宋述剛,陳洋洋,鄒健 (長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)
曾祥洲 (江陵縣第一高級(jí)中學(xué),湖北 江陵 434100)
冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后收斂半徑不變的新證法
宋述剛,陳洋洋,鄒健(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)
曾祥洲(江陵縣第一高級(jí)中學(xué),湖北 江陵 434100)
[摘要]運(yùn)用數(shù)列極限的理論建立了關(guān)于數(shù)列上、下極限的相關(guān)命題,應(yīng)用該命題和Cauchy-Hadamard定理的逆定理,給出了冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分后所得新的冪級(jí)數(shù)和收斂半徑不變的性質(zhì)的一個(gè)新的證明方法。該證明方法較傳統(tǒng)的證明(基于Abel定理與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法)更為簡(jiǎn)潔。上述關(guān)于實(shí)冪級(jí)數(shù)結(jié)論的證明方法,可以推廣到復(fù)冪級(jí)數(shù)上去。
[關(guān)鍵詞]上極限;下極限;冪級(jí)數(shù);收斂半徑
引理1
或
則:
注:當(dāng)ρ=0時(shí),R=+∞,ρ=+∞時(shí),R=0。
(1)
(2)
且有如下結(jié)論:
定理1
關(guān)于這一性質(zhì)的證明,教材上一般都是基于Abel定理與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法[1~4]。下面,筆者通過(guò)建立數(shù)列上、下極限的相關(guān)命題,利用Cauchy-Hadamard定理的逆定理,給出了定理1的一個(gè)新證明。
1數(shù)列上下極限的相關(guān)命題
證明僅證第1個(gè)結(jié)論,第2個(gè)結(jié)論類(lèi)似可證。
綜合(i)、(ii)可得:
證明僅證第1個(gè)結(jié)論,由命題1有:
故命題2第1個(gè)結(jié)論得證。同理可證第2個(gè)結(jié)論。
例1計(jì)算下列極限:
解(1)由命題1第1個(gè)結(jié)論,有:
(2)由命題1第2個(gè)結(jié)論,有:
2Cauchy-Hadamard定理的逆定理
3定理1的新證明方法
4結(jié)語(yǔ)
且它們的收斂半徑不變。這一結(jié)論也可以利用定理1的新證法類(lèi)似證明。
[參考文獻(xiàn)]
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[4]常庚哲.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京:高等教育出版社,2003.
[編輯]洪云飛
[引著格式]宋述剛,陳洋洋,鄒健,等.冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后收斂半徑不變的新證法[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版),2015,12(28):5~7.
[中圖分類(lèi)號(hào)]O171.2
[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A
[文章編號(hào)]1673-1409(2015)28-0005-03
[作者簡(jiǎn)介]宋述剛(1961-),男,教授,現(xiàn)主要從事函數(shù)論及數(shù)學(xué)史方面的教學(xué)與研究工作;E-mail:songsg@yangtzeu.edu.cn。
[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61503407);長(zhǎng)江大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(YZ2014007)。
[收稿日期]2015-06-24