姚洪興，　王　梅

(1　江蘇大學(xué)　財(cái)經(jīng)學(xué)院；　2　理學(xué)院，　江蘇　鎮(zhèn)江　212013　)

?

動(dòng)態(tài)Bertrand模型的復(fù)雜現(xiàn)象與混沌控制

姚洪興1，王梅2

(1江蘇大學(xué)財(cái)經(jīng)學(xué)院；2理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

摘要：建立了基于特定需求函數(shù)的Bertrand雙寡頭壟斷模型，分析了壟斷市場下生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的企業(yè)競爭現(xiàn)象。應(yīng)用有限理性法和不完全信息法實(shí)現(xiàn)了競爭模型由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)化過程。進(jìn)一步求解了動(dòng)態(tài)模型的價(jià)格均衡解，并分析了均衡點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài)。針對(duì)模型中出現(xiàn)的復(fù)雜現(xiàn)象提出了不同的混沌控制法，實(shí)現(xiàn)了壟斷市場由混亂到穩(wěn)定的回歸。

關(guān)鍵詞:Bertrand模型；有限理性；不完全信息；分叉；混沌

MRsubjectclassification:91B26

Bertrand模型由法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家JosephLouisFrancoisBertrand提出，與Cournot模型中參加博弈的雙方僅以產(chǎn)量作為決策的變量相比，Bertrand模型中參加該博弈的雙方都以價(jià)格作為決策變量。這一改變使博弈的市場均衡完全不同于Cournot均衡。它是關(guān)于雙寡頭產(chǎn)品價(jià)格競爭的一種模型，會(huì)導(dǎo)致每個(gè)企業(yè)的定價(jià)采用完全競爭情況下的價(jià)格，即所謂的邊際成本定價(jià)法。近年來有限理性方法[1]和Puu的不完全信息法[2]也用于研究壟斷市場的兩個(gè)不同的框架。有限理性的企業(yè)是基于離散時(shí)間和利用邊際利潤的局部估計(jì)來實(shí)現(xiàn)其生產(chǎn)策略。而所謂的Puu的不完全信息法，主要優(yōu)勢是其現(xiàn)實(shí)性，因?yàn)樵陬A(yù)測一個(gè)企業(yè)產(chǎn)量時(shí)，其不需要知道利潤函數(shù)在當(dāng)前時(shí)間步驟的具體形式，而只需知道利潤和價(jià)格在過去兩個(gè)時(shí)間步驟的數(shù)值。為了更好地分析壟斷市場的企業(yè)競爭狀況，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了多方面的研究。2008年閆安等將傳統(tǒng)的Bertrand模型進(jìn)行了修正，得到了兩階段情形下兩個(gè)企業(yè)同時(shí)博弈的耐用品動(dòng)態(tài)Bertrand模型[3]。2014年Ahmed等利用有限理性法和不完全信息法對(duì)Cournot模型進(jìn)行分析研究[4]。

大量研究著眼于靜態(tài)模型到動(dòng)態(tài)模型的轉(zhuǎn)化以及求解模型的均衡點(diǎn)，但沒有針對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)的復(fù)雜混亂現(xiàn)象給出合理的控制方法。本文利用有限理性方法和Puu的不完全信息方法，將靜態(tài)的Bertrand模型[5]轉(zhuǎn)化為動(dòng)力系統(tǒng)[6]，對(duì)動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了數(shù)值模擬，并通過狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整法對(duì)出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象加以控制，實(shí)現(xiàn)了壟斷市場由混亂到穩(wěn)定的回歸。

1模型的建立與分析

1.1　靜態(tài)Bertrand模型

本文研究市場中只存在兩個(gè)企業(yè)的雙寡頭情形(假設(shè)企業(yè)間生產(chǎn)的是可替代但不相同的產(chǎn)品)，為了便于分析，可將需求函數(shù)[7]定義為

(1)

可得:

q1=a-2p1+p2,q2=a-2p2+p1。

(2)

其中，pi是企業(yè)i的產(chǎn)品價(jià)格，qi是企業(yè)i的產(chǎn)量，參數(shù)a>0,i、j=1,2，邊際成本定義為線性函數(shù)：

C(qi)=c，c>0。

(3)

定義利潤函數(shù)：

πi=(pi-c)qi,i=1,2。

(4)

1.2　動(dòng)態(tài)Bertrand模型及分析

有限理性方法使用一個(gè)基于局部評(píng)估調(diào)整機(jī)制的邊際利潤[8-9]，描述這個(gè)動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)制的動(dòng)力系統(tǒng)如下：

(5)

各企業(yè)的利潤函數(shù)：

(6)

因此，雙寡頭系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為如下動(dòng)力系統(tǒng)：

(7)

系統(tǒng)有以下均衡點(diǎn)：

(8)

當(dāng)a>c時(shí)(可保證平衡產(chǎn)量為正)，固定點(diǎn)E1與E2被定義為一個(gè)壟斷平衡。為得到更多關(guān)于兩個(gè)壟斷點(diǎn)的信息,進(jìn)行如下分析與證明。

