張 成，周炳均，鄭 興

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756）

引言

2007年8月，美國(guó)次貸危機(jī)爆發(fā)，進(jìn)而引發(fā)全球金融危機(jī)，全球金融系面臨自1929年以來(lái)的最大危機(jī)。此外，近二十年內(nèi)國(guó)際金融市場(chǎng)的劇烈波動(dòng)以及金融危機(jī)在全世界范圍內(nèi)頻頻發(fā)生，如1992年的貨幣危機(jī)、1994年墨西哥金融危機(jī)、1997年亞洲金融危機(jī)等。同時(shí)，一些大的金融機(jī)構(gòu)也經(jīng)常因?yàn)椴煌晟频娘L(fēng)險(xiǎn)管理而遭受巨大的損失甚至破產(chǎn)，如英國(guó)巴林銀行破產(chǎn)案、中航油新加坡等。上述金融事件的頻頻發(fā)生，說(shuō)明現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)全球化不斷加深的時(shí)代，對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的管理已經(jīng)成為金融機(jī)構(gòu)必須注重考慮的問(wèn)題，因此，對(duì)于金融風(fēng)險(xiǎn)管理的研究顯得異常的重要。

由于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）具有定量性、綜合性、直觀(guān)性等優(yōu)點(diǎn)，能夠直觀(guān)定量地給出單個(gè)資產(chǎn)或者資產(chǎn)組合綜合的風(fēng)險(xiǎn)值，逐漸發(fā)展成為金融風(fēng)險(xiǎn)管理中最常用也是最有效的方法，國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界對(duì)VaR模型的研究也越來(lái)越流行和深入。張堯庭（1998）、鄭文通（1999）等介紹了VaR方法的產(chǎn)生背景、定義、計(jì)算方法、用途以及引入中國(guó)的必要性[1~2]；肖春來(lái)等（2003）在股票價(jià)格和收益率服從二元正太分布的假設(shè)下，提出一種計(jì)算條件VaR的方法[3]；蘇濤（2007）對(duì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)VaR度量模型進(jìn)行了改進(jìn)研究[4]。

分位數(shù)回歸理論由Koenker和Bassett提出[5]，其特點(diǎn)是描述在不同變化范圍和條件分布形狀下自變量對(duì)因變量的影響。分位數(shù)回歸適應(yīng)了尖峰厚尾這種金融事件序列常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)特征，并且能夠較好地描述尾部特征。自從分位數(shù)回歸的理論提出之后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始將分位數(shù)回歸理論應(yīng)用在教育、工資收入、需求分析、經(jīng)濟(jì)學(xué)等其他廣泛領(lǐng)域。段景輝、陳建寶（2009）用分位數(shù)回歸對(duì)我國(guó)城鄉(xiāng)家庭收入差異影響因素進(jìn)行了解析[6]；段玉（2011）用分位數(shù)回歸對(duì)湖南省城鄉(xiāng)居民收入與消費(fèi)需求進(jìn)行了分析[7]。在金融領(lǐng)域，Taylor（1999，2000）構(gòu)造持有期為k的分位數(shù)回歸VaR模型[8~9]；Engle和Manganeli（2004）首次提出了分位數(shù)條件自回歸模型（CAViaR）[10]；關(guān)靜、史道濟(jì)（2008）選取適當(dāng)?shù)奈膊糠治粩?shù)回歸方法，模擬預(yù)測(cè)了極端水平下上證指數(shù)收益率的條件VaR[11]；張海云（2011）研究了基于分位數(shù)回歸的股指期貨風(fēng)險(xiǎn)度量[12]。

本文利用分位數(shù)回歸思想，結(jié)合GARCH參數(shù)模型，用分位數(shù)回歸方法估計(jì)回歸參數(shù)，計(jì)算VaR，并與GARCH模型計(jì)算的VaR結(jié)果進(jìn)行比較。

一、分位數(shù)回歸基本原理

對(duì)于線(xiàn)性模型yt=X'β+ut，其中X，β都是p×1維向量。則分位數(shù)回歸模型如下：

其中，Q（yτ|x）=inf{y：Fy（y|x）≥τ}表示y的分位數(shù)為模型中參數(shù)β的估計(jì)值。如果τ=1/2，回歸模型即為中位數(shù)回歸稱(chēng)作中位數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)量。

二、GARCH Quantile風(fēng)險(xiǎn)度量模型基本原理

根據(jù)Bollerslev提出的GARCH模型，可以得到與之等價(jià)的廣義GARCH模型結(jié)構(gòu)如下：

本文將分位數(shù)回歸與廣義GARCH模型結(jié)合，用GARCH Quantile風(fēng)險(xiǎn)度量方法計(jì)算上市公司A股在險(xiǎn)價(jià)值VaR。

