李　師，　李艷玲,　楊文彬

(陜西師范大學(xué)　數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，　陜西　西安　710119)

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一類具有食餌選擇的捕食-食餌模型的定性分析

李師，李艷玲*,楊文彬

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710119)

摘要：研究一類具有食餌選擇的兩物種間的捕食-食餌模型正平衡態(tài)解的存在性。利用上下解方法，給出系統(tǒng)非負(fù)平衡解的先驗(yàn)估計(jì)。以食餌的增長(zhǎng)率r為分歧參數(shù)，利用局部分歧定理給出正常數(shù)解處分歧解的具體形式，并通過(guò)全局分歧理論將局部分支延拓到無(wú)窮。

關(guān)鍵詞:捕食-食餌模型；可供選擇的食餌；Holling-typeⅡ型；全局分歧

MRsubjectclassification:35K57

在生態(tài)系統(tǒng)中，某些種類的捕食者并不以單一的某類食餌為食，而可能隨著季節(jié)的更替、種群的遷移或由于生存空間的規(guī)模遠(yuǎn)大于某類食餌的棲息地空間選擇其他食餌。食餌的充裕性及可供選擇的食餌的豐富性，對(duì)該類捕食者的發(fā)展都有一定的影響。因此，在研究一類較接近實(shí)際的捕食-食餌模型時(shí)，需考慮可供選擇的食餌所產(chǎn)生的影響。近年來(lái)，對(duì)捕食者提供額外食餌補(bǔ)充所產(chǎn)生的影響及其在生態(tài)調(diào)控中的作用已成為研究熱點(diǎn)。對(duì)捕食者有食餌補(bǔ)充的捕食-食餌模型已有許多研究，文獻(xiàn)[1]說(shuō)明正解的持久性主要依賴于收獲力和對(duì)額外食餌的吸收，并且表明額外食餌補(bǔ)充對(duì)捕食-食餌模型具有重要的影響。文獻(xiàn)[2-3]討論了正常數(shù)解存在和穩(wěn)定的條件及非常數(shù)平衡解的存在性。文獻(xiàn)[4]研究了常微分方程模型下系統(tǒng)非負(fù)常數(shù)解的穩(wěn)定性及全局漸近穩(wěn)定的條件。本文主要考察該類捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，對(duì)以下擴(kuò)散模型進(jìn)行研究：

(1)

(2)

1平衡解的局部分歧

系統(tǒng)(2)至多有3個(gè)非負(fù)常數(shù)解，其中平凡解(0,0)、半平凡解(k,0)恒存在。當(dāng)

(3)

成立時(shí)，正常數(shù)平衡解E*=(u*,v*)存在，其中

d=A+m-1。

引理1若u(x)、v(x)是系統(tǒng)(2)的非負(fù)解，則

(4)

證明由于

βrk-dv+dβ(k-u)=βk(r+d)-dw。

為方便起見(jiàn)，令

則系統(tǒng)(2)在(u*,v*)處的線性化算子為

(5)

其中

g1=gv(u*,v*)=0。

由線性化理論知，若L所有特征值的實(shí)部都小于零，則解(u*,v*)漸近穩(wěn)定；若L有實(shí)部大于零的特征值，則(u*,v*)不穩(wěn)定?？紤]特征值問(wèn)題

其特征值λi滿足：0=λ0<λ1<λ2<…→∞,設(shè)λi的代數(shù)重?cái)?shù)為mi,φij為對(duì)應(yīng)的一組標(biāo)準(zhǔn)化特征函數(shù)，(φ,ψ)為L(zhǎng)對(duì)應(yīng)于特征值μ的特征函數(shù)，令

(7)

因此，L的特征值為以下特征方程的解：

μ2+Piμ+Qi=0,

成立，因?yàn)镻0<0,Q0>0,所以(u*,v*)不穩(wěn)定。

類似文獻(xiàn)[6-8]中的方法，利用局部分歧理論[9]分析一維情況下系統(tǒng)(1)在正常數(shù)解(u*,v*)處的非常數(shù)正平衡解的存在性?？疾煸趨^(qū)間(0,l)上的以下系統(tǒng):

