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        冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后收斂半徑不變的新證法

        2015-02-23 01:58:06宋述剛陳洋洋鄒健長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院湖北荊州434023
        關(guān)鍵詞:冪級(jí)數(shù)

        宋述剛,陳洋洋,鄒健 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

        曾祥洲 (江陵縣第一高級(jí)中學(xué),湖北 江陵 434100)

        冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后收斂半徑不變的新證法

        宋述剛,陳洋洋,鄒健(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

        曾祥洲(江陵縣第一高級(jí)中學(xué),湖北 江陵 434100)

        [摘要]運(yùn)用數(shù)列極限的理論建立了關(guān)于數(shù)列上、下極限的相關(guān)命題,應(yīng)用該命題和Cauchy-Hadamard定理的逆定理,給出了冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分后所得新的冪級(jí)數(shù)和收斂半徑不變的性質(zhì)的一個(gè)新的證明方法。該證明方法較傳統(tǒng)的證明(基于Abel定理與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法)更為簡潔。上述關(guān)于實(shí)冪級(jí)數(shù)結(jié)論的證明方法,可以推廣到復(fù)冪級(jí)數(shù)上去。

        [關(guān)鍵詞]上極限;下極限;冪級(jí)數(shù);收斂半徑

        引理1

        則:

        注:當(dāng)ρ=0時(shí),R=+∞,ρ=+∞時(shí),R=0。

        (1)

        (2)

        且有如下結(jié)論:

        定理1

        關(guān)于這一性質(zhì)的證明,教材上一般都是基于Abel定理與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法[1~4]。下面,筆者通過建立數(shù)列上、下極限的相關(guān)命題,利用Cauchy-Hadamard定理的逆定理,給出了定理1的一個(gè)新證明。

        1數(shù)列上下極限的相關(guān)命題

        證明僅證第1個(gè)結(jié)論,第2個(gè)結(jié)論類似可證。

        綜合(i)、(ii)可得:

        證明僅證第1個(gè)結(jié)論,由命題1有:

        故命題2第1個(gè)結(jié)論得證。同理可證第2個(gè)結(jié)論。

        例1計(jì)算下列極限:

        解(1)由命題1第1個(gè)結(jié)論,有:

        (2)由命題1第2個(gè)結(jié)論,有:

        2Cauchy-Hadamard定理的逆定理

        3定理1的新證明方法

        4結(jié)語

        且它們的收斂半徑不變。這一結(jié)論也可以利用定理1的新證法類似證明。

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上、下冊)[M].第4版.北京:高等教育出版社,2010.

        [2]菲赫金哥爾茨.微積分教程[M].北京大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室譯.北京:人民教育出版社,1954.

        [3]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析(上、下冊)[M]. 第2版.北京:高等教育出版社,2004.

        [4]常庚哲.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京:高等教育出版社,2003.

        [編輯]洪云飛

        [引著格式]宋述剛,陳洋洋,鄒健,等.冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后收斂半徑不變的新證法[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版),2015,12(28):5~7.

        [中圖分類號(hào)]O171.2

        [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

        [文章編號(hào)]1673-1409(2015)28-0005-03

        [作者簡介]宋述剛(1961-),男,教授,現(xiàn)主要從事函數(shù)論及數(shù)學(xué)史方面的教學(xué)與研究工作;E-mail:songsg@yangtzeu.edu.cn。

        [基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61503407);長江大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(YZ2014007)。

        [收稿日期]2015-06-24

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