如果給定一個(gè)分位數(shù)水平τ，則殘差的分位數(shù)函數(shù)為：

其中，QF（τ|Ωt-i）=inf{y：Fy（yt|Ωt-i）}表示殘差分布F的的τ分位數(shù)。如果Yt表示對(duì)數(shù)收益率，則可得到置信水平為1-τ的VaR為：

其中，Xt=（1，|εt-1|，|σt-1|）'，α（τ）=α0QF（τ），α1QF（τ），α2QF（τ））'，QF（τ）是殘差分布F的τ分位數(shù)函數(shù)；此模型即為GARCH Quantile風(fēng)險(xiǎn)度量模型表達(dá)式。α（τ）可以通過(guò)非線(xiàn)性分位數(shù)回歸對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)：

三、實(shí)證分析

本文數(shù)據(jù)選取江蘇國(guó)泰（股票代碼：002091）2012年9月18日至2014年3月31日共365個(gè)收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)，股票收益率定義為Rt=lnPt-lnPt-1。

首先作收益率序列折線(xiàn)圖（見(jiàn)下圖）。

收益率序列折線(xiàn)圖

從下圖中可以看出，江蘇國(guó)泰股票收益率基本上在零值附近上下波動(dòng)，隨著時(shí)間的改變收益率也在不斷的改變。從收益率散點(diǎn)圖上可以發(fā)現(xiàn)，收益率序列總體上是平穩(wěn)的，并且會(huì)在一段時(shí)間內(nèi)集體的偏高或偏低，即收益率波動(dòng)的集簇性?？捎肎ARCH模型對(duì)收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行建模擬合。

應(yīng)用GARCH（1，1）分別在正態(tài)分布和t分布下對(duì)收益率序列建模，波動(dòng)方程參數(shù)估計(jì)結(jié)果（見(jiàn)表1）。

表1 N-GARCH（1，1）模型和 t-GARCH（1，1）模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

有參數(shù)估計(jì)結(jié)果可以得到計(jì)算收益率序列波動(dòng)率的表達(dá)式，再由VaR的計(jì)算公式VaR=Zασt得到VaR的值，其中Zα是GARCH模型中殘差分布Z的下α分位點(diǎn)，t表示持有期，本文中持有期為t=1天。由于波動(dòng)率σt是一列時(shí)間序列，故本文通過(guò)公式計(jì)算的VaR也是時(shí)間序列。分別計(jì)算置信水平95%和99%水平下的VaR，結(jié)果（見(jiàn)表2）。

表 2 N-GARCH（1，1）模型和 t-GARCH（1，1）模型計(jì)算 VaR 結(jié)果

應(yīng)用分位數(shù)回歸思想廣義GARCH模型結(jié)合的GARCH-Q 模型分別計(jì)算置信水平為95%和99%的VaR，建立分位數(shù)回歸模型：

模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（見(jiàn)表3）。

將參數(shù)估計(jì)結(jié)果代入分位數(shù)回歸方程即可求得VaR值。由模型表達(dá)式可以看出VaR依賴(lài)于廣義GARCH模型均值方程殘差滯后項(xiàng)的絕對(duì)值以及波動(dòng)率滯后項(xiàng)的絕對(duì)值，故由GARCH-Q模型計(jì)算的VaR也是一列時(shí)間序列。在不同置信水平下的計(jì)算結(jié)果（見(jiàn)表4）。

表3 兩種GARCH-Q模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

表4 兩種GARCH-Q模型在95%置信水平下VaR計(jì)算結(jié)果

對(duì)VaR的精確事后檢驗(yàn)，最常用的的是Kupiec（1995）提出的失敗率檢驗(yàn)法。其基本思想是，將實(shí)際損失超過(guò)VaR的記為失敗，用失敗天數(shù)除以總觀(guān)察天數(shù)得到失敗率，將失敗率與預(yù)先設(shè)定的VaR顯著性水平作比較，越接近則表明VaR模型預(yù)測(cè)效果越好。

假設(shè)將觀(guān)察的結(jié)果看做是一系列的獨(dú)立伯努利試驗(yàn)，失敗的期望概率為α（1-α為置信水平）。假定實(shí)際觀(guān)察天數(shù)為T(mén)，失敗天數(shù)為N，則失敗率為p=N/T。原假設(shè)為 H0：p=α，Kupiec提出使用似然比檢驗(yàn)做假設(shè)檢驗(yàn)，LR統(tǒng)計(jì)量為：

若VaR模型正確，則LR統(tǒng)計(jì)量漸進(jìn)服從χ2（1）分布。LR統(tǒng)計(jì)量的值越小，越不能拒絕VaR模型正確的原假設(shè)，即LR統(tǒng)計(jì)量值越小說(shuō)明模型預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確。

