曹一鳴，吳立寶

（1.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875，2.天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387）

初中數(shù)學(xué)教材難易程度的國際比較研究

曹一鳴1，吳立寶2

（1.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875，2.天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387）

摘要：以中、澳、美、英、法、德、韓、新、日與俄等10個國家現(xiàn)行的初中（7~9年級）數(shù)學(xué)教材為研究對象，從內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、例題難度、習(xí)題難度4個方面構(gòu)建比較指標(biāo)體系進(jìn)行分析.研究發(fā)現(xiàn)：俄羅斯教材、特別是例習(xí)題最難，韓、中緊隨其后，新加坡法國德國次之，日本美國澳大利亞居第四梯隊，英國教材最簡單.中、俄、法比較重視“圖形與幾何”，美、澳、英比較重視“數(shù)與運算”.日本教材知識涉及知識最少，澳大利亞教材是典型的廣而淺，法國教材是典型窄而深.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教材；難度；國際比較研究

教材研究與建設(shè)一直是課程與教學(xué)研究中的一個核心問題，也是教學(xué)質(zhì)量提升、教學(xué)改革實施的基本保障.教材研究也是中小學(xué)一線教師在教學(xué)實踐中普遍關(guān)心與經(jīng)常研究的一個問題[1].

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》明確要求：“調(diào)整教材內(nèi)容，科學(xué)設(shè)計課程難度.”為了了解中國初中數(shù)學(xué)教材難度情況，通過與國際教育發(fā)達(dá)國家初中數(shù)學(xué)教材作比較，可以更好地認(rèn)識中國初中數(shù)學(xué)教材的難度及其相關(guān)情況，為中國初中數(shù)學(xué)教材的進(jìn)一步完善發(fā)展提供重要的參考和借鑒；為課程標(biāo)準(zhǔn)和教材決策、研制者，數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)教育研究人員以及關(guān)注數(shù)學(xué)課程改革的數(shù)學(xué)家提供進(jìn)一步研究參考；同時也有利于數(shù)學(xué)教師加深對數(shù)學(xué)教學(xué)的理解和認(rèn)識，提高教師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.

1　研究“國別”“年級”“教材”的選取

1.1選擇國家

研究選取了4個亞洲國家（中國、日本、韓國、新加坡），4個歐洲國家（英國、法國、德國、俄羅斯），1個美洲國家（美國），1個大洋州國家（澳大利亞）等四大洲10個具有一定代表性的國家，并且教育和經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)，或重要國際比較項目中成績突出.

1.2選擇年級

10個國家的初中學(xué)制間存在較大差異，其中中國、日本、韓國、英國4個國家初中三年，恰好7、8、9三個年級.新加坡、澳大利亞、俄羅斯、法國、德國是四年或五年，但是都包括7、8、9三個年級.美國選擇6、7、8年級，正好是他們的初中階段，其他國家都選擇7、8、9三個年級數(shù)學(xué)教材進(jìn)行比較.

1.3研究對象

幾乎每一個國家都有多種版本的教材，研究選擇10個國家教育行政部門發(fā)布、推薦使用的，或使用人數(shù)相對較多的正式教材，校本教材或教師上課使用的個人講義或者教師開發(fā)的校本資源、教學(xué)參考書等非正式課程不在考慮之列，具體可參見文獻(xiàn)[2].

2　研究設(shè)計及統(tǒng)計結(jié)果

在選取的10個版本初中數(shù)學(xué)教材中，由于涉及課程內(nèi)容比較多、編排順序上也有差異，為更具可比性，選取“數(shù)與運算”、“方程”、“三角形”、“空間圖形”、“統(tǒng)計”5個共同的知識主題進(jìn)行比較.雖然這5個知識主題在各自國家所占比重迥異，但是5個知識主題之和在各個國家的教材中所占的比例最高的達(dá)到62%，最少的超過32%.由于法國教材翻譯難度大，只選擇“方程”、“三角形”、“統(tǒng)計”3部分，占法國初中3個年級的36%.

