周　欣，　趙　彬

(陜西師范大學(xué)　數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，　陜西　西安　710119)

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格中粗糙集的若干性質(zhì)

周欣，趙彬*

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119)

摘要：利用粗糙集的理論方法,對(duì)格的粗糙集和S-模糊粗糙集的一些性質(zhì)進(jìn)行研究。證明了上近似算子在分配格的理想(濾子)之集上的不動(dòng)點(diǎn)之集關(guān)于包含序構(gòu)成一個(gè)凝聚的Frame,給出了下近似算子在有限格的理想(濾子)之集上不動(dòng)點(diǎn)的刻畫(huà)。最后,研究了格的S-模糊粗糙子格(理想、濾子)的一些性質(zhì)。

關(guān)鍵詞:粗糙集;S-模糊粗糙集;上(下)近似算子;理想;濾子;不動(dòng)點(diǎn)

MRsubjectclassification:06B35

粗糙集理論是由Pawlak[1]首次提出的，旨在解決信息系統(tǒng)中的不確定性問(wèn)題。事實(shí)證明,粗糙集理論在人工智能、數(shù)據(jù)分析和認(rèn)知科學(xué)中非常重要。隨著粗糙集理論的發(fā)展,許多學(xué)者開(kāi)始考慮將粗糙集理論及其研究方法應(yīng)用到多種代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中[2-5]。Biswas和Nanda首次引入粗子群的概念后[6],Kuroki定義了半群的粗糙理想并關(guān)于半群的同余給出了上、下近似集的一些性質(zhì)[7]。接著,Davvaz將粗糙集理論與環(huán)論結(jié)合起來(lái),給出了關(guān)于一個(gè)環(huán)理想的粗糙理想和粗糙子環(huán)的概念[8]。另外,Davvaz等人又相繼研究了模[9]、超結(jié)構(gòu)[10]和MV-代數(shù)[11]上粗糙集的性質(zhì)。文獻(xiàn)[12-13]將粗糙集理論與格論聯(lián)系起來(lái),其中文獻(xiàn)[12]給出了格的上、下粗糙理想(濾子)的定義并研究了它們的一些性質(zhì),文獻(xiàn)[13]研究了格的粗糙模糊集。本文在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究格中粗糙集的性質(zhì),證明上近似算子在分配格的理想(濾子)集上的不動(dòng)點(diǎn)之集關(guān)于包含序構(gòu)成一個(gè)凝聚的Frame,并給出下近似算子在有限格的理想(濾子)之集上不動(dòng)點(diǎn)的刻畫(huà)。最后,本文結(jié)合文獻(xiàn)[14]提出的模糊粗糙集的定義和文獻(xiàn)[8]的研究方法,研究格的S-模糊粗糙集。

1預(yù)備知識(shí)

本節(jié)給出格論與粗糙集理論的一些基本概念與結(jié)論,未提及的概念和結(jié)論請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[15]。

設(shè)L是非空偏序集,若?a、b∈L，a∨b與a∧b都存在,則稱(chēng)(L,≤)為格。設(shè)M是格L的非空子集,若a、b∈M?a∨b∈M且a∧b∈M,則稱(chēng)M是L的子格。

設(shè)θ是格L上的等價(jià)關(guān)系。如果θ與L的有限交和有限并相容，即?(a,b)、(c,d)∈θ?(a∨c,b∨d)、(a∧c,b∧d)∈θ,則稱(chēng)θ是L上的同余關(guān)系。用[a]θ標(biāo)記a的θ-同余類(lèi)，用Con(L)標(biāo)記格L上的同余之集。

定義1[12]設(shè)θ是格L上的同余。若?a、b∈L,[a∨b]θ={x∨y:x∈[a]θ,y∈[b]θ},則稱(chēng)θ是∨-完備的。類(lèi)似地，如果?a、b∈L,[a∧b]θ={x∧y:x∈[a]θ,y∈[b]θ}，則稱(chēng)θ是∧-完備的。

命題1[1]設(shè)θ是非空集合X上的等價(jià)關(guān)系，則?A、B?X，

(4)θ(A∩B)=θ(A)∩θ(B);