(8)

特征值問(wèn)題

-φ″=λφ,x∈(0,l),φ′=0,

(9)

構(gòu)成了空間L2(0,l)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。令Y=L2(0,l)×L2(0,l),且具有內(nèi)積:(U1,U2)Y=(u1,u2)L2(0,l)+(v1,v2)L2(0,l),其中U1=(u1,u2),U2=(v1,v2),并令E={(u,v):u,v∈C2([0,l]),u′=v′=0,x=0,l},以r作為分歧參數(shù)，定義映射F:(0,∞)×E→Y為

對(duì)任意的r>0，都有F(r,U*)=0,其中U*=(u*,v*)。

證明令

L0=FU(rj,U*),L1=FrU(rj,U*),

則

設(shè)(φ,ψ)∈ker(L0),并令φ=∑aiφi,ψ=∑biφi，

則有

(10)

計(jì)算可得

(11)

取r=rj時(shí)，可得

(12)

類似上面的做法可得

又因?yàn)?/p>

2局部分歧解的延拓

定理2在定理1的假設(shè)下，由(rj,(u*,v*))產(chǎn)生的局部分歧可以延拓成全局分歧。

(13)

并令

則(13)式可變形為

(14)

(1)證明1是K(rj)的特征值，且代數(shù)重?cái)?shù)為1。

設(shè)(φ,ψ)∈ker(K(rj)-I)，由定理1的證明過(guò)程可知

ker(K(rj)-I)=ker(L0)=span{Φ}。

其中f0、f1、g0如(6)式中定義。由于φ=∑aiφi,ψ=∑biφi,則有

ker(K*(rj)-I)=span{Φ1},

index(I-K(r)-H,(r,(0,0)))=

deg(I-K(r),B,0)=(-1)ρ,

(15)

其中B是0的鄰域，ρ是K(r)所有大于1的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)之和[11]。依照全局分歧理論[12]，需證明對(duì)充分小的ε>0，有下式成立：

index(I-K(rj-ε)-H,(rj-ε,(0,0)))≠

index(I-K(rj+ε)-H,(rj+ε,(0,0)))。

(16)

事實(shí)上，若設(shè)μ為K(r)的一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為(φ,ψ)，則

同樣,令φ=∑aiφi，ψ=∑biφi,可得

故K(r)的特征值滿足以下特征方程：

(1+λi)2μ2-(2+f0)(1+λi)μ+

1+f0-f1g0=0。

(17)

(1+λj)(2λj-f0)μ′(rj)=c(λj-h0)。

由于h0<λj<2h0，故μ′(rj)<0,即μ(r)關(guān)于r在rj鄰域內(nèi)單調(diào)遞減，從而有

μ(rj+ε)<1,μ(rj-ε)>1。

對(duì)于充分小的ε>0，K(rj-ε)大于1的特征值比K(rj+ε)多一個(gè)，類似于前面的證明，可知μ(rj-ε)的代數(shù)重?cái)?shù)為1，因此(16)式得證。綜合(1)、(2)和全局分歧定理可知，由(rj,(u*,v*))產(chǎn)生的局部分歧可以延拓成全局分歧Γj，使得下面兩種情況中的一種成立：

(ⅰ)Γj連接(rj,U*)到(rk,U*)，其中k≠j;

(ⅱ)在R×E中，Γj連接(rj,U*)到∞。

定理3在定理1假設(shè)下，Γj連接(rj,U*)到∞。

證明利用反證法。假設(shè)Γj連接(rj,U*)到(rk,U*)，k≠j，并且對(duì)任意的i>k,Γj不經(jīng)過(guò)(ri,U*)。現(xiàn)考慮如下系統(tǒng)：

(18)

(19)

3數(shù)值模擬

下面給出系統(tǒng)(1)的數(shù)值模擬圖像(如圖1—6所示)，給定一組參數(shù)值：k=20,α=0.16,β=0.8和m=0.2，它們?cè)跀?shù)值模擬過(guò)程中保持不變。通過(guò)改變參數(shù)r、A的值(0