參考了已有的相關(guān)研究[3~5]，最終確定對于每一個知識主題，難度N從內(nèi)容廣度G、內(nèi)容深度S、例題難度L和習(xí)題難度X四方面來刻畫.

2.1內(nèi)容廣度

內(nèi)容廣度主要指每個知識主題包括知識點的多少，以“數(shù)與運算”為例說明.

（1）確定每一個國家“數(shù)與運算”知識主題包含的知識點，個數(shù)記為ai(i=1, 2,…, 10)；

（2）確定“數(shù)與運算”知識主題包括知識點最多的國家，其個數(shù)記為b；

（3）第i個國家“數(shù)與運算”相對內(nèi)容廣度為：

（4）第i個國家內(nèi)容廣度

A1、A2、A3、A4、A5為第i個國家5個知識主題所占比重，見表1.10個國家5個知識主題相對內(nèi)容廣度統(tǒng)計如表2所示.

2.2內(nèi)容深度

從概念與命題的呈現(xiàn)方式來看其內(nèi)容深度.呈現(xiàn)方式分直觀描述、類比歸納、演繹3種，分別賦值1、2、3.對于命題、法則.其每個小知識點的深度計算方法是：

表1　10個國家5個知識主題比重分布表

表2　10個國家5個知識主題內(nèi)容廣度統(tǒng)計表

表3　10個國家5個知識主題內(nèi)容深度統(tǒng)計表

2.3例習(xí)題難度

對于10個國家5個知識主題的例習(xí)題難度，分別從要求水平、包含知識點數(shù)量、背景水平3方面進(jìn)行統(tǒng)計分析[6~7].

（1）例習(xí)題要求水平（YQ）.

例習(xí)題要求水平主要分為四級，分別是模仿、理解、運用、探究，分別賦值1、2、3、4.

其中A（或B，或C，或D）為該國家第i個知識點“模仿（或理解，或運用，或探究）”的例（或習(xí)題）題數(shù)目.

（2）知識點數(shù)量（ZS）.

每一道例題或習(xí)題所包含的知識點的個數(shù)（4個及以上按照4個來計算），對于知識點的認(rèn)可主要是參照計算廣度確定的為基準(zhǔn).例、習(xí)題包含知識點的平均數(shù)量記為LZSi、XZSi(i=1, 2, 3, 4, 5)，計算公式如下

其中A（或B，或C，或D）為該國家第i個知識點“1（或2，或3，或4）”知識點的例（或習(xí)題）題數(shù)目.

（3）習(xí)題背景（BJ）.

例習(xí)題的背景主要分為4個層次，分別是無背景、個人生活背景、公共常識背景、科學(xué)背景，分別賦值1、2、3、4.第i個知識主題的例、習(xí)題背景平均值記為LBJi、XBJi(i=1, 2, 3, 4, 5)，計算公式為

其中A（或B，或C，或D）為該國家第i個知識點“無背景（或個人生活背景，或公共生活背景，或科學(xué)背景）”的例（或習(xí)題）題數(shù)目.

（4）例習(xí)題難度.

對于每個國家知識主題的例習(xí)題難度計算公式

表4　10個國家5個知識主題例題難度統(tǒng)計表

表5　10個國家5個知識主題習(xí)題難度統(tǒng)計表

2.4教材難度

用Ni、Gi、Si、Li、Xi(i=1, 2, 3, 4, 5) 表示第i個知識主題的難度、相對廣度、相對深度、例題難度、習(xí)題難度，a、b、c、d分別表示內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、例題難度、習(xí)題難度權(quán)重，經(jīng)層次分析法確定為0.28、0.30、0.20、 0.22.則第i個知識主題的難度計算公式

具體結(jié)果如表6.

表6　10個國家教材難度統(tǒng)計表

3　研究結(jié)果分析

3.1整體教材難度

（1）俄羅斯教材高居榜首.