2上、下近似算子的不動(dòng)點(diǎn)

本節(jié)在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究上、下近似算子在格的理想(濾子)集上的不動(dòng)點(diǎn)集的性質(zhì)。

命題2[12]設(shè)θ是格L上的同余,則下列結(jié)論成立:

(2)設(shè)I和J是L的理想,則

(4)設(shè)θ是L上的∧-完備同余,I?L且θ(I)≠?。若I∈Id(L)，則θ(I)∈Id(L)。若I是L的素理想,則θ(I)是L的素理想。

命題3設(shè)I和J是L的子集,

(1)若θ(I)=I,則θ(I∩θ(J))=I∩θ(J);

(2)若F1、F2∈Filt(L)，則

證明由命題1和2容易驗(yàn)證。

命題4Iθ(L)(Fθ(L))對(duì)Id(L)(Filt(L))的任意非空并封閉。

引理2在格L上,下列結(jié)論成立：

證明證明過(guò)程與文獻(xiàn)[12]中引理3.17、命題3.18和3.20的證明類(lèi)似。

命題6設(shè)L有限格且θ是L上的同余，則下列結(jié)論成立：

(1)若θ是∨-完備同余，則

Iθ(L)={↓∨[x]θ:x∈L};

(2)若θ是∧-完備同余，則

Fθ(L)={↑∧[x]θ:x∈L}。

反過(guò)來(lái)，?x∈L，顯然有↓∨[x]θ∈Id(L)且θ(↓∨[x]θ)?↓∨[x]θ。?a∈↓∨[x]θ,b∈[a]θ，因?yàn)?a,b)∈θ且a≤∨[x]θ，所以

(∨[x]θ,b∨(∨[x]θ))=

(a∨(∨[x]θ),b∨(∨[x]θ))∈θ，

從而b∨(∨[x]θ)∈[∨[x]θ]θ=[x]θ，因此∨[x]θ≤b∨(∨[x]θ)≤∨[x]θ，故b∨(∨[x]θ)=∨[x]θ。由此可得b≤∨[x]θ，即b∈↓∨[x]θ。由b的任意性知[a]θ?↓∨[x]θ，所以a∈θ(↓∨[x]θ)。又由a的任意性知↓∨[x]θ?θ(↓∨[x]θ)。因此，↓∨[x]θ=θ(↓∨[x]θ),即↓∨[x]θ∈Iθ(L)。由x的任意性知{↓∨[x]θ:x∈L}?Iθ(L)。因此，Iθ(L)={↓∨[x]θ:x∈L}。

上述命題說(shuō)明，若L是有限格且θ是L上的∨-完備同余(∧-完備同余)，則下近似算子θ在Id(L)(Filt(L))上的不動(dòng)點(diǎn)恰是↓∨[x]θ(↑∧[x]θ),x∈L。下面給出例子來(lái)說(shuō)明命題6的逆命題一般不成立。

圖1　L的哈塞圖Fig.1　Hasse　graph　of　L

3S-模糊粗糙理想和S-模糊粗糙濾子

本節(jié)給出S-模糊粗糙子格和S-模糊粗糙理想(濾子)的概念并研究它們的相關(guān)性質(zhì)。

由文獻(xiàn)[13]知若L的模糊子集A滿足?x、y∈L，μA(x∧y)∧μA(x∨y)≥μA(x)∧μA(y),則稱(chēng)A是L的模糊子格。如果模糊子集A滿足?x、y∈L，μA(x∨y)=μA(x)∧μA(y)，則稱(chēng)A是L的模糊理想。如果模糊子集A滿足?x、y∈L,μA(x∧y)=μA(x)∧μA(y)，則稱(chēng)A是L的模糊濾子。容易驗(yàn)證模糊理想和模糊濾子一定是模糊子格。

Dubois和Prade在文獻(xiàn)[16]中將粗糙集模糊化并給出了模糊粗糙集的定義,而Nanda和Majumdar在文獻(xiàn)[14]中又引入并分析了另一種模糊粗糙集。為了區(qū)分這兩種模糊粗糙集的概念,稱(chēng)文獻(xiàn)[14]中提出的模糊粗糙集為S-模糊粗糙集,并在本節(jié)重點(diǎn)研究格上S-模糊粗糙集的性質(zhì)。