證明基于標(biāo)準(zhǔn)的特征值分析，點(diǎn)E0的Jacobian矩陣為

(9)

它的特征值為λ1=λ2=1+k(a-c)。顯然,當(dāng)a>c時(shí)，兩個(gè)特征值都大于1，因此固定點(diǎn)E0為排斥節(jié)點(diǎn)。

點(diǎn)E1的Jacobian矩陣為

(10)

進(jìn)一步研究固定點(diǎn)E3的穩(wěn)定性，其Jacobian矩陣為

(11)

圖1為企業(yè)產(chǎn)量隨控制參數(shù)的變化圖，從中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=4,c=0.5,k∈[0,0.9]時(shí)，變量q1、q2隨著k值的變化出現(xiàn)分叉現(xiàn)象(其中橫坐標(biāo)代表k，縱坐標(biāo)代表q1、q2)。只有當(dāng)k<0.573時(shí)，系統(tǒng)才處于局部穩(wěn)定狀態(tài)。

圖1　變量q1、q2隨k值變化的分岔圖Fig.1　Bifurcation　diagram　for　the　quantities　q1and　q2　with　respect　to　the　adjust　speed　k

采用Puu的不完全信息方法來研究Bertrand模型[10-11]，此方法中企業(yè)產(chǎn)量可以表達(dá)為

(12)

(13)

(14)

證明(ⅰ)的證明同命題1，不再贅述。為了討論均衡點(diǎn)S1的局部穩(wěn)定性，給出了它的Jacobian矩陣，如下：

(15)

2混沌控制

(16)

當(dāng)參數(shù)a=4,c=0.5,k=0.8時(shí)，加入控制參量前的系統(tǒng)處于混亂狀態(tài)，但是對(duì)于加入線性控制后的系統(tǒng)，當(dāng)λ>0.42時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

從圖2可發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過控制的系統(tǒng)一開始處于混亂狀態(tài)，但是隨著控制系數(shù)λ的增加，經(jīng)過一段時(shí)間后系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。

(17)

穩(wěn)定變量λ的值為0.4，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)分叉，在不同的控制方式下給定參量k不同的初值，得到不同的圖像，見圖2(k=0.8)和圖3(k=1.42)。對(duì)比圖2和圖3以及參數(shù)k的取值，發(fā)現(xiàn)圖2和圖3隨著參數(shù)λ的不斷變化，系統(tǒng)均逐漸由混亂趨于穩(wěn)定，不同在于圖3參數(shù)k的初值比圖2取值更大，即圖3系統(tǒng)是在比圖2系統(tǒng)更混亂的狀態(tài)下趨于穩(wěn)定。

圖2　線性控制下方程(16)中變量q1、q2隨λ值變化的混沌控制圖(k=0.8)Fig.2　Chaos　control　chart　of　the　quantities　q1　and　q2in　equation(16)　with　respect　to　the　linear　control　factor　λ

圖3　非線性控制下方程(17)中變量q1、q2隨λ值變化的混沌控制圖(k=1.42)Fig.3　Chaos　control　chart　of　the　quantities　q1　and　q2in　equation(17)　with　respect　to　the　nonlinear　control　factor　λ

對(duì)比兩種控制方法，控制參數(shù)k的給定值一樣(k=0.8)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)不同，分別見圖2(線性控制)和圖4(非線性控制)。圖2的系統(tǒng)隨著參數(shù)λ的值不斷變化，系統(tǒng)逐漸從混亂趨于穩(wěn)定；而圖4的整個(gè)系統(tǒng)此時(shí)都是處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4　非線性控制下方程(17)中變量　q1、q2隨著λ值變化的混沌控制圖(k=0.8)Fig.4　Chaos　control　chart　of　the　quantities　q1　and　q2in　equation(17)　with　respect　to　the　nonlinear　control　factor　λ

綜合上述兩種狀態(tài)，認(rèn)為非線性反饋控制比線性反饋控制混亂控制更加有效。

以上兩種控制法是對(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)方程同時(shí)進(jìn)行控制。針對(duì)第一種控制法，只對(duì)其中一個(gè)方程進(jìn)行控制，系統(tǒng)將滿足：

(18)

且同時(shí)滿足初值k=0.8，得到圖5。

圖5　不對(duì)稱控制下方程(18)中變量q1、q2隨λ值變化的混沌控制圖(k=0.8)Fig.5　Chaos　control　of　the　quantities　q1　and　q2　in　equation(18)with　respect　to　the　asymmetric　control　factor　λ

對(duì)比圖2和圖5，發(fā)現(xiàn)圖2比圖5更快地趨于穩(wěn)定，即對(duì)企業(yè)雙方都進(jìn)行控制比只對(duì)一方進(jìn)行控制能使市場更有效地趨于穩(wěn)定。