俄羅斯初中數(shù)學(xué)教材以0.838高居榜首，遠(yuǎn)高于排名第二的韓國.在5個知識主題中有3個難度排第一，并且進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)俄羅斯教材例題、習(xí)題配置都是最難的，尤其是在習(xí)題部分，無論要求水平、知識點含量還是背景水平都排名第一.此外，俄羅斯教材習(xí)題更注重證明，其證明習(xí)題數(shù)量達(dá)到171道，占據(jù)總題量的19%，而相應(yīng)知識內(nèi)容卻不深.

（2）韓國中國緊隨其后，位居第二梯隊.

韓國與中國初中數(shù)學(xué)教材以0.745 0、0.744 8分別位居第二、第三.兩個國家初中數(shù)學(xué)教材雖然個別指標(biāo)略有起伏，但是難度差異很小，居于同一層次.中國數(shù)學(xué)教材內(nèi)容廣度上高于韓國，而在深度上低于韓國（深度排第二）；例題難度低于韓國，而習(xí)題難度高于韓國.

（3）新加坡教材排名第4.

新加坡初中數(shù)學(xué)教材以0.690排名第四，整體而言介于中韓與歐美國家教材之間.在內(nèi)容廣度與深度上分別排名第六、第五，居于中游，相對而言，例習(xí)題難度排名略微靠前，分別位居第四、第三.

（4）法國德國美國位居第5、6、7.

法國初中數(shù)學(xué)教材以0.666 0排名第五.其教材在廣度排名第九，深度排名第一，呈現(xiàn)出顯著的“窄而深”的特點.德國、美國教材以0.657 5、0.654 7緊隨其后，名列第六、第七.德國數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容深度上排名第三，其余3項分別位居第六名之后，相比法國而言，稍微低些；美國數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容廣度、深度分別排名第二、第八，呈現(xiàn)出“廣而淺”的特點，相對而言，例習(xí)題難度靠后.

（5）澳大利亞日本，位居第8、9.

澳大利亞初中數(shù)學(xué)教材以0.648 2位列第八.澳大利亞數(shù)學(xué)教材在廣度排名第一，深度排名第九，呈現(xiàn)出非常明顯的“廣而淺”的特點，與美國類似.在廣度上澳大利亞教材在幾何已經(jīng)涉及到圖論相關(guān)知識，在習(xí)題上涉及連分?jǐn)?shù)、歐拉公式等知識，例題分欄設(shè)計，左邊是“Steps”，是文字步驟，稱作思路[7]；右邊對應(yīng)是“solution（解答）”，難度比較低，習(xí)題難度居中，排第五.

日本教材以0.628 8排名第九，在亞洲4個國家中排名最靠后的.教材內(nèi)容知識涉及面窄，廣度排名倒數(shù)第一，呈現(xiàn)出非常顯著的“窄”的特點，而例習(xí)題難度與亞洲其他國家比較接近.

（6）英國教材難度最低.

英國的教材是最簡單的.英國教材概念與命題呈現(xiàn)方式基本皆為直接描述，很少用到歸納、演繹方式，深度上是倒數(shù)第一；例題為正文內(nèi)容的具體化展開，量少且簡單，每節(jié)例題大約1~2道；習(xí)題題型與難度和例題相仿，通過模仿例題，或理解應(yīng)用例題的相關(guān)知識即可完成，比較簡單.通過對另一版本數(shù)學(xué)教材5個知識主題進(jìn)行分析，也得到相同的結(jié)論[8].

3.2內(nèi)容廣度

（1）澳大利亞知識分布最廣.

澳大利亞初中數(shù)學(xué)教材廣度排名第一，5個知識主題廣度分別排在第3、第4、第5、第2、第1，涉及的知識面最廣，尤其是“統(tǒng)計”知識，具體涉及數(shù)據(jù)描述、定量數(shù)據(jù)（離散/連續(xù)）、明目數(shù)據(jù)（分類/有序）、抽樣調(diào)查、單/雙/多條形圖、線形圖、分條統(tǒng)計圖、扇形圖、直方圖、背靠背莖葉圖、盒子圖、散點圖、統(tǒng)計圖的誤用、最佳擬合線、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、四分位數(shù)等內(nèi)容[9~10].