圖1　A=0.805時(shí)，系統(tǒng)(1)的數(shù)值解關(guān)于x和t的變化Fig.1　The　numerical　solution　of　the　system　(1)　changes　with　the　change　of　x　and　t其中r=1，k=20，α=0.16，　β=0.8和m=0.2。

圖2　A=0.82時(shí)，系統(tǒng)(1)的數(shù)值解關(guān)于x和t的變化Fig.2　The　numerical　solution　of　the　system　(1)　changes　with　the　change　of　x　and　t其中r=1。其他參數(shù)為：k=20,α=0.16,β=0.8和m=0.2。

圖3　A=0.85時(shí)，系統(tǒng)(1)的數(shù)值解關(guān)于x和t的變化Fig.3　The　numerical　solution　of　the　system　(1)　changes　with　the　change　of　x　and　t其中r=1。其他參數(shù)為：k=20,α=0.16,β=0.8和m=0.2。

圖5　A=0.82時(shí)，系統(tǒng)(1)的數(shù)值解關(guān)于x和t的變化Fig.5　The　numerical　solution　of　the　system　(1)　changes　with　the　change　of　x　and　t其中r=2。其他參數(shù)為：k=20,α=0.16,β=0.8和m=0.2。

圖6　A=0.85時(shí)，系統(tǒng)(1)的數(shù)值解關(guān)于x和t的變化Fig.6　The　numerical　solution　of　the　system　(1)　changes　with　the　change　of　x　and　t其中r=2。其他參數(shù)為：k=20,α=0.16,β=0.8和m=0.2。

4結(jié)語(yǔ)

本文提出了一類Neumann邊界條件下具有食餌補(bǔ)充的捕食-食餌擴(kuò)散模型。通過(guò)比較原理給出了非負(fù)解的先驗(yàn)估計(jì)，利用經(jīng)典的Rabinowitz分歧定理討論了非常數(shù)正解的存在性，得到局部分歧解存在的充分條件，并將其沿分歧參數(shù)r延拓到無(wú)窮。結(jié)果表明：當(dāng)食餌補(bǔ)充參數(shù)A控制在一定范圍時(shí)，只要食餌增長(zhǎng)率充分大，食餌與捕食者便可共存(即非常數(shù)正解存在)。

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〔責(zé)任編輯宋軼文〕

第一作者：王洪峰，男，講師，主要研究方向?yàn)榉植际讲⑿杏?jì)算與智能優(yōu)化算法。E-mail:40577025@qq.com

Qualitativeanalysisofapredator-preymodelwithalternativeprey

LIShi,LIYanling*,YANGWenbin

(SchoolofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,

Xi′an710119,Shaanxi,China)

Abstract:Theexistenceofpositivesteady-statesolutionsofatwospeciespredator-preymodel，inwhichthepredatorispartiallycoupledwithalternativepreyisinvestigated.Bymeansofloweranduppersolutions,aprioriestimateofthenon-negativesteady-statesolutionsofthesystemisgiven.Takingtheintrinsicgrowthrateofthepreypopulationrasabifurcationparameter,theconcreteformofsolutionsbifurcatedfromthepositiveconstantsolutionisgivenbylocalbifurcationtheoryandthelocalbifurcationsolutionscanalsobeextendedtoinfinitebyusingglobalbifurcationtheory.

Keywords:predator-preymodel;alternativeprey;Holling-typeⅡ;globalbifurcation

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61103143,70890081);中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012M512008);河南省科技廳科技發(fā)展計(jì)劃基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究項(xiàng)目(142300410402);河南省教育廳高校創(chuàng)新人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(2012HASTIT032);河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目指導(dǎo)計(jì)劃基礎(chǔ)前沿項(xiàng)目(14B520057)

收稿日期：2014-10-08

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.02.123

文章編號(hào)：1672-4291(2015)02-0015-09

中圖分類號(hào)：O175.26

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A