有意設(shè)置解題“陷阱”，學(xué)生解題時(shí)自然會(huì)問(wèn)題重重.所以首輪的“相似三角形”的復(fù)習(xí)在經(jīng)歷了學(xué)生的自主解答與交流之后，教者以性質(zhì)為起點(diǎn)，將中考中“相似三角形”延伸應(yīng)用最多的幾個(gè)知識(shí)及時(shí)引入，并進(jìn)行了即時(shí)板書(shū).最后的小結(jié)歸納，以箭頭和框圖的形式將它們關(guān)聯(lián)在一起，形成了更大范圍的網(wǎng)絡(luò)，提升了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題思維的寬度和廣度.

3.關(guān)注核心概念，強(qiáng)化應(yīng)用體驗(yàn)

一輪復(fù)習(xí)是指向中考的復(fù)習(xí)，理應(yīng)關(guān)注中考中的“高頻”考點(diǎn)，讓它們成為復(fù)習(xí)的重點(diǎn).“高頻”考點(diǎn)，一般是初中階段的核心概念，不僅在現(xiàn)階段能得到大范圍的應(yīng)用，在未來(lái)的學(xué)習(xí)生活中，這些概念也會(huì)有著更為廣泛的應(yīng)用.所以我們應(yīng)密切關(guān)注現(xiàn)階段的核心概念，在首輪復(fù)習(xí)課上圍繞這些概念編排相應(yīng)的例題、練習(xí)與教學(xué)活動(dòng)，讓他們?cè)趩?wèn)題的活動(dòng)與交流中，強(qiáng)化應(yīng)用體驗(yàn)，感知這些知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，并形成積極的應(yīng)用意識(shí)，以提升這些概念在問(wèn)題解決中的地位及作用.在“相似三角形”首輪復(fù)習(xí)課上，“相似三角形的性質(zhì)和判定”是復(fù)習(xí)的核心，而在這一核心中，又以“兩角判定法”和“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”在問(wèn)題解決中的作用最大.所以教者編排了多道題目用以回顧這兩個(gè)核心概念.在整個(gè)的問(wèn)題解決和知識(shí)回顧歷程中，學(xué)生始終是教學(xué)的主體，他們反復(fù)經(jīng)歷了自主解答和交流點(diǎn)評(píng)的過(guò)程，這兩個(gè)核心概念被反復(fù)應(yīng)用，解題經(jīng)驗(yàn)被不斷強(qiáng)化.而小組和全班的適時(shí)交流，將學(xué)生的解題過(guò)程反復(fù)矯正，經(jīng)驗(yàn)的正向強(qiáng)化順應(yīng)了學(xué)生的解題體驗(yàn)，有效推動(dòng)了個(gè)性化解題經(jīng)驗(yàn)的積累，為每個(gè)個(gè)體解題方法的積累和解題能力的提升作出了巨大貢獻(xiàn).

三、結(jié)束語(yǔ)

一輪復(fù)習(xí)，是基于概念梳理需求的教學(xué)活動(dòng).無(wú)論是教師的教，還是學(xué)生的學(xué)，都應(yīng)以概念為重.以題理知，要回顧本課時(shí)應(yīng)復(fù)習(xí)的所有概念，確保本板塊中的基本概念無(wú)一遺漏；用知得法，充分挖掘典型例題的教學(xué)價(jià)值，在進(jìn)一步梳理概念的同時(shí)將知識(shí)網(wǎng)絡(luò)延伸與拓展，形成符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的解題套路；小結(jié)整理，直接指向全課知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，通過(guò)將全課知識(shí)的鏈接，以便學(xué)生解題“聯(lián)想”，提升他們的解題能力.總之，一輪復(fù)習(xí)應(yīng)腳踏實(shí)地，從概念出發(fā)，不在教學(xué)例題的難度和深度上花太多的精力，所有教學(xué)活動(dòng)應(yīng)緊緊圍繞概念梳理與“結(jié)網(wǎng)”進(jìn)行，只有這樣的設(shè)計(jì)與教學(xué)定位，才能真正成就有效的復(fù)習(xí)課堂.Z