（2）美、中、俄位列第2、3、4.

美國、中國與俄羅斯3個國家初中數(shù)學(xué)教材在廣度上分別以0.831、0.828、0.827排名第二、第三、第四，比較接近，尤其是中國與俄羅斯之間.美國在數(shù)與運算、統(tǒng)計內(nèi)容廣度居前三名，相對而言圖形與幾何部分內(nèi)容廣度相對靠后，這可能與美國學(xué)者更加強(qiáng)調(diào)代數(shù)思維在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的地位和作用有關(guān)[11].

在廣度上，中國初中數(shù)學(xué)教材略低于美國，稍高于俄羅斯，中國需要增大空間圖形與統(tǒng)計內(nèi)容涉及面（位列第7、第6）.雖然中俄方程內(nèi)容廣度總體差不多，但從知識內(nèi)部看，俄羅斯教材已涉及到二元二次方程、直線方程、圓的方程、參數(shù)方程、多項式方程等內(nèi)容，這是其他國家所沒有的.俄羅斯三角形、空間圖形部分內(nèi)容廣度最高，說明還是重視幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在3個年級數(shù)與運算是相對最弱的，排在第8名.

（3）韓國教材廣度排第5，新加坡英國位居第6、7.

韓國初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容廣度以0.731排第5，居于中游.值得一提的是韓國數(shù)與運算部分知識廣度超過美國澳大利亞，排列第一，三角形主題廣度排第三，其余3個知識主題在7名左右浮動.新加坡初中數(shù)學(xué)教材以0.677排名第6，緊隨其后的英國教材，比新加坡略低0.004排在第7名，兩個國家教材廣度差距比較小.

（4）德、法位居第8、9，日本教材廣度倒數(shù)第一.

德國、法國數(shù)學(xué)教材分別以0.586、0.517位居第8、9，可以看出德法兩個國家教材廣度不大.日本教材內(nèi)容廣度上倒數(shù)第一，顯著特點：一方面是整個初中學(xué)段沒有涉及統(tǒng)計內(nèi)容知識；另一方面另外4個知識主題的內(nèi)容廣度最高的是空間圖形，排第4，而空間圖形部分內(nèi)容廣度各個國家之間差距不太大，其余均為后3名之中，呈現(xiàn)出涉及面窄的特點.

3.3內(nèi)容深度

（1）法國內(nèi)容最深.

在內(nèi)容深度方面，排在第一的是法國教材.雖然法國只分析了3個知識主題，但是就有兩個知識主題（三角形、統(tǒng)計）是最難的，尤其是在法國三角形部分內(nèi)容，有13個知識點呈現(xiàn)方式是演繹，7個是歸納呈現(xiàn)，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度.

（2）韓國德國名列亞軍季軍.

韓國數(shù)學(xué)教材以0.814排第2位，德國以0.774緊隨其后，位居第3.兩個國家圖形與幾何部分內(nèi)容的概念與命題呈現(xiàn)以演繹呈現(xiàn)為主，而數(shù)與代數(shù)、方程等內(nèi)容則以歸納為主，直觀描述較少.

（3）日本中國位列第4、5，差距不大.

日本、中國數(shù)學(xué)教材分別以0.760、0.754排第4、第5.整體來看，日本教材在深度上與中國差不多，在三角形部分中國高于日本數(shù)學(xué)教材，而在數(shù)與運算、方程等內(nèi)容低于日本教材.

（4）新加坡俄羅斯美國位列6、7、8.

新加坡數(shù)學(xué)教材以0.710位居第六.俄羅斯、美國教材分別以0.670、0.660位居第7、8名，對于概念與命題的呈現(xiàn)方式主要是以直觀描述為主.

（5）澳大利亞英國內(nèi)容最淺.