回顧文獻(xiàn)[14]引入的S-模糊粗糙集的概念。

(2)θ(C)=θ(A)θ(B)當(dāng)且僅當(dāng)?x∈θ(X),μθ(C)(x)=min{μθ(A)(x),μθ(B)(x)},且?。

參考文獻(xiàn)關(guān)于θ(A)=θ(B)和θ(A)θ(B)的定義可[14]。容易看出，θ(A)θ(B)和θ(A)θ(B)分別是S-模糊粗糙集θ(A)和θ(B)在粗糙集θ(X)的所有S-模糊粗糙集所組成集族中的下、上確界。

定義4[8]設(shè)D1=[a1,b1],D2=[a2,b2]是D([0,1])中的兩個(gè)元素。定義max(D1,D2)=[a1∨a2,b1∨b2],min(D1,D2)=[a1∧a2,b1∧b2]。若a1≤a2且b1≤b2，則稱(chēng)D1≤D2。

下面給出S-模糊粗糙子格(理想、濾子)的定義。

則稱(chēng)θ(A)是θ(X)上的一個(gè)S-模糊粗糙子格。

證明令θ(C)=θ(A)θ(B)，設(shè)x、y是中的任意兩元素。因?yàn)槭荓的子格，所以?，F(xiàn)證明(y)}。因?yàn)棣?A)和θ(B)是θ(X)的兩個(gè)S-模糊粗糙子格，

所以

因此，

min{μθ(A)(x),μθ(A)(y)}≤μθ(A)(x∨y)且

min{μθ(B)(x),μθ(B)(y)}≤μθ(B)(x∨y)。

因此，

min{μθ(C)(x),μθ(C)(y)}=

min{min{μθ(A)(x),μθ(B)(x)},

min{μθ(A)(y),μθ(B)(y)}}=

min{min{μθ(A)(x),μθ(A)(y)},

min{μθ(B)(x),μθ(B)(y)}}≤

min{μθ(A)(x∨y),μθ(B)(x∨y)}=

若x?θ(X)或y?θ(X),則

所以，

證明證明過(guò)程與命題7的證明類(lèi)似。

At={x∈θ(X):μθ(A)(x)≥t},

綜上可知，

因此，θ(A)是θ(X)的S-模糊粗糙子格。

從而

現(xiàn)在給命題10舉一個(gè)例子。

例2設(shè)格L和L上的哈塞圖如例1中所示。

下面舉例說(shuō)明注1。

則θ*(B)是θ*(X)的S-模糊粗糙集，且

因此，θ*(B)不是θ*(X)的S-模糊粗糙子格。

另一種情況可以類(lèi)似地證明。

[1]PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofComputerandInformationSciences,1982,11:341-356.

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〔責(zé)任編輯宋軼文〕

第一作者：李師，女，碩士研究生，研究方向?yàn)榉磻?yīng)擴(kuò)散方程理論及應(yīng)用。E-mail:ashi2013@snnu.edu.cn

Somepropertiesofroughsetsinlattices

ZHOUXin,ZHAOBin*

(SchoolofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,

Xi′an710119,Shaanxi,China)

Abstract:RoughsettheoryisusedindiscussingsomepropertiesofroughsetsandS-fuzzyroughsetsinlattices.Itisprovedthatthesetofallfixedpointsunderanupperapproximationoperatoronthesetofallideals(filters)ofadistributivelatticeisacoherentframe.Acharacterizationforfixedpointsunderalowerapproximationoperatoronthesetofallideals(filters)ofafinitelatticeisgiven.FinallysomepropertiesofS-fuzzyroughsublattices(ideals,filters)ofalatticeareinvestigated.

Keywords:roughset;S-fuzzyroughset;upper(lower)approximationoperator;ideal;filter;fixedpoint

通信作者：*李艷玲，女，教授，博士。E-mail:yanlingl@snnu.edu.cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271236);教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研 (100807180004)

收稿日期：2014-07-22

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.02.122

文章編號(hào)：1672-4291(2015)02-0008-07

中圖分類(lèi)號(hào)：O153.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A