將各個(gè)模型在95%置信水平下的失敗率情況整理（見(jiàn)表5）。

表5 各個(gè)模型計(jì)算得到的VaR失敗率整理

根據(jù)失敗率檢驗(yàn)法原理，在5%的顯著性水平下自由度為1的卡方分布檢驗(yàn)在5%的顯著性水平下臨界值為3.8415，在不拒絕原假設(shè)前提下，VaR的優(yōu)劣判斷遵循LR最小準(zhǔn)則。從表5結(jié)果看，N-GARCH模型置信度為95%的水平下計(jì)算VaR的LR值為9.0743，在統(tǒng)計(jì)意義下拒絕原假設(shè)，可以認(rèn)為N-GARCH模型計(jì)算的VaR不準(zhǔn)確，即與實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)狀況不符。而t-GARCH模型的LR值為0.4330，不拒絕原假設(shè)，可認(rèn)為t-GARCH模型是比較合理的VaR預(yù)測(cè)模型。而在95%的置信水平下，N-GARCH-Q模型和t-GARCH-Q模型的LR統(tǒng)計(jì)量值都是0.0851，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于兩個(gè)GARCH模型的LR值。這說(shuō)明分位數(shù)回歸GARCH模型（GARCH-Q模型）計(jì)算VaR比GARCH模型計(jì)算的VaR值更加精確，更能夠反映股價(jià)波動(dòng)為投資收益帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)情況。

值得注意的是，N-GARCH-Q模型和t-GARCH-Q模型兩個(gè)模型的失敗天數(shù)、失敗率和LR統(tǒng)計(jì)量值都相等，這體現(xiàn)了分位數(shù)回歸計(jì)算VaR時(shí)最突出的優(yōu)點(diǎn)，即分位數(shù)回歸計(jì)算VaR時(shí)，不會(huì)受收益率分布的影響。也就是說(shuō)，用分位數(shù)回歸進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)度量，計(jì)算VaR時(shí)，不需要對(duì)收益率的分布做假設(shè)，這是分位數(shù)回歸相對(duì)于其他風(fēng)險(xiǎn)度量方法的最重要的優(yōu)點(diǎn)。

結(jié)論

結(jié)合以上結(jié)果分析可以得出以下基本結(jié)論：

1.從整體上看，GARCH模型計(jì)算VaR時(shí)，對(duì)單只股票或者投資組合的風(fēng)險(xiǎn)判斷上存在明顯的低估現(xiàn)象，對(duì)于市場(chǎng)出現(xiàn)劇烈波動(dòng)時(shí)，很難捕捉到市場(chǎng)因子急劇變化對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的影響。

2.基于分位數(shù)回歸思想和GARCH模型結(jié)合的GARCH-Q模型，能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)股票或投資組合的在險(xiǎn)價(jià)值VaR，能夠精確地刻畫(huà)市場(chǎng)波動(dòng)時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)狀況，有效地

克服了GARCH模型低估市場(chǎng)劇烈波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的缺點(diǎn)。在風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量上GARCH-Q模型比GARCH模型具有更加優(yōu)良的性質(zhì)和更加準(zhǔn)確的度量能力，是更為有效的方法。

3.應(yīng)用分位數(shù)回歸計(jì)算VaR時(shí)，結(jié)果不受收益率分布假設(shè)的影響，即用分位數(shù)回歸思想計(jì)算VaR時(shí)，可以不用對(duì)收益率分布做假設(shè)。

[1]鄭文通.金融風(fēng)險(xiǎn)管理的方法及其應(yīng)用[J].國(guó)際金融研究，1999，(9)：23-26.

[2]張堯庭.金融市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)分析[M].南寧：廣西師范大學(xué)出版社，1998.

[3]肖春來(lái)，柴文義，楊威.條件VaR理論的應(yīng)用與研究[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2003，(22)：264-268.

[4]蘇濤.金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)VaR度量方法的改進(jìn)研究[D].天津：天津大學(xué)博士學(xué)位論文，2007.

[5]Koenker R.Bassett G J.Regression Quantiles[J].Econometrical，1978，(46)：3-50．

[6]陳建寶，段景輝.中國(guó)性別工資差異的分位數(shù)回歸分析[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2009，(10)：87-97.

[7]段玉.基于分位數(shù)回歸的城鄉(xiāng)居民收入與消費(fèi)需求分析[J].求索，2011，(11)：45-47.

[8]Taylor，A Quantile Regression Approach to Estimating the Distribution of Multi-Period Returns[J].Journal of Derivatives，1999，(7)：64-78.

[9]Taylor，A Quantile Regression Neural Network approach to Estimating the Conditional Density of Multi-Period Returns[J].Journal of Forecasting，2000，(19)：299-311.

[10]Engle R.F.and Manganelli S，CAViaR：conditional autoregressive value at risk by regression quantiles[J].Journal of Business and Economic Statistics，2004，(22)：367-381.

[11]關(guān)靜，史道濟(jì).基于分位數(shù)回歸模型的滬深股市風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量研究[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2008，(12)：15-19.

[12]張海云.論分位數(shù)回歸在計(jì)算VaR中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2011，(15)：185-186.