澳大利亞英國居于后面兩位，澳大利亞、英國數(shù)學(xué)教材中內(nèi)容的呈現(xiàn)大多以直觀描述的方式為主，并且圖文并茂，注重程序性操作，使其直觀形象，通俗易懂.

3.4關(guān)于例習(xí)題的難度

（1）俄羅斯高居榜首.

例習(xí)題難度，俄羅斯教材均是當(dāng)之無愧高居榜首，并且5個知識主題習(xí)題難度均為第一，并且皆遠(yuǎn)超排名第二的國家，俄羅斯習(xí)題總量不是最多的，但是最難的.無論是要求水平、知識點含量還是背景水平都是最高的.

（2）中國新加坡日本亞洲三國位居2、3、4名.

中國數(shù)學(xué)教材以0.757排第2；新加坡、日本分別以0.747、0.744排第3、4.亞洲國家有3個國家派在前4名之中，總體看來東亞文化圈具有一定類似的價值認(rèn)同，對教材習(xí)題設(shè)計難度較大，主要體現(xiàn)在習(xí)題要求水平上；對于例題，新加坡與日本排名剛好顛倒了一下，中國數(shù)學(xué)教材例題難度居中.

（3）澳大利亞韓國居第5、6，德國法國居7、8名.

澳大利亞韓國教材分別以0.716、0.703位居第5、6名，基本具有一個層次；德、法數(shù)學(xué)教材以0.683、0.656位居7、8位，對習(xí)題要求水平基本都是在理解層面以上，法國習(xí)題難度低于德國.相比較而言，例題法國是最簡單的.

（4）習(xí)題最簡單的是英、美.

排在后面的英國與美國教材，難度最低，分別是0.587、0.581，差距比較小.美國教材呈現(xiàn)出量大的特點，以4 192的總量穩(wěn)居榜首，是排名第二的澳大利亞教材的2.29倍，遠(yuǎn)超中國教材（670道）[12~13].

4　主要結(jié)論與啟示

通過以上的分析，結(jié)合各個國家教材，可看出主要有以下幾個方面的結(jié)論，并對中國的初中教材建設(shè)有著一定啟示和借鑒：

4.1呈現(xiàn)區(qū)域特色

10個國家數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)出明顯的區(qū)域特色.俄羅斯數(shù)學(xué)教材獨樹一幟，注重演繹推理，是唯一一個幾何內(nèi)容單獨成冊編寫的國家，并且例習(xí)題難度遠(yuǎn)高于其他國家.韓國、中國、新加坡亞洲3個國家初中數(shù)學(xué)教材與歐洲的德國、法國教材無論從習(xí)題數(shù)量還是難易程度相對來說比較靠近.美國、澳大利亞、英國教材相對比較重視“數(shù)與運算”，習(xí)題數(shù)量多，并且基本占到5部分知識習(xí)題總量均是一半以上，相對而言習(xí)題難度較小，尤其是英美教材.

4.2教材學(xué)材化

從世界范圍來看，教材的功能正在從教材變成學(xué)材，呈現(xiàn)出向?qū)W轉(zhuǎn)化的趨勢，對初中數(shù)學(xué)教材也是同樣的.分析發(fā)現(xiàn)，10個國家初中數(shù)學(xué)教材無論概念與命題呈現(xiàn)（直觀描述為主），還是例習(xí)題的設(shè)計，編者都盡量考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的能力、興趣和需要，把促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展放在首要位置，以利于學(xué)生學(xué)習(xí).譬如新加坡注重創(chuàng)設(shè)情境；法國教材講究引入；英國注重貼近生活的實際問題背景，或是生活常識或是神話故事；韓國在每個單元開始時精心設(shè)計與新知識有關(guān)的研究課題等.