3結(jié)論

本文提出了兩種不同的重復(fù)Bertrand雙寡頭模型?；谀Ｐ椭械暮瘮?shù)和有關(guān)市場信息，企業(yè)可以通過做一些合適的計(jì)算做出合理的決策。特別地，研究了兩個(gè)不同的模型，在模型中兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同質(zhì)的產(chǎn)品，面臨著具有線性成本函數(shù)的非線性需求。通過使用有限理性方法和Puu的不完全信息方法來描述這兩個(gè)模型，從而使企業(yè)做出決策。在不完全信息方法下，企業(yè)通過過去兩次的生產(chǎn)量來決定未來的生產(chǎn)量，而在其他方法中未來的生產(chǎn)量取決于隨之增長的利潤方向。基于這兩種方法，改進(jìn)了相應(yīng)的離散動(dòng)力系統(tǒng)被提升，使之包括了雙寡頭壟斷情況。另外，本文還通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，從數(shù)值模擬結(jié)果可推斷迅速調(diào)整產(chǎn)品價(jià)格，可能會(huì)導(dǎo)致市場結(jié)構(gòu)的混亂，同時(shí)也嘗試通過狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整法來穩(wěn)定混亂系統(tǒng)，從而使產(chǎn)品的價(jià)格實(shí)現(xiàn)從混亂到穩(wěn)定的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]NaimzadaA,SbragiaL.Oligopolygameswithnonlineardemandandcostfunctions:twoboundedlyrationaladjustmentprocesses[J].ChaosSolitonsFractals,2006,29:707-722.

[2]AhmedE.OnPuu′sincompleteinformationformulationforthestandardandmulti-teamBertrandgame[J].Chaos,SolitonsandFractals,2006,30(5):1180-1184.

[3]閆安,達(dá)慶利,劉心報(bào).耐用品動(dòng)態(tài)Bertrand模型[J].系統(tǒng)工程,2008,26(5):123-126.

[4]AhmedE,ElettrebyMF.Controlsofthecomplexdynamicsofamulti-marketCournotmodel[J].EconomicModeling,2014,37:251-254.

[5]魏燦秋.博弈論模型對(duì)“價(jià)格戰(zhàn)”現(xiàn)象的分析和對(duì)策建議[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1999,36(3):472-475.

[6]AndrewLedvina,RonnieSircar.DynamicBertrandoligopoly[J].AppliedMathematicsandOptimization,2011,63:11-44.

[7]NaimzadaA,RicchiutiG.Monopolywithlocalknowledgeofdemandfunction[J].EconomicModeling,2011,28:299-307.

[8]YuRuiwu,ZhangJiantong.DynamicpropertiesofCournot-Bertrandduopolyadvertisingmodelundernashbargaining[J].ICICExpressLetters,2013,4(6):1643-1649.

[9]AskarSameh.TheriseofcomplexphenomenainCournotduopolygamesduetodemandfunctionswithoutinflectionpoints[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation,2014,19(2):1918-1925.

[10]AhmedE,ElsadanyAA,PuuTonu.OnBertrandduopolygamewithdifferentiatedgoods[J].AppliedMathematicsandComputation,2015,251(1):169-179.

[11]WuFang,MaJunhai.Hyperchaoticdynamicofcournot-bertrandduopolygamewithmulti-productandchaoscontrol[J].WSEASTransactionsonMathematics,2014,13(1):152-160.

[12]FantiLuciano,GoriLuca.ThedynamicsofaBertrandduopolywithdifferentiatedproducts:Synchronization,intermittencyandglobaldynamics[J].Chaos,SolitonsandFractals,2013,52(1):73-86.

[13]RenWenbo,MaJunhai.ResearchonpricegameprocessandwaveletchaoscontrolofthreeoligarchsinsurancemarketinChina[J].WSEASTransactionsonSystemsandControl,2014,9(1):454-463.

〔責(zé)任編輯李博〕

第一作者：馬良財(cái)，男，副教授，博士，研究方向?yàn)橛?jì)算材料學(xué)。E-mail:maliangcai@126.com

ThecomplexphenomenaandthechaoscontrolofBertrandmodel

YAOHongxing1，WANGMei2

(1SchoolofEconomic;2SchoolofScience,JiangsuUniversity,Zhenjiang212013，Jiangsu,China)

Abstract:Basedonthespecificdemandfunction,aduopolyBertrandmodelisestablished.Theenterprisecompetitionphenomenoninproducinghomogeneousproductsunderthemonopolymarketisanalyzed.Thecompetitionmodelistransformedfromstaticmedeltodynamicmodelbyboundedrationalityandincompleteinformationmethod.Undersuchcondition,thepriceequilibriumsolutionofthedynamicmodelandthesteadystateofequilibriumpointsareobtained.Theregressionofmonopolymarketfromchaostostableisachievedbydifferentchaoscontrolmethods.

Keywords:Bertrandmodel；boundedrationality；incompleteinformation；bifurcation；chaos

基金項(xiàng)目：寧夏自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(NZ14013)

收稿日期：2014-11-05

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.02.222

文章編號(hào)：1672-4291(2015)02-0028-06

中圖分類號(hào):O211；F224.9;F270

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A