4.3注重數(shù)學(xué)應(yīng)用

10個國家數(shù)學(xué)教材均重視數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活及其它學(xué)科之間的聯(lián)系，重視培養(yǎng)學(xué)生解決與生活相聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題的能力.常常從日常生活的問題入手引入新知，激發(fā)學(xué)生的熱情，尤其是美國數(shù)學(xué)教材以探究為主線，其背景大多接近學(xué)生日常生活或與歷史文化息息相關(guān).澳大利亞、英國、美國等專門有章節(jié)來說知識的應(yīng)用，在課后習(xí)題部分，中國澳大利亞數(shù)學(xué)教材單獨有模塊（應(yīng)用類），其他國家數(shù)學(xué)教材以實際生活為背景的習(xí)題比比皆是，其內(nèi)容涉及文化、商業(yè)、家庭理財?shù)榷喾矫妫@充分顯示了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，并且在美國法國數(shù)學(xué)教材中注重與自然科學(xué)學(xué)科的聯(lián)系.畢竟獲取知識不是最終目的，應(yīng)用知識才是更為重要的任務(wù).

4.4注重與信息技術(shù)結(jié)合

信息技術(shù)的發(fā)展己經(jīng)深刻地改變了數(shù)學(xué)世界，目前幾乎所有的國家在數(shù)學(xué)課程設(shè)置中強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合[14].教材力圖反映信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的相互促進(jìn)與緊密結(jié)合，這是10個國家數(shù)學(xué)教材的又一大特色，程度側(cè)重有差異，具體體現(xiàn)在一是計算器使用；二是借助計算機(jī)；三是軟件工具使用.如法國教材比較注重軟件工具的使用；韓國初中數(shù)學(xué)教材章節(jié)末會設(shè)計利用計算器或計算機(jī)解的數(shù)學(xué)；澳大利亞教材明確規(guī)定使用TI-Nspire CAS或Classpad圖形計算器，并且在習(xí)題中明確要求.

4.5教材的多樣性

雖然對這些國家只研究一套教材，但是在搜集教材過程中發(fā)現(xiàn)，各個國家教材呈現(xiàn)出多樣性.一方面，許多國家沒有統(tǒng)一教材，有多版本教材并存發(fā)行，以供教師選用，法國初中實行的一綱多本與中國很相似，如韓國初中數(shù)學(xué)教材種類較多，共有14種；另一方面，即使同一出版社同一版本教材，也分為不同系列，如英國牛津大學(xué)出版社的《數(shù)學(xué)鏈接》針對不同水平的學(xué)生，設(shè)計了A、B、C三個系列.

如何進(jìn)一步汲取國外初中數(shù)學(xué)教材的精髓，為我所用，是一個深入研究的問題.

［參 考 文 獻(xiàn)］

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

International Comparative Study of the Level of Difficulty of Middle School Mathematics Textbook

CAO Yi-ming1, WU Li-bao2
(1. School of Mathematics Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China; 2. School of Teacher Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

Abstract:The study objects including the current middle school (7-9grades) mathematics textbooks from China, Australia, America, Britain, France, Germany, Korea, Singapore, Japan and Russia, from four aspects of the breadth and depth of content, difficulty of examples and exercises to construct comparative index system. The study found that Russian mathematics textbook is the hardest, especially the difficulty of examples and exercises, followed by Korea and China, and then Singapore, France, Germany. Japanese, American and Australia mathematics textbooks are in the fourth echelon. Mathematics textbook of Britain is the simplest. China, Russia and France put more emphasis on “Graphics and Geometry”, America, Australia and Britainpay more attention to “Number and Operation”. Japanese mathematics textbook involves a minimum of knowledge points, mathematics textbook of Australiais typically “broad and shallow”, while France is typically “narrow and deep”.

Key words:middle school; mathematics textbook; international comparative study; the level of difficulty

作者簡介：曹一鳴（1964—），男，江蘇南通人，教授，全國數(shù)學(xué)教育研究理事長，教育部基礎(chǔ)教育專家工作委員會成員，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究.吳立寶為本文通訊作者.

基金項目：國家社會科學(xué)基金“十二五”規(guī)劃2012年度教育學(xué)重點課題——中小學(xué)理科教材國際比較研究（初中數(shù)學(xué)）（AHA120008）

收稿日期：2015-04-27

中圖分類號：G40-059.3

